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    (浙江专用)2019高考数学二轮复习专题五函数与导数规范答题示例8函数的单调性、极值与最值问题学案.doc

    • 资源ID:1195521       资源大小:66.50KB        全文页数:3页
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    (浙江专用)2019高考数学二轮复习专题五函数与导数规范答题示例8函数的单调性、极值与最值问题学案.doc

    1、1规范答题示例 8 函数的单调性、极值与最值问题典例 8 (15 分)已知函数 f(x)ln x a(1 x)(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a2 时,求 a 的取值范围审题路线图 .求 f x 讨 论 f x 的 符 号 fx单 调 性 fx最 大 值 解 fxmax2a 2规 范 解 答分 步 得 分 构 建 答 题 模 板解 (1) f(x)的定义域为(0,), f( x) a(x0)1x若 a0,则 f( x)0,所以 f(x)在(0,)上单调递增若 a0,则当 x 时, f( x)0;当 x 时, f( x)(0,1a) (1a, )0 时,

    2、 f(x)在 上单调递增,在 上单调递减.6 分(0,1a) (1a, )(2)由(1)知,当 a0 时, f(x)在(0,)上无最大值,不合题意;当 a0 时, f(x)在 x 处取得最大值,1a最大值为 f ln a ln a a1.(1a) (1a) (1 1a)因此 f 2a2 等价于 ln a a11 时, g(a)0.因此, a 的取值范围是(0,1).15 分第一步求导数:写出函数的定义域,求函数的导数第二步定符号:通过讨论确定 f( x)的符号第三步写区间:利用f( x)的符号确定函数的单调性第四步求最值:根据函数单调性求出函数最值.评分细则 (1)函数求导正确给 1 分;(2

    3、)分类讨论,每种情况给 2 分,结论 1 分;(3)求出最大值给 3 分;(4)构造函数 g(a)ln a a1 给 3 分;(5)通过分类讨论得出 a 的范围,给 3 分跟踪演练 8 (2018天津)已知函数 f(x) ax, g(x)log ax,其中 a1.2(1)求函数 h(x) f(x) xln a 的单调区间;(2)若曲线 y f(x)在点( x1, f(x1)处的切线与曲线 y g(x)在点( x2, g(x2)处的切线平行,证明 x1 g(x2) ;2ln ln aln a(3)证明当 a1e时,存在直线 l,使 l 是曲线 y f(x)的切线,也是曲线 y g(x)的切线(1

    4、)解 由已知得 h(x) ax xln a,则 h( x) axln aln a令 h( x)0,解得 x0.由 a1,可知当 x 变化时, h( x), h(x)的变化情况如下表:x (,0) 0 (0,)h( x) 0 h(x) 极小值 所以函数 h(x)的单调递减区间为(,0),单调递增区间为(0,)(2)证明 由 f( x) axln a,可得曲线 y f(x)在点( x1, f(x1)处的切线斜率为 1xaln a.由 g( x) ,可得曲线 y g(x)在点( x2, g(x2)处的切线斜率为 .1xln a 1x2ln a因为这两条切线平行,所以有 1ln a ,1x2ln a即

    5、 x2 1(ln a)21,两边取以 a 为底的对数,得logax2 x12log aln a0,所以 x1 g(x2) .2ln ln aln a(3)证明 曲线 y f(x)在点( x1, )处的切线为 l1: y 1xa 1ln a(x x1)曲线y g(x)在点( x2,log ax2)处的切线为 l2: ylog ax2 (x x2)1x2ln a要证明当 a1e时,存在直线 l,使 l 是曲线 y f(x)的切线,也是曲线 y g(x)的切线,只需证明当 a 时,存在 x1(,), x2(0,),使得 l1与 l2重合即只需证明当 a1e时,下面的方程组有解Error!由得, x2

    6、 ,代入,1ln a2得 1a x1 ln a x1 0.1ln a 2ln ln aln a3因此,只需证明当 a1e时,关于 x1的方程存在实数解设函数 u(x) ax xaxln a x ,1ln a 2ln ln aln a即要证明 a1e时,函数 u(x)存在零点u( x)1(ln a)2xax,可知当 x(,0)时, u( x)0;当 x(0,)时, u( x)单调递减,又 u(0)10, u 1 21lna0,使得(1ln a2)u( x0)0,即 1(ln a)2x0 0.由此可得 u(x)在(, x0)上单调递增,在( x0,)上单调递减u(x)在 x x0处取得极大值 u(

    7、x0)因为 a1e,所以 ln ln a1,所以 u(x0) 0x x0 ln a x0 1ln a 2ln ln aln a x0 0.1x0ln a2 2ln ln aln a 2 2ln ln aln a下面证明存在实数 t,使得 u(t) 时,有 u(x)(1 xln a)(1 xln a) x (ln a)1ln a 1ln a 2ln ln aln a2x2 x1 ,1ln a 2ln ln aln a所以存在实数 t,使得 u(t)0.因此当 a e时,存在 x1(,),使得 u(x1)0.所以当 a1时,存在直线 l,使 l 是曲线 y f(x)的切线,也是曲线 y g(x)的切线.


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