1、12.2.2 直线方程的几种形式1 在同一平面直角坐标系中,表示直线 y=ax 与 y=x+a 的图象正确的是( )解析： 结合四个图象, a 在两个方程中分别表示斜率和纵截距,它们的符号应一致 .逐一判断知A,B,D 项均错,只有 C 项正确 .答案： C2 下列命题: =k 表示过定点 P(x0,y0)且斜率为 k 的直线;-0-0 直线 y=kx+b 和 y 轴交于点 B,O 是原点,那么 b=|OB|; 一条直线在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b,那么该直线的方程为 =1;+ 方程( x1-x2)(y-y1)+(y2-y1)(x-x1)=0 表示过 P1(x1,y1),
2、P2(x2,y2)两点的直线 .其中错误命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3解析： 不是点斜式,因为它不包含点( x0,y0);b |OB|,b 是点 B 的纵坐标,可正、可负、可为零; 当 a=b=0 时,直线方程不能写成 =1; 正确,这是两点式的变形形式,其可以表示过 P1 (x1,y1),+P2(x2,y2)的所有直线 .答案： D3 已知两直线的方程分别为 l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在平面直角坐标系中的位置如图所示,则( )A.b0,d0,dcC.b0,acD.b0,a-10-0 0. 答案： C4 过点 P(3,2)的直线 l 与两坐标轴围成的
3、三角形面积为 6 的直线有( )A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条解析： 画图分析：此题会比较简单,符合条件的直线有两种情况(如图) .若直线经过第一、二、四象限,此时三角形面积一定大于长与宽分别为 3 与 2 的矩形的面积,即大于 6,不符合条件 .答案： B5 直线 2x-y+4=0 在两坐标轴上的截距之和是( )A.6 B.4 C.3 D.2解析： 令 x=0 得 y=4;令 y=0 得 x=-2,于是截距是 4+(-2)=2.答案： D6 如果直线经过点 A(1,4),且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍,那么直线的方程为( )A.2x+y-9=0 B.y=4
4、xC.y=4x 和 2x+y-9=0 D.y=4x 和 x+2y-9=0解析： 当直线经过坐标原点时,直线在 x 轴、 y 轴上的截距都是 0,符合题意,设其方程为 y=kx,又直线经过点 A(1,4),所以 4=k,即方程为 y=4x.当直线不经过坐标原点时,设其方程为 =1,又直2+线经过点 A(1,4),所以 =1,解得 a=,此时直线方程为 =1,即 x+2y-9=0.故所求直线方程12+4 9+92为 y=4x 或 x+2y-9=0.答案： D7 若一条直线经过点 M(2,1),且在两坐标轴上的截距之和是 6,则该直线的方程为 . 3解析： 由题意,设直线在 x 轴上的截距为 a,则
5、其在 y 轴上的截距为 6-a.于是我们可列出此直线的截距式方程为 =1,代入点 M 的坐标(2,1),得到关于 a 的一元二次方程,解得 a=3 或 a=4,+ 6-从而得到直线的方程为 =1 或 =1,化为一般式方程即为 x+y-3=0 或 x+2y-4=0.3+3 4+2答案： x+y-3=0 或 x+2y-4=08 已知直线 l 过点 P(-2,3),且与 x 轴、 y 轴分别交于 A,B 两点 .若 P 点恰为线段 AB 的中点,则直线 l 的方程为 . 解析： 设直线 l 的斜率为 k,则其方程为 y-3=k(x+2).令 y=0 得 x=-2;令 x=0,得 y=2k+3,因此
6、A,B(0,2k+3).因为 P 是 AB 的中点,所以 =-2,且 =3,解得 k=.因此 l(-3-2,0) -3-22 2+32的方程为 3x-2y+12=0.答案： 3x-2y+12=09 经过点 (-2,1),且斜率与直线 y=-2x-1 的斜率相等的直线方程为 . 解析： 由直线 y=-2x-1 的斜率为 -2,则所求直线的斜率也是 -2,故其方程为 y-1=-2(x+2),即2x+y+3=0.答案： 2x+y+3=010 若直线 2x+3y+m=0 经过第一、二、四象限,则实数 m 的取值范围是 . 解析： 直线方程可化为 y=-x-m,则 -m0,即 m0.答案： m011 设
7、直线 l 的方程为( m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求 m 的值 .(1)经过定点 P(2,-1);(2)在 y 轴上的截距为 6;(3)与 y 轴平行;(4)与 x 轴平行 .解 (1)点 P 在直线 l 上,即 P(2,-1)适合方程( m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,把点 P 的坐标(2, -1)代入,得 2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得 m=.(2)令 x=0,得 y= ,2-622+-1由题意知 =6,2-622+-1解得 m=- 或 m=0.134(3)与 y 轴平行,则有 2-2-30,22+-1=
8、0,解得 m= .12(4)与 x 轴平行,则有 2-2-3=0,22+-10,解得 m=3. 12 已知直线 l:5ax-5y-a+3=0.(1)求证:不论 a 为何值,直线 l 总经过第一象限;(2)为使直线 l 不经过第二象限,求 a 的取值范围 .(1)证明 (方法一)将直线 l 的方程整理为 y-=a ,(-15)l 的斜率为 a,且过定点 A ,(15,35)而点 A 在第一象限 ,故不论 a 为何值,直线 l 恒过第一象限 .(15,35)(方法二)直线 l 的方程可化为(5 x-1)a-(5y-3)=0.由于上式对任意的 a 总成立,必有 5-1=0,5-3=0,则有=15,=
9、35,即 l 过定点 A ,以下同方法一 .(15,35)(2)解 直线 OA 的斜率为 k= =3.35-015-0要使 l 不经过第二象限,需它在 y 轴上的截距不大于零,即令 x=0 时, y=- 0,故 a3 .-35 13 已知点 A(2,5)与点 B(4,-7),试在 y 轴上求一点 P,使得 |PA|+|PB|的值最小,并求出最小值 .解 如图,作点 A(2,5)关于 y 轴的对称点 A,则其坐标为( -2,5),在 y 轴上任取一点 P,由对称的知识易知 |PA|=|PA|.则求 |PA|+|PB|的最小值,即求 |PA|+|PB|的最小值 .5由平面几何知识知,当 A,P,B 三点共线时, |PA|+|PB|最小,由两点式得 AB 所在直线的方程为 ,即 2x+y-1=0.+75+7= -4-2-4令 x=0,得 y=1,故所求点 P 的坐标为(0,1) .此时,( |PA|+|PB|)min=|AB|= =6 .(-7-5)2+(4+2)2 5
