1、1课时规范练 39 直线、平面垂直的判定与性质基础巩固组1.(2017山东临沂一模,文 19)如图,在直角梯形 ABCD中, AB CD, BCD=90,BC=CD,AE=BE,ED平面ABCD.(1)若 M是 AB的中点,求证:平面 CEM平面 BDE;(2)若 N为 BE的中点,求证: CN平面 ADE.导学号 241907732.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, D,E分别为 AB,BC的中点,点 F在侧棱 B1B上,且B1D A1F,A1C1 A1B1.求证:(1)直线 DE平面 A1C1F;(2)平面 B1DE平面 A1C1F.23.(2017河北邯郸二模,文 19)如图,
2、四棱锥 P-ABCD中, PA底面 ABCD,底面 ABCD是直角梯形, ADC=90,AD BC,AB AC,AB=AC= ,点 E在 AD上,且 AE=2ED.2(1)已知点 F在 BC上,且 CF=2FB,求证:平面 PEF平面 PAC;(2)若 PBC的面积是梯形 ABCD面积的 ,求点 E到平面 PBC的距离 .43导学号 241907744.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E为棱 C1D1的中点, F为棱 BC的中点 .(1)求证: AE DA1;(2)在线段 AA1上求一点 G,使得 AE平面 DFG.3综合提升组5.(2017广东江门一模,文 19)如图,在 R
3、t ABC中, ACB=90,BC=2AC=4,D,E分别是 AB,BC边的中点,沿DE将 BDE折起至 FDE,且 CEF=60.(1)求四棱锥 F-ADEC的体积;(2)求证:平面 ADF平面 ACF.6.(2017山西孝义考前模拟,文 19)如图(1),五边形 ABCDE中, ED=EA,AB CD,CD=2AB, EDC=150.如图(2),将 EAD沿 AD折到 PAD的位置,得到四棱锥 P-ABCD,点 M为线段 PC的中点,且 BM平面PCD.图(1)图(2)(1)求证:平面 PAD平面 ABCD;(2)若四棱锥 P-ABCD的体积为 2 ,求四面体 BCDM的体积 .3导学号
4、2419077547.(2017北京海淀模拟,文 15)如图,四棱锥 P-ABCD的底面是边长为 1的正方形,侧棱 PA底面 ABCD,且 PA=2,E是侧棱 PA上的动点 .(1)求四棱锥 P-ABCD的体积 .(2)如果 E是 PA的中点,求证: PC平面 BDE.(3)是否不论点 E在侧棱 PA的任何位置,都有 BD CE?证明你的结论 .创新应用组8.(2017辽宁大连一模,文 19)如图,在四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD为正方形, PA底面ABCD,AD=AP=2,AB=2 ,E为棱 PD中点 .7(1)求证: PD平面 ABE;5(2)求四棱锥 P-ABCD外接球的体积 .
5、9.(2017山西太原二模,文 19)如图(1),在平面六边形 ABFCDE中,四边形 ABCD是矩形,且AB=4,BC=2,AE=DE= ,BF=CF= ,点 M,N分别是 AD,BC的中点,分别沿直线 AD,BC将 ADE, BCF2 2翻折成如图(2)的空间几何体 ABCDEF.(1)利用下面的结论 1或结论 2,证明: E,F,M,N四点共面;结论 1:过空间一点作已知直线的垂面,有且只有一个;结论 2:过平面内一条直线作该平面的垂面,有且只有一个 .(2)若二面角 E-AD-B和二面角 F-BC-A都是 60,求三棱锥 E-BCF的体积 .图(1)图(2)6答案：1.证明 (1) E
6、D 平面 ABCD,ED AD,ED BD,ED CM.AE=BE , Rt ADERt BDE,AD=BD.连接 DM,则 DM AB,AB CD, BCD=90,BC=CD, 四边形 BCDM是正方形, BD CM.又 DE CM,BD DE=D,CM 平面 BDE,CM 平面 CEM, 平面 CEM平面 BDE.(2)由(1)知, AB=2CD,取 AE中点 G,连接 NG,DG,在 EBA中, N 为 BE的中点,NG AB且 NG= AB,12又 AB CD,且 AB=2CD,NG CD,且 NG=CD, 四边形 CDGN为平行四边形,CN DG.又 CN平面 ADE,DG平面 AD
7、E,CN 平面 ADE.2.证明 (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, A1C1 AC.在 ABC中,因为 D,E分别为 AB,BC的中点,所以 DE AC,于是 DE A1C1.又因为 DE平面A1C1F,A1C1平面 A1C1F,所以直线 DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中, A1A平面 A1B1C1.因为 A1C1平面 A1B1C1,所以 A1A A1C1.又因为 A1C1 A1B1,A1A平面 ABB1A1,A1B1平面 ABB1A1,A1A A1B1=A1,所以 A1C1平面 ABB1A1.因为 B1D平面 ABB1A1,所以 A1C1 B1D.又因
8、为 B1D A1F,A1C1平面 A1C1F,A1F平面 A1C1F,A1C1 A1F=A1,所以 B1D平面 A1C1F.因为 B1D平面 B1DE,7所以平面 B1DE平面 A1C1F.3.(1)证明 AB AC,AB=AC, ACB=45. 底面 ABCD是直角梯形, ADC=90,AD BC, ACD=45,AD=CD ,BC= AC=2AD.2AE= 2ED,CF=2FB,AE=BF= AD,23 四边形 ABFE是平行四边形,AB EF.又 AB AC,AC EF.PA 底面 ABCD,PA EF.PA AC=A,EF 平面 PAC.EF 平面 PEF, 平面 PEF平面 PAC.
9、(2)解 PA 底面 ABCD,且 AB=AC,PB=PC ,取 BC的中点 G,连接 AG,则 AG BC,AG=CD=1.设 PA=x,连接 PG,则 PG= ,x2+1 PBC的面积是梯形 ABCD面积的 倍,43 2PG= (1+2)1,即 PG=2,求得 x= ,12 4312 3AD BC,AD平面 PBC,BC平面 PBC,AD 平面 PBC, 点 E到平面 PBC的距离即是点 A到平面 PBC的距离,V A-PBC=VP-ABC,S PBC=2S ABC, 点 E到平面 PBC的距离为 PA= .12 324.(1)证明 连接 AD1,BC1(图略) .由正方体的性质可知, D
10、A1 AD1,DA1 AB,又 AB AD1=A,DA 1平面 ABC1D1.8AE 平面 ABC1D1,AE DA1.(2)解 所求点 G即为点 A1,证明如下:由(1)可知 AE DA1,取 CD的中点 H,连接 AH,EH(图略),由 DF AH,DF EH,AH EH=H,可得 DF平面 AHE.AE 平面 AHE,DF AE.又 DF A1D=D,AE 平面 DFA1,即 AE平面 DFG.5.解 (1) D ,E分别是 AB,BC边的中点,DE AC,DE BC,DE=1.12依题意, DE EF,BE=EF=2,EF EC=E,DE 平面 CEF,DE 平面 ACED, 平面 A
11、CED平面 CEF.作 FM EC于 M,则 FM平面 ACED, CEF=60,FM= ,3梯形 ACED的面积 S= (AC+ED)EC= (1+2)2=3.12 12四棱锥 F-ADEC的体积 V= Sh= 3 .13 13 3= 3(2)(法一)如图,取线段 AF,CF的中点 N,Q,连接 DN,NQ,EQ,则 NQ AC,12NQ DE,四边形 DEQN是平行四边形, DN EQ.EC=EF , CEF=60, CEF是等边三角形, EQ FC,又 DE平面 CEF,DE EQ,AC EQ,FC AC=C,EQ 平面 ACF,DN 平面 ACF,又 DN平面 ADF, 平面 ADF平
12、面 ACF.(法二)连接 BF,EC=EF , CEF=60, CEF是边长为 2等边三角形 .BE=EF , EBF= CEF=30,129 BFC=90,BF FC.DE 平面 BCF,DE AC,AC 平面 BCF.BF 平面 BCF,AC BF,又 FC AC=C,BF 平面 ACF,又 BF平面 ADF, 平面 ADF平面 ACF.6.(1)证明 取 PD的中点 N,连接 AN,MN,则 MN CD,且 MN= CD,12又 AB CD,AB= CD,12MN AB,MN=AB, 四边形 ABMN是平行四边形,AN BM,又 BM平面 PCD,AN 平面 PCD,AN PD,AN C
13、D,由 ED=EA,即 PD=PA,及 N为 PD的中点,得 PAD为等边三角形, PDA=60,又 EDC=150, CDA=90,CD AD,又 AN AD=A,CD 平面 PAD,又 CD平面 ABCD, 平面 PAD平面 ABCD.(2)解 设四棱锥 P-ABCD的高为 h,四边形 ABCD的面积为 S,则 VP-ABCD= Sh=2 ,13 3又 S BCD= S,四面体 BCDM的底面 BCD上的高为 ,23 h2 四面体 BCDM的体积 VBCDM= S BCD Sh= .13 h2=1623 2337.(1)解 PA 底面 ABCD,10PA 为此四棱锥底面上的高 .V 四棱锥
14、 P-ABCD= S 正方形 ABCDPA= 122= .13 13 23(2)证明 连接 AC交 BD于点 O,连接 OE. 四边形 ABCD是正方形,AO=OC.又 AE=EP,OE PC.又 PC平面 BDE,OE平面 BDE,PC 平面 BDE.(3)解 不论点 E在侧棱 PA的任何位置,都有 BD CE.证明如下: 四边形 ABCD是正方形, BD AC.PA 底面 ABCD,PA BD.又 PA AC=A,BD 平面 PAC.CE 平面 PAC,BD CE.8.(1)证明 PA 底面 ABCD,AB底面 ABCD,PA AB,又底面 ABCD为矩形, AB AD,又 PA平面 PA
15、D,AD平面 PAD,PA AD=A,AB 平面 PAD,又 PD平面 PAD,AB PD,AD=AP,E为 PD中点,AE PD,AE AB=A,AE平面 ABE,AB平面 ABE,PD 平面 ABE.(2)解 四棱锥 P-ABCD外接球球心是线段 BD和线段 PA的垂直平分线交点 O,由已知 BD= AB2+AD2= =4 ,(2 7)2+22 2设 M为 BD中点,AM= 2 ,OM= AP=1,212OA= AM2+OM2= =3,(2 2)2+12 四棱锥 P-ABCD外接球的体积是 OA3=36 .43119.(1)证明 由题意,点 E在底面 ABCD的射影在 MN上,可设为点 P,同理,点 F在底面 ABCD的射影在 MN上,可设为点 Q,则 EP平面 ABCD,FQ平面 ABCD, 平面 EMP平面 ABCD,平面 FNQ平面 ABCD,又 MN平面 ABCD,MN平面 EMP,MN平面 FNQ,由结论 2:过平面内一条直线作该平面的垂面,有且只有一个,得到 E,F,M,N四点共面 .(2)解 二面角 E-AD-B和二面角 F-BC-A都是 60, EMP= FNQ=60,EP=EM sin 60= ,32 三棱锥 E-BCF的体积 VE-BCF=VABCDEF-VE-ABCD=2 3-13(122)32+(12322)(42) .13 32= 32
