1、- 1 -黑龙江省哈尔滨市第三中学校 2018-2019 学年高二上学期第一次阶段性测试数学（理）试题考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 120 分，考试时间 90 分钟（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀第 I 卷 （选择题, 共 50 分）一、选择题（(共
2、 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.过点 且垂直于直线 的直线方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】设所求直线方程为 ,代入 得 ,故选 D.2.圆 的圆心和半径分别为A. 圆心 ，半径为 2 B. 圆心 ，半径为 2C. 圆心 ，半径为 4 D. 圆心 ，半径为 4【答案】B【解析】【分析】将圆的一般式化成标准方程，即可得到圆心和半径。- 2 -【详解】将 配方得所以圆心为 ，半径为 2所以选 B【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化，属于基础题。3.若两直线 与 平行，则它们之间的距离为A. B. C.
3、 D. 【答案】D【解析】【分析】根据两条直线平行，可求得 m 的值，再根据平行线的距离公式求得距离。【详解】因为两条直线平行，所以 ，所以 所以两条直线可以化为 与所以两条平行线间距离为 所以选 D【点睛】本题考查了两条直线平行的条件，平行线间的距离公式的简单应用，属于基础题。4.下列说法的正确的是A. 经过定点 的直线的方程都可以表示为B. 经过定点 的直线的方程都可以表示为C. 不经过原点的直线的方程都可以表示为D. 经过任意两个不同的点 的直线的方程都可以表示为 【答案】D【解析】【分析】- 3 -考虑斜率不存在和平行于 x 轴的直线，利用排除法。【详解】经过定点 的直线的方程都可以表
4、示为 但斜率不存在时，无法表示，故 A 错，同理 B 错。斜率不存在和平行于 x 轴的直线也无法表示，故 C 错。所以D 正确。故选 D。【点睛】本题考查了直线方程的定义和直线方程的基本应用，一定要注意斜率不存在的情况。5.若变量 满足 ，则 的最小值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先画出可行域，利用图像判断出目标函数 在 A 点取最小值，求解即可。【详解】有图可知， ，y 的系数小于零，故截距越大，目标函数值越小。所以在 A 点取最小值。A 点坐标为（2,2） ，所以 的最小值为-8，故选 D。【点睛】1、先画出可行域，高中阶段可行域是封闭图形。2、令目标函数 ， 解得判
5、断目标函数最值的参考直线方程 。3.画出判断目标函数最值的参考直线方程 的图像进行上下平移4.根据参考直线方程 的截距大小判断取最值的点（1）当 时截距越大目标函数值越大，截距越小目标函数值越小（2）当 时截距越大目标函数值越小，截距越小目标函数值越大- 4 -5.联立方程求点的坐标，求最值。6.过点 ，且圆心在直线 上的圆的标准方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据 AB 的直线方程，求得其垂直平分线的方程，进而求得圆心坐标；利用圆心到点的距离等于半径求得半径，得到圆的方程。【详解】过 AB 的直线方程为 ，A、B 的中点为 所以 AB 的垂直平分线为 所以圆心坐标为
6、，解得 ，即圆心坐标为半径为 所以圆的方程为所以选 B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及其简单应用，注意弦的垂直平分线经过圆心这个特殊性质，属于基础题。7.若点 满足 ，点 在圆 上，则 的最大值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据线性约束条件，画出可行域；求可行域内到点距离的最大值即可。【详解】根据所给不等式组，画出可行域如下图所示- 5 -因为 在圆 上，所以即求可行域内到点 距离加半径即可由图可知，可行域内点（1，1）到点（-2，3）的距离最大，所以 ，所以 PQ 最大值为 5+1=6所以选 A【点睛】本题考查了线性规划与圆方程的简单应用，关键是分析出哪个点才是最
7、优解，属于中档题。8.已知点 ，若直线 过点 与线段 有公共点，则直线 的斜率 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据 A、B 的坐标，连接后得到线段 AB；由图像可分析出斜率的取值范围。【详解】斜率 ，由图像可知，直线 斜率的取值范围为所以选 C【点睛】本题考查了直线斜率的简单应用，关键注意斜率取值的范围，属于基础题。- 6 -9.过坐标原点 作圆 的两条切线，切点为 ，直线 被圆截得弦 的长度为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据切线长定理及勾股定理，即可表示出四边形的面积；两个三角形组成面积和等于四边形面积，即可求得弦长。【详解】设圆心为 P
8、，由切线长定理可知 OA=OB，且 OAPA，OBPB,r = 1所以 ，ABOP所以 所以 所以选 B【点睛】本题考查了切线长定理的简单应用，属于基础题。10.若直线 和 轴， 轴分别交于点 ，以线段 为边在第一象限内做等边 ，如果在第一象限内有一点 使得 和 的面积相等，则 的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的边长，求得 C 到 AB 的距离；因为两个三角形面积相等，根据等积法可知P 到 AB 的距离等于 C 到 AB 的距离，进而可求出 m 的值。【详解】过 C 作直线 ，使 ，则点 P 在直线 上AB=2，所以点 C 到 AB 的距离为 AB 直线方
9、程可化为- 7 -由等积法可知 P 到 AB 的距离等于 C 到 AB 的距离，即 解得 或 ，因为 P 在第一象限，所以所以选 C【点睛】本题考查了三角形等面积法的应用，点到直线距离公式的用法，属于基础题。第卷 （非选择题, 共 70 分）二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上 ）11.若直线 经过直线 和 的交点,且平行于直线 ，则直线 方程为_.【答案】【解析】【分析】根据两条直线相交，求得交点坐标；再由平行求得直线斜率，进而用点斜式求得直线方程。【详解】直线 和 的交点为 直线 的斜率 由点斜式可知直线 方程为【点睛】本题考查了直线与直线相
10、交、直线平行、点斜式法的简单应用，属于基础题。12.若变量 满足 ，则目标函数 的最大值为_.【答案】【解析】【分析】先化简 ，令 ，将 的最大致转化为求解 的最小值， 的几何意义表示可行域内的点到（-1,0）的斜率，由图像可知在点 处取，由此得解。【详解】 ，令 ，将 的最大致转化为求解 的最小值， 的几何意义表示可行域内的点到（-1,0）的斜率，可行域为由 A,B,C 形成的三角形包含边界，故 在点 处取得最小值为 ，所以 的最大值为- 8 -【点睛】常见的非线性目标函数问题，利用其几何意义求解：的几何意义为可行域内的点到直线 的距离的 倍的几何意义为可行域内的点到点 的距离的平方。的几何
11、意义为可行域内的点到点 的直线的斜率13.已知点 ，动点 满足 ，则 面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】由题意可知点 P 的轨迹为 ，由图形可知， 面积 ，所以 面积的最大值为 的最大值，由此得解。【详解】设 ，由 ，可知 ，化简整理：，由图形可知， 面积 ，所以 面积的最大值为的最大值，当 时， 的最大值为 ，所以 的最大值为 .- 9 -【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，利用几何关系式直接得出轨迹方程。利用函数的思想建立面积的函数关系式求解。14.已知直线 上有两个点 和 , 且 为一元二次方程 的两个根, 则过点 且和直线 相切的圆的方程为_.【答案】 或【解析】【分析】由题意可
12、知， ， ，所以 中点坐标为 ，圆心在直线 的中垂线上，故过圆心满足直线 ，设圆心的坐标为 ，由圆与直线 相切故 ，由弦长公式可得 ，圆心到直线 的距离为 ，由勾股定理可知解得：当 时， ；当 时， 得解。【详解】 上有两个点 和 , 为一元二次方程 的两个根，故 ，那么 ，所以 中点坐标为 ，因为圆心在直线 的中垂线上，故过圆心的直线为 ，设圆心的坐标为 ，由圆与直线 相切故 ，由弦长公式可得 ，圆心到直线 的距离为 ，因为圆的半径、半弦长、圆心到直线 的距离构成直角三角形，由勾股定理可知解得：当 时， ；当 时， ，所以圆的方程为 或 。- 10 -【点睛】利用圆与直线的几何性质解圆有关的
13、问题常见解法，圆心到直线的距离、半径、弦长之间的关系为 。三、解答题（本大题共 4 小题，共 50 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）15.哈三中学生食堂出售甲、乙两种食品，甲每份售价 0.55 元、乙每份售价 0.40 元，经检测，食品中含有三种学生所需的营养物 A、B、C，其中食品甲每份含 A、B、C 分别为10、3、4 毫克，食品乙每份含 A、B、C 分别为 2、3、9 毫克，而营养师认为学生每餐至少需此三种营养物 A、B、C 分别为 20、18、36 毫克.问一学生进餐应对甲、乙食品各买几份，能保证足够的营养要求，又花钱最少？【答案】当 时，最小值为 2.55 元【解析】【
14、分析】根据所需 A、B、C 三种营养所需量，建立两种食物的不等式组，得到线性约束条件；根据售价得到目标函数，进而求得最优解。【详解】设买甲食品 x 份，乙食品 y 份，由题意可知 x、y 满足的关系为花费为 根据线性约束条件，画出可行域如下图所示平移目标函数直线，当经过点 P 时花费最少，此时 此时花费【点睛】本题考查了线性规划在实际问题中的应用，属于基础题。16.已知一组动直线方程为 .(1) 求证：直线恒过定点，并求出定点 的坐标;- 11 -(2) 若直线与 轴正半轴， 轴正半分别交于点 两点，求 面积的最小值.【答案】定点为（4,1）, 最小值为 8.【解析】【分析】（1）直线方程按
15、k 分解变形，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证：直线恒过定点。（2）根据点斜式写出直线方程，求出 面积的表达式，根据均值定理得出面积的最小值。【详解】 （1）直线方程 ，整理可得： 恒成立，由此 ，解得 ，由此直线恒过定点（4,1） 。（2）直线分别交 x 轴的正半轴， 轴正半分别交于点 两点，设直线方程为 其中 。令 ， ; 令 ， ，所以，当时取等号， 。【点睛】本题较难，考查直线恒过定点的知识，三角形的面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用。17.已知菱形 的一边所在直线方程为 ，一条对角线的两个端点分别为和 .(1) 求对角线 和 所在直线的方程
16、;(2) 求菱形另三边所在直线的方程.【答案】(1)AC: ， BD: 三边为 ， ，【解析】【分析】(1)根据两个点 A 和 C 求得 AC 的方程；因为 ACBD，且 BD 经过 AC 中点，所以可求得 BD 方程。(2) 设已知边的方程为 AB 的方程，通过对边平行且过 C 求出 DC 的直线方程；求出 AB 与 BD的交点 B 的坐标，进而求得 BC 的直线方程；再通过对边平行并经过点 A，求得 AD 的直线方程。- 12 -【详解】(1)因为 和所以设 AC 的方程为 ，则，解得 所以直线 AC 方程为 ，即设 AC 中点坐标为 ，因为 ABCD 为菱形，所以直线 BD 与直线 AC
17、 垂直，且平分线段 ACAC 垂直平分线的斜率 所以 BD 的直线方程为 ，即(2) 因为 在直线 上，不妨设 是 AB 的方程则 DC 直线与 AB 直线平行且过点 C，所以 DC 的直线方程为AB 与 BD 的交点 B 坐标为 ，解得 所以 BC 直线方程为因为 BCAD，两条直线斜率相等，且 AD 直线经过 A，所以设 AD 的直线方程为，代入 A 点坐标解得 所以 AD 的方程为综上，另外三条直线的方程分别为 ， ，【点睛】本题考查了两点法、点斜式在求直线方程中的应用，属于基础题。18.已知圆 的圆心坐标为 , 直线 与圆 交于点 , 直线 与圆交于点 , 且 在 轴的上方. 当 时, 有 .(1) 求圆 的方程;(2) 当直线 的斜率为 时, 求直线 的方程.【答案】 ; .【解析】【详解】 （1）当 时， ，圆的半径、半弦长、圆心到直线 的距离构成直角三角形，由勾股定理可知 ，解得 ，所以圆的方程为：（2）- 13 -
