1、1专题六 四边形与三角形的综合毕节中考备考攻略纵观近4年毕节中考数学试卷,四边形与三角形的综合是每年的必考考点,其中2015年第24题综合考查平行四边形和直角三角形；2016年第25题综合考查菱形和三角形全等；2017年第24题综合考查平行四边形与三角形相似、解直角三角形；2018年第24题综合考查平行四边形、三角形和菱形.预计2019年将继续综合考查四边形与三角形.熟练掌握特殊四边形的性质与判定、特殊三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质,掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用,会画出四边形全等变换后的图形.解决问题时必须充分利用几何图形的性质及在题设的基础上挖掘
2、几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用各种数学方法.中考重难点突破四边形与特殊三角形例1 如图,在四边形ABCD中,ABDC,ABAD,对角线AC,BD交于点O,AC平分BAD,过点C作CEAB交AB的延长线于点E,连接OE.(1)求证：四边形ABC D是菱形；(2)若AB ,BD2,求OE的长.5【解析】(1)先判断出OABDCA,进而判断出DACDCA,得出CDADAB,即可得出结论；(2)先判断出OEOAOC,再求出OB1,利用勾股定理求出OA,即可得出结果.【答案】(1)证明
3、：ABCD,CABACD.AC平分BAD,CABCAD,CADACD,ADCD.又ADAB,ABCD.又ABCD,四边形ABCD是平行四边形.又ABAD,四边形ABCD是菱形；(2)解：四边形ABCD是菱形,ACBD,OAOC AC,OBOD BD1.12 12在 RtAOB中,AOB90,OA 2.AB2 OB2CEAB,AEC90.在 RtAEC中,O为AC中点,OE ACOA2.122四边形与三角形全等例2 (2018张家界中考)在矩形ABCD中,点E在BC上,AEAD,DFAE,垂足为点F.(1)求证：DFAB；(2)若FDC30,且AB4,求AD.【解析】(1)利用“ AAS”证AD
4、FEAB即可得证；(2)由ADFFDC90,DAFADF90得FDCDAF30,据此知AD2DF ,根据DFAB可得答案.【答案】(1)证明：在矩形ABCD中,ADBC,AEBDAF.又DFAE,DFA90,DFAB.又ADEA,ADFEAB,DFAB；(2)解：ADFFDC90,DAFADF90,FDCDAF30,AD2DF.DFAB4,AD2AB8.四边形与三角形相似例3 (2018资阳中考)已知：如图,在 RtABC中,ACB90,点M是斜边AB的中点,MDBC,且MDCM,DEAB于点E,连接AD,CD.(1)求证：MEDBCA；(2)求证：AMDCMD；(3)设MDE的面积为S 1,
5、四边形BCMD的面积为S 2,当S 2 S1时,求 cos ABC的值.175【解析】(1)易证DMECBA,ACBDE M90,从而可证明MEDBCA；(2)由ACB90,点M是斜边AB的中点,可知BM CMAM,又由MDBC可证明AMDCMD,从而可利用全等三角形的判定方法证明AMDCMD；(3)易证DM AB,由(1)可知MEDBCA,所以 ,所以S MCB SACB 2S 1,从而可求出S EBD12 S1S ACB (DMAB)2 14 12S 2S MCB S 1 S1,由于 ,从而可知 ,设ME5x,EB2x,从而用x表示出AB,BC,最后根据锐角25 S1S EBD MEEB
6、MEBE 52三角函数的定义即可求出答案.【答案】(1)证明：MDBC,DMECBA.ACBDEM90,MEDBCA；3(2)证明：ACB90,点M是斜边AB的中点,BMCMAM,MCBMBC.DMBMBC,MCBDMBMBC.MDBC,CMD180MCB.又AMD180DMB,AMDCMD.在AMD与CMD中,MD MD， AMD CMD，AM CM， )AMDCMD( SAS)；(3)解：DMCM,AMCMDMBM,DM AB.12由(1)可知MEDBCA, ,S ACB 4S 1.S1S ACB (DMAB)2 14CM是ACB的中线,S MCB SACB 2S 1,12S EBD S
7、2S MCB S 1 S1,25 , , .S1S EBD MEEB S125S1 MEEB MEEB 52设ME5x,EB2x,则BM7x,AB2BM14x. ,BC10x,MDAB MEBC 12 cos ABC . BCAB 10x14x 571.(2018贺州中考)如图,在ABC中,ACB90,O,D分别是边AC,AB的中点,过点C作CEAB交DO的延长线于点E,连接AE.4(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若四边形AECD的面积为24, tan BAC ,求BC的长.(1)证明：点O是AC的中点,34OAOC.CEAB,DAOECO.又AODCOE,AODCOE( ASA),A
8、DCE,四边形AECD是平行四边形.又CD是 RtABC斜边AB上的中线,CDAD AB,12四边形AECD是菱形；(2)由(1)知,四边形AECD是菱形,ACED.在 RtAOD中, tan DAO tan BAC ,ODOA 34可设OD3x,OA4x,则ED2OD6x,AC2OA8x.由题意可得 6x8x24,x1,OD3.12O,D分别是AC,AB的中点,OD是ABC的中位线,BC2OD6.2.(2018盐城中考)在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F满足BEDF,连接AE,AF,CE,CF,如图. (1)求证：AB EADF；(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理
9、由.(1)证明：四边形ABCD是正方形,ABAD,ABDADB,ABEADF.在ABE与ADF中,5AB AD， ABE ADF，BE DF， )ABEADF( SAS)；(2)解：四边形AECF是菱形.理由：连接AC,交BD于点O.四边形ABCD是正方形,OAOC,OBOD,ACEF,OBBEODDF,即OEOF.OAOC,OEOF,四边形AECF是平行四边形,又ACEF,四边形AECF是菱形.3.(2018湖州中考) 已知在 RtABC中,BAC90,ABAC,D,E分别为AC,BC边上的点(不包括端点),且 DCBEm,连接AE,过点D作DMAE,垂足为点M,延长DM交AB于点F.ACB
10、C(1)如图1,过点E作EHAB于点H,连接DH.求证：四边形DHEC是平行四边形；若m ,求证：AEDF；22(2)如图2,若m ,求 的值.35 DFAE6(1)证明：EHAB,BAC90,EHCA,BHEBAC, .BEBC HEAC , , ,DCBE ACBC BEBC DCAC HEAC DCACHEDC.EHDC,四边形DHEC是平行四边形； ,BAC90,ACAB.ACBC 22 ,HEDC, .DCBE 22 HEBE 22又BHE90,BHHE.HEDC,BHCD,AHAD.DMAE,EHAB,EHAAMF90,HAEHEAHAEAFM90,HEAAFD.EHAFAD90,
11、HEAAFD,AEDF；(2)解：过点E作EGAB于点G.CAAB,EGCA,EGBCAB, , .EGCA BEBC EGBE CABC 35 ,EGCD.CDBE 35设EGCD3x,AC3y,则BE5x,BC5y,BG4x,AB4y.EGAAMF90,GEAEAGEAGAFM,AFMAEG.FADEGA90,FADEGA, .DFAE ADAG 3y 3x4y 4x 347毕节中考专题过关1.(2018乌鲁木齐中考)如图,在四边形ABCD中,BAC90,E是BC的中点,ADBC,AEDC,EFCD于点F.(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB6,BC10,求EF的长.(1)证明：
12、ADBC,AEDC,四边形AECD是平行四边形.BAC90,E是BC的中点,AECE BC,12四边形AECD是菱形；(2)解：过A作AHBC于点H.BAC90,AB6,BC10,AC 8.102 62S ABC BCAH ABAC,12 12AH .6810 245点E是BC的中点,BC10,四边形AECD是菱形,CDCE5.S AECDCEA HCDEF,EFAH .2452.(2018青岛中考)已知：如图,ABCD的对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.(1)求证：ABAF；(2)若AGAB,BCD120,判断四边形ACDF的
13、形状,并证明你的结论.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形,ABCD,A BCD,AFGDCG.8又GAGD,AGFCGD,AGFDGC,AFCD.ABAF；(2)解：四边形ACDF是矩形.证明：AFCD,AFCD,四边形ACDF是平行四边形.四边形ABCD是平行四边形,BADBCD120.FAG60.ABAGAF, AFG是等边三角形,AGGF.四边形ACDF是平行四边形,FGCG,AGDG.ADCF.四边形ACDF是矩形.3.已知：如图,四边形ABCD中,ADBC,ADCD,E是对角线BD上一点,且EAEC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如果BEBC,且CBEBCE23,求证：
14、四边形ABCD是正方形.证明：(1)在ADE与CDE中,AD CD，DE DE，EA EC， )ADECDE,ADECDE.ADBC,ADECBD,CDECBD,BCCD.ADCD,BCAD,四边形ABCD为平行四边形.ADCD,四边形ABCD是菱形；(2)BEBC,BCEBEC.CBEBCE23,CBE180 45.22 3 3四边形ABCD是菱形,ABECBE45,ABC90,四边形ABCD是正方形.94.(2018眉山中考)如图,在四边形ABCD中,ACBD于点E,ABACBD,点M为BC的中点,N为线段AM上的点,且MBMN.(1)求证：BN平分ABE；(2)若BD1,连接DN,当四边
15、形DNBC为平行四边形时,求线段BC的长；(3)如图,若点F为AB的中点,连接FN,FM,求证：MFNBDC.(1)证明： ABAC,ABCACB.M为BC的中点,AMBC.在 RtABM中,MABABC90.在 RtCBE中,EBCACB90,MAB EBC.又MBMN,MBN为等腰直角三角形,MNBMBN45,EBCNBE45,MABABNMNB45,NBEABN,即BN平分ABE；(2)解：设BMCMMNa.当四边形DNBC是平行四边形时,DNBC2a.在ABN和DBN中,AB DB， NBD NBA，BN BN， )ABNDBN( SAS),AND N2a.在 RtABM中,由AM 2
16、BM 2AB 2,得(2aa) 2a 21,解得a (负值舍去) ,1010BC2a ；105(3)证明：在 RtMAB中,F是AB的中点,MFAFBF,MABFMN.又MABCBD,FMNDBC. , ,MFAB MNBC 12 MFBD MNBC 12MFNBDC.105.(2018枣庄中考)如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EGCD交AF于点G,连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG,GF,AF之间的数量关系,并说明理由；(3)若AG6,EG2 ,求BE的长.5(1)证明：GEDF,EGFDFG.由翻折的性质可知DGEG,DFEF,
17、DGFEGF,DGFDFG,DGDF,DGEGDFEF,四边形EFDG是菱形；(2)解：EG 2 GFAF.12理由：连接DE,交AF于点O.四边形EFDG是菱形,GFDE,OGOF GF.12DOFADF90,OFDDFA,DOFADF, ,DFAF OFDF即DF 2OFAF.OF GF,DFEG,EG 2 GFAF；12 12(3)解：过点G作GHDC,垂足为点H.EG 2 GFAF,AG6,EG2 ,12 5即GF 26GF400,解得GF4,GF10(舍去).DFEG2 ,AFAGGF10,5AD 4 .AF2 DF2 5GHDC,ADDC,GHAD,FGHFAD,11 ,即 ,GH .GHAD GFAF GH45 410 855BEADGH4 .5855 1255
