1、1仿真模拟练(限时 120 分钟,满分 150 分)一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分)1.已知集合 P=xN |1 x10,集合 Q=xR |x2-x-62n1,则( )A. B.lo mlo n11 12 12C.ln(m-n)0 D. m-n15.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )2A. B. C. D.163 3 29 1696.我们可以用随机模拟的方法估计 的值,如图示程序框图表示其基本步骤(函数 RAND 是产生随机数的函数,它能随机产生(0,1)内的任何一个实数) .若输出的结果为 786,则由此可估计 的近似值为( )A
2、.3.126 B.3.144 C.3.213 D.3.1517.已知函数 f(x)=sin(x+ ) 0,|b0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x-4y=0 交椭圆 E 于22+22A,B 两点,若 |AF|+|BF|=6,点 M 与直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( )85A. 0, B. 0,223 53C. ,1 D. ,163 22310.已知变量 x,y 满足条件 则目标函数 z= 的最大值为( ),+2,3-6,3-2+2A. B.1 C. D.12 3 6- 2211.如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中, E,F 分别为 BC
3、,CD 的中点, H 为 EF 的中点,沿 AE,EF,FA 将正方形折起,使 B,C,D 重合于点 O,在构成的四面体 A-OEF 中,下列结论中错误的是( )A.AO平面 EOFB.直线 AH 与平面 EOF 所成的角的正切值为 2 2C.异面直线 OH 和 AE 所成的角为 60D.四面体 A-OEF 的外接球表面积为 612.已知函数 f(x)的导函数为 f(x),且对任意的实数 x 都有 f(x)=e-x(2x+3)-f(x)(e 是自然对数的底数),且 f(0)=1,若关于 x 的不等式 f(x)-m0,且 a1,a3-1,a5+1 成等比数列 .(1)求 Sn;(2)若数列 bn
4、的前 n 项和为 Tn,且 bn+bn+1= ,求 T2n.218.如图,已知在四棱锥 P-ABCD 中, O 为 AB 中点,平面 POC平面ABCD,AD BC,AB BC,PA=PB=BC=AB=2,AD=3.(1)求证:平面 PAB平面 ABCD;5(2)求二面角 O-PD-C 的余弦值 .19.1995 年联合国教科文组织宣布每年的 4 月 23 日为世界读书日,主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们,都能享受阅读带来的乐趣,都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们,都能保护知识产权 .”为了解大学生课外阅读情况,现从某高校随机抽取 100 名学生,将他们一年
5、课外阅读量(单位:本)的数据,分成 7 组20,30),30,40),80,90),并整理得到如图频率分布直方图:(1)估计其阅读量小于 60 本的人数;(2)已知阅读量在20,30),30,40),40,50)内的学生人数比为 2 3 5.为了解学生阅读课外书的情况,现从阅读量在20,40)内的学生中随机选取 3 人进行调查座谈,用 X 表示所选学生阅读量在20,30)内的人数,求 X 的分布列和数学期望;(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计 100 名学生该年课外阅读量的平均数在第几组(只需写出结论) .620.椭圆 =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,与
6、 y 轴正半轴交于点 B,若 BF1F2为等腰直角22+22三角形,且直线 BF1被圆 x2+y2=b2所截得的弦长为 2.(1)求椭圆的方程;(2)直线 l 与椭圆交于点 A,C,线段 AC 的中点为 M,射线 MO 与椭圆交于点 P,点 O 为 PAC 的重心,探求 PAC 的面积 S 是否为定值,若是求出这个值,若不是,求 S 的取值范围 .21.设函数 f(x)=x-ln(x+ ).1+2(1)探究函数 f(x)的单调性;(2)若 x0 时,恒有 f(x) ax3,试求 a 的取值范围;(3)令 an= 6n+ln 2n+ (nN *),试证明 :a1+a2+an2n1,mn 0,可排
7、除选项 A,B;当 1m-n0 时,选项 C 错误;由 mn0 得 m-n0, m-n1,选项 D 正确 .5.D 解析 从三视图中提供的图形信息与数据信息可知:该几何体的底面是圆心角为 的扇形,高23是 4 的圆锥体 .容易算得底面面积 S= 4= ,所以其体积 V= 44= ,故选 D.13 43 1313 1696.B 解析 任意( x,y)落在边长为 1 的正方形内,满足 x2+y21 时, f(x)0,12结合 f(x)图象,要使关于 x 的不等式 f(x)-m0,d= 2,S n=na1+ d=3n+ 2=n2+2n.(-1)2 (-1)2 (2)b n+bn+1= ,2= 22+
8、2b n+bn+1= ,1 1+2当 n=1,3,5,2n-1 时,有14b1+b2=1- ,13b3+b4= ,1315b5+b6= ,1517b2n-1+b2n= ,12-1 12+1T 2n=b1+b2+b3+b4+b2n-1+b2n=1-12+1= 22+1.18.(1)证明 AD BC,AB BC,BC=AB=2,AD=3,OC= ,OD= ,CD= ,OD2=OC2+DC2,5 10 5OC CD,CD 平面 POC,CD PO,PA=PB=AB ,O 为 AB 中点,PO AB,PO 底面 ABCD, 平面 PAB平面 ABCD.(2)解 如图,建立空间直角坐标系 O-xyz,则
9、 P(0,0, ),D(-1,3,0),C(1,2,0),3=(0,0, ), =(-1,3,0), =(-1,-2, ), =(-2,1,0), 3 3 设平面 OPD 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1),平面 PCD 的法向量为 n=(x2,y2,z2),由=0,=0,可得 取 y1=1,得 x1=3,z1=0,即 m=(3,1,0),31=0,-1+31=0,由=0,=0,15可得 取 x2= ,得 y2=2 ,z2=5,-2-22+32=0,-22+2=0, 3 3即 n=( ,2 ,5), cos=3 3|= 531040=34.故二面角 O-PD-C 的余弦值为34.19.解
10、 (1)100 -10010(0.04+0.022)=20(人) .(2)由已知条件可知:20,50)内的人数为:100 -10010(0.04+0.02+0.02+0.01)=10,20,30)内的人数为 2 人,30,40)内的人数为 3 人,40,50)内的人数为 5 人 .X 的所有可能取值为 0,1,2,P(X=0)= ,330235=110P(X=1)= ,231235=35P(X=2)= ,132235=310所以 X 的分布列为X 0 1 2P110 35 310E(X)=0 +1 +211035 310=65.(3)估计 100 名学生该年课外阅读量的平均数在第五组 .20.
11、解 (1)由 BF1F2为等腰直角三角形可得 b=c,直线 BF1:y=x+b 被圆 x2+y2=b2所截得的弦长为 2,所以 a=2,b=c= ,所以椭圆的方程为 =1.224+22(2)若直线 l 的斜率不存在,则 S= 3=12 6 362.若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+m,设 A(x1,y1),B(x2,y2),16即24+22=1,=+,得(2 k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0.则 x1+x2=- ,x1x2= ,y1+y2=k(x1+x2)+2m= ,由题意点 O 为 PAC41+22 2(2-2)1+22 21+22重心,设 P(x0,y0),则
12、 =0, =0,1+2+03 1+2+03所以 x0=-(x1+x2)= ,y0=-(y1+y2)=- ,代入椭圆 =1,得41+22 21+22 24+22=1,整理得 m2= ,422(1+22)2+ 22(1+22)2 1+222设坐标原点 O 到直线 l 的距离为 d,则 PAC 的面积S= |AC|3d12= |x1-x2|3121+2 |1+2= |x1-x2|m|32= |m|32(- 41+22) 2-42(2-2)1+22= |m|32222(1+22)-21+22 =322(1+22)-1+2221+22 1+222 =362.综上可得 PAC 的面积 S 为定值362.1
13、721.(1)解 函数 f(x)的定义域为 R.由 f(x)=1- 0,知 f(x)是实数集 R 上的增函数 .11+2(2)解 令 g(x)=f(x)-ax3=x-ln(x+ )-ax3,1+2则 g(x)= ,令 h(x)= (1-3ax2)-1,1+2(1-32)-11+2 1+2则 h(x)=(1-6)-931+2 =(1-6)-921+2 . 当 a 时, h(x)0,从而 h(x)是0, + )上的减函数,16注意到 h(0)=0,则 x0 时, h(x)0,所以 g(x)0,进而 g(x)是0, + )上的减函数,注意到 g(0)=0,则 x0 时, g(x)0 时,即 f(x) ax3. 当 00,从而知,当 x 0, 时, f(x)16 1-69 1-69ax3; 当 a0 时, h(x)0,同理可知 f(x)ax3.综上,所求 a 的取值范围是 ,+ .16(3)证明 在(2)中,取 a= ,则 x 0, 时, x-ln(x+ ) x3,即 x3+ln(x+ ) 时,不等式化为 2x-1+2x+15, x12 12 54.综上,集合 A=| -5454.(2)证明 由(1)知 m=1,则 a+b+c=1.则 ,同理 ,则1- =+ 2 1- 2 ,1- 2=8,即 M8 .1- 1- 1- 2 2 2
