1、1规范答题示例 8 函数的单调性、极值与最值问题典例 8 (15 分)已知函数 f(x)ln x a(1 x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围审题路线图 .求 f x 讨 论 f x 的 符 号 fx单 调 性 fx最 大 值 解 fxmax2a 2规 范 解 答分 步 得 分 构 建 答 题 模 板解 (1) f(x)的定义域为(0，)， f( x) a(x0)1x若 a0，则 f( x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增若 a0，则当 x 时， f( x)0；当 x 时， f( x)(0，1a) (1a， )0 时，
2、 f(x)在 上单调递增，在 上单调递减.6 分(0，1a) (1a， )(2)由(1)知，当 a0 时， f(x)在(0，)上无最大值，不合题意；当 a0 时， f(x)在 x 处取得最大值，1a最大值为 f ln a ln a a1.(1a) (1a) (1 1a)因此 f 2a2 等价于 ln a a11 时， g(a)0.因此， a 的取值范围是(0,1).15 分第一步求导数：写出函数的定义域，求函数的导数第二步定符号：通过讨论确定 f( x)的符号第三步写区间：利用f( x)的符号确定函数的单调性第四步求最值：根据函数单调性求出函数最值.评分细则 (1)函数求导正确给 1 分；(2
3、)分类讨论，每种情况给 2 分，结论 1 分；(3)求出最大值给 3 分；(4)构造函数 g(a)ln a a1 给 3 分；(5)通过分类讨论得出 a 的范围，给 3 分跟踪演练 8 (2018天津)已知函数 f(x) ax， g(x)log ax，其中 a1.2(1)求函数 h(x) f(x) xln a 的单调区间；(2)若曲线 y f(x)在点( x1， f(x1)处的切线与曲线 y g(x)在点( x2， g(x2)处的切线平行，证明 x1 g(x2) ；2ln ln aln a(3)证明当 a1e时，存在直线 l，使 l 是曲线 y f(x)的切线，也是曲线 y g(x)的切线(1
4、)解 由已知得 h(x) ax xln a，则 h( x) axln aln a令 h( x)0，解得 x0.由 a1，可知当 x 变化时， h( x)， h(x)的变化情况如下表：x (，0) 0 (0，)h( x) 0 h(x) 极小值 所以函数 h(x)的单调递减区间为(，0)，单调递增区间为(0，)(2)证明 由 f( x) axln a，可得曲线 y f(x)在点( x1， f(x1)处的切线斜率为 1xaln a.由 g( x) ，可得曲线 y g(x)在点( x2， g(x2)处的切线斜率为 .1xln a 1x2ln a因为这两条切线平行，所以有 1ln a ，1x2ln a即
5、 x2 1(ln a)21，两边取以 a 为底的对数，得logax2 x12log aln a0，所以 x1 g(x2) .2ln ln aln a(3)证明 曲线 y f(x)在点( x1， )处的切线为 l1： y 1xa 1ln a(x x1)曲线y g(x)在点( x2，log ax2)处的切线为 l2： ylog ax2 (x x2)1x2ln a要证明当 a1e时，存在直线 l，使 l 是曲线 y f(x)的切线，也是曲线 y g(x)的切线，只需证明当 a 时，存在 x1(，)， x2(0，)，使得 l1与 l2重合即只需证明当 a1e时，下面的方程组有解Error!由得， x2
6、 ，代入，1ln a2得 1a x1 ln a x1 0.1ln a 2ln ln aln a3因此，只需证明当 a1e时，关于 x1的方程存在实数解设函数 u(x) ax xaxln a x ，1ln a 2ln ln aln a即要证明 a1e时，函数 u(x)存在零点u( x)1(ln a)2xax，可知当 x(，0)时， u( x)0；当 x(0，)时， u( x)单调递减，又 u(0)10， u 1 21lna0，使得(1ln a2)u( x0)0，即 1(ln a)2x0 0.由此可得 u(x)在(， x0)上单调递增，在( x0，)上单调递减u(x)在 x x0处取得极大值 u(
7、x0)因为 a1e，所以 ln ln a1，所以 u(x0) 0x x0 ln a x0 1ln a 2ln ln aln a x0 0.1x0ln a2 2ln ln aln a 2 2ln ln aln a下面证明存在实数 t，使得 u(t) 时，有 u(x)(1 xln a)(1 xln a) x (ln a)1ln a 1ln a 2ln ln aln a2x2 x1 ，1ln a 2ln ln aln a所以存在实数 t，使得 u(t)0.因此当 a e时，存在 x1(，)，使得 u(x1)0.所以当 a1时，存在直线 l，使 l 是曲线 y f(x)的切线，也是曲线 y g(x)的切线.
