1、1甘肃省会宁县第一中学 2018-2019 学年高二上学期期中考试数学（理）试题说明：考试时间 120 分钟，满分 150 分.一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 ，下列说法正确的是 （ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式性质得 D 成立，举例说明 A,B,C 错误.【详解】因为 21,-1-2,2(-1)=1(-2),所以 A 错；因为 21 ,20 2=10 2,所以 B 错；因为-2-1 ,所以 C 错；由不等式性质得若 ，则 ，所以
2、D 对，选 D.【点睛】本题考查不等式性质，考查分析判断能力.2.已知集合 ， ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求集合 A,B，再根据交集定义求结果.【详解】因为 ， ，所以 = ，选 B.【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3.在 中， ，则 （ ）2A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可求得 sinB= = ，结合范围 ，即可解得 B 的值【详解】由正弦定理可得：sinB= = = ，,解得：B= 或 故选：C【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基本知识的考查4.在各项都为正数的数列 中
3、，首项 ，且点 在直线 上，则数列 的前 项和 为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】代入点 ，化简可得数列a n为首项为 2，公比为 3 的等比数列，由等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求和【详解】在正数数列a n中，a 1=2，且点 在直线 x9y=0 上，可得 an2=9an1 2，即为 an=3an1 ，可得数列a n为首项为 2，公比为 3 的等比数列，3则a n的前 n 项和 Sn等于 = =3n1故选：B【点睛】本题考查数列与解析几何的综合运用，是一道好题解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前 n 项和公式和通项公式的灵活运用5.我国古代名著九章算术
4、中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何 ”意思是：“现有一根金锤，长 5 尺，头部 尺，重斤，尾部 尺，重 斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤 ”A. 6 斤 B. 7 斤 C. 斤 D. 斤【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可.【详解】原问题等价于等差数列中，已知 ，求 的值.由等差数列的性质可知： ，则 ，即中间三尺共重 斤.本题选择 D 选项.【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.等差数列
5、中， ， 且 ， 为其前 项和，则（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】由题意可得：由等差数列的性质可得4即可得到答案.【详解】由题意可得：因为 a100，a 110，且 a11|a 10|，所以由等差数列的性质可得： 故选 B【点睛】本题主要考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，掌握等差数列的前 n 项和公式7.不等式 对于一切 恒成立，那么的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】当 时不等式即为 ，对一切 恒成立，当 时，利用二次函数的性质列出满足的条件，结合两种情况，即可得到答案【详解】当 时不等式即为 ，对一切 恒成立，当 时，
6、则须 ，解得 ，所以 ，综上所述，实数的取值范围是 ，故选 B【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用一元二次函数的图象与性质，注意对二次项系数的分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题8.已知数列 的前 项和 ，则数列 的前 项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据和项与通项关系求 ， 根据等比数列定义判断 为等比数列，最后根据等比数列求和公式得结果.5【详解】当 时 ;当 时 ;所以 ， ，因此数列 为等比数列，前 项和为 ，选 C.【点睛】给出 与 的递推关系求 ，常用思路是：一是利用 转化为 的递推关系，
7、再求其通项公式；二是转化为 的递推关系，先求出 与 之间的关系，再求 . 应用关系式 时，一定要注意分 两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.9.设 的内角 所对的边分别为 ,若 ，则 的形状为（ ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形 D. 正三角形【答案】B【解析】【分析】先利用三角恒等变换化简 2sin A cos Bsin C 得 A=B.【详解】由已知得 2sin Acos Bsin Csin( A B)sin Acos Bcos Asin B，即sin(A B)0，因为 ，因此 .【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考
8、虑、减少运算量”的方法.15.函数 的最小值是_.【答案】5【解析】【分析】利用导数确定函数单调性，再见单调性确定函数最小值.【详解】因为当 时 ，所以当 时 最小值为 5.【点睛】本题考查利用函数单调性求最值，考查利用导数求函数单调性，考查基本求解能9力.16.已知数列 为正项的递增等比数列， ，记数列 的前 项和为，则使不等式 成立的最大正整数 的值为_.【答案】6【解析】【分析】先根据条件求出首项与公比，再根据等比数列求和公式求 ，化简不等式解得 ，最后确定满足条件的最大正整数 的值.【详解】由数列 为正项的递增等比数列，得公比 0由 得, , ,所以因此满足条件的最大正整数 的值为 6
9、.【点睛】本题考查等比数列通项公式、求和公式以及解指数不等式，考查基本求解能力.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）已知 ， 且 ，求 的最小值；（2）已知 , ， ，求证： .【答案】 （1）9 ； （2）8 .【解析】【分析】（1）利用 1 的代换化简 ，再根据基本不等式求最值， （2）利用 1 的代换化简 ，再根据基本不等式证不等式.10【详解】 （1）由基本不等式可得 ，当且仅当 ，等号成立，因此 的最小值为 9，（2）因为 ，所以 ，因此 当且仅当 等号成立，当且仅当 等号成立， ，当且仅当 等号成立，所以 ，当且仅当 等
10、号成立，因为 ，所以 ，所以 .【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.18.如图，在 中， ， 是 边上一点，且 .（1）求 的长；（2）若 ，求 的长及 的面积.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）在 中由正弦定理可求得 AD 的长；（2）在 中，由余弦定理可得 ，利用 可得所求面积。试题解析：（1）在 中，由正弦定理得 ，11即（2） ，在 中 ，由余弦定理得 .综上 ， 的面积为 。19.设函数 （1
11、）若不等式 的解集为 ，求实数、 的值；（2）解不等式 【答案】 （1）（2） 时解集为 ， 时解集为 ， 时解集为， 时解集为 ， 时解集为【解析】试题分析：（1）根据一元二次不等式的解集，利用根与系数的关系，即可求出实数 a、m的值；（2）不等式化为（ax-1） （x-1）0，讨论 a=0 和 a0、a0 时，求出不等式 f（x）0的解集即可试题解析： ，12不等式 等价于 ，依题意知不等式 的解集为 ， 且 1 和 2 为方程 的两根， ，解得 ，实数 、 的值分别为 、 ，不等式 可化为 ，（）当 时，不等式 等价于 ，解得 ，故原不等式的解集为， 7 分（）当 时，不等式 等价于 ，
12、当 时 ，不等式 的解集为 ，即原不等式的解集为 ，当 时，不等式 的解集为 ，即原不等式的解集为 ，当 时 ，不等式 的解集为 ，即原不等式的解集为 ，13（）当 时，不等式 等价于 ， ， ，不等式 的解集为 ，即原不等式的解集为，综上所述，当 时不等式 的的解集为 ，当 时不等式 的的解集为 ，当 时不等式 的的解集为 ，当 时不等式 的的解集为 ，当 时不等式 的的解集为 。考点：一元二次不等式的解法；二次函数的性质20.设 的内角 的对边分别为 ,且 .（1）求角 的大小;（2）若 ,求 的周长.【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）由正弦定理将条件化为角的关系，化简
13、得 ，即得结果， （2）由正弦定理得 ，再根据余弦定理解得，最后求周长.【详解】 （1）14由正弦定理得在 中，即 ； （2） ，由正弦定理得 又，解得 （负根舍去） ， 的周长【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.21.某企业今年初用 72 万元购买一套新设备用于生产，该设备第一年需各种费用 12 万元，从第二年起，每年所需费用均比上一年增加 4 万元，该设备每年的总收入为 50 万元，设生产 x 年的盈利总额为 y 万元.写出 y 与 x 的关系式；经过几年生产，盈利总额达到最大值
14、？最大值为多少？经过几年生产，年平均盈利达到最大值？最大值为多少？【答案】 （1） ；（2）经过 10 年生产，盈利总额达到最大值，最大值为 128 万元.经过 6 年生产，年平均盈利达到最大值，最大值为 16 万元.【解析】【分析】（1）根据等差数列求和公式得 x 年所需总费用，再利用收入减去成本得盈利总额，即得结果， （2）根据二次函数性质求最值，根据基本不等式求最值.【详解】 （1）x 年所需总费用为 ，所以盈利总额 ；（2）因为对称轴为 ，所以当 时盈利总额达到最大值，为 128 万元；15因为 ，当且仅当 时取等号,所以经过 6 年生产，年平均盈利达到最大值，最大值为 16 万元.【
15、点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.22.已知等比数列 的各项均为正数，前 n 项和为 ，且 ， ，数列 、满足 ， .（1）求 及 ；（2）数列 的前 n 项和为 ，证明 .【答案】 （1） ， （2）见解析【解析】【分析】（1）先根据条件求得公比，再代入等比数列通项公式与求和公式求得 及 ；（2）根据条件得 ，利用裂项相消法求得 ，即证得不等式【详解】 （1）因为 ，所以 （负舍） ，因此 ；（2） ， ( ),因此 = ( )+ ( ) ( )+.+ ( )+ ( )= ( ) (.【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔16一项的裂项求和，如 或 .
