1、1课时训练(二十) 相似三角形及其性质 |夯实基础|1.2017兰州 已知 2x=3y(y0),则下面结论成立的是 ( )A. = B. =32 32C. = D. =23 232.2018兰州 如图 K20-1,边长为 4 的等边 ABC 中, D,E 分别是 AB,AC 的中点,则 ADE 的面积是 ( )图 K20-1A. B. C. D.2332 334 33.如图 K20-2,在 ABCD 中,点 E 是边 AD 的中点, EC 交对角线 BD 于点 F,则 EFFC 等于 ( )图 K20-2A.32 B.312C.11 D.124.2018台州 如图 K20-3,在 ABCD 中
2、, AB=2,BC=3.以点 C 为圆心,适当长为半径画弧,交 BC 于点 P,交 CD 于点 Q,再分别以点 P,Q 为圆心,大于 PQ 的长为半径画弧,两弧相交于点 N,射线 CN 交 BA 的延长线于点 E,则 AE 的长是( )12图 K20-3A. B.1 C. D.12 65 325.2017遵义 如图 K20-4,在 ABC 中, E 是 BC 的中点, AD 是 BAC 的平分线, EF AD 交 AC 于 F.若 AB=11,AC=15,则FC 的长为 ( )图 K20-4A.11 B.12C.13 D.146.2017自贡 如图 K20-5,在 ABC 中, MN BC,分
3、别交 AB,AC 于点 M,N,若 AM=1,MB=2,BC=3,则 MN 的长为 .图 K20-57.2017潍坊 如图 K20-6,在 ABC 中, AB AC,D,E 分别为边 AB,AC 上的点, AC=3AD,AB=3AE,点 F 为 BC 边上一点,添加一个条件: ,可以使得 FDB 与 ADE 相似 .(只需写出一个) 3图 K20-68.如图 K20-7,在边长为 3 的菱形 ABCD 中,点 E 在边 CD 上,点 F 为 BE 延长线与 AD 延长线的交点,若 DE=1,则 DF 的长为 . 图 K20-79.2018包头 如图 K20-8,在 ABCD 中, AC 是一条
4、对角线, EF BC,且 EF 与 AB 相交于点 E,与 AC 相交于点F,3AE=2EB,连结 DF.若 S AEF=1,则 S ADF的值为 . 图 K20-810.2018江西 如图 K20-9,在 ABC 中, AB=8,BC=4,CA=6,CD AB,BD 是 ABC 的平分线, BD 交 AC 于点 E.求 AE的长 .图 K20-9411.如图 K20-10,在正方形 ABCD 中, M 为 BC 上一点, F 是 AM 的中点, EF AM,垂足为 F,交 AD 的延长线于点 E,交 DC于点 N.(1)求证: ABM EFA;(2)若 AB=12,BM=5,求 DE 的长
5、.图 K20-105|拓展提升|12.2018湖州 已知在 Rt ABC 中, BAC=90,AB AC,D,E 分别为 AC,BC 边上的点(不包括端点),且 = =m,连结 AE,过点 D 作 DM AE,垂足为 M,延长 DM 交 AB 于点 F.(1)如图 K20-11,过点 E 作 EH AB 于点 H,连结 DH.求证:四边形 DHEC 是平行四边形;若 m= ,求证: AE=DF.22(2)如图,若 m= ,求 的值 .35 图 K20-1167参考答案1.A 解析 根据等式的性质 2,等式的两边同时乘或者除以一个不为 0 的数或字母,等式依然成立 .故在等式左右两边同时除以 2
6、y,可得 = ,故选 A.322.A 3.D4.B 解析 如图所示,根据作图过程可知 CE 是 BCD 的平分线, FCB= FCD,四边形 ABCD 是平行四边形, AD BC,且 DC=AB=2, DFC= FCB, FCD= DFC, DF=DC=2, AF=AD-DF=3-2=1, AF BC, EAF EBC, = ,即 = ,解得 AE=1. +2135.C 解析 AD 是 BAC 的平分线, AB=11,AC=15, = = . E 是 BC 的中点, CE= BC, EF AD, = ,即1115 12 = ,解得 CF=13.1315156.1 解析 MN BC, AMN A
7、BC, = . AM=1,MB=2,BC=3,8 = ,解得 MN=1.11+237. A= BDF A= BFD, ADE= BFD, ADE= BDF,DF AC, = , =解析 AC=3AD,AB=3AE, = = ,又 A= A, ADE ACB,13 AED= B.故要使 FDB 与 ADE 相似,只需再添加一组对应角相等,或夹角的两边成比例即可 .8.329. 解析 由 3AE=2EB 得 = .由 EF BC 易证得 AEF ABC,所以 = ,又因为 S AEF=1,所以 S ABC= .又因52 23 425 254为 AC 是对角线,所以 S ADC= ,又因为 = =
8、,所以 S ADF= S ADC= = .254 23 25 25 254 5210.解: BD 为 ABC 的平分线, ABD= DBC.又 AB CD, D= ABD, DBC= D, BC=CD=4.又 AEB= CED, AEB CED, = , = =2,84 AE=2EC,解得 EC= AE,12 AC=AE+EC=6, AE+ AE=6,解得 AE=4.1211.解:(1)证明:四边形 ABCD 是正方形,9 B=90,AD BC, EAM= AMB. EF AM, AFE=90, AFE= B, ABM EFA.(2)在 Rt ABM 中, AB=12,BM=5, B=90,由
9、勾股定理得 AM= = =13.2+2 122+52 F 是 AM 的中点, AF= AM= .12 132 ABM EFA, = ,即 = ,解得 AE=16.9.131325又 AD=AB=12, DE=16.9-12=4.9.12.解析 (1)已知条件给出的是线段的比,所以考虑利用三角形相似,将线段的比进行转化,从而证明 HE 与 DC 相等,再得出平行四边形的结论; 是一个特殊的比值,且出现在直角三角形题目中,所以考虑证明直角三角形为等腰直角三22角形,从而得出线段相等,进而通过三角形全等证明结论 .(2)虽然 m 的值发生变化,但整体图形没有发生变化,所以解题的方法还可以仿照第(1)
10、问进行,只需要考虑将全等改为相似就可以 .解:(1)证明: EH AB, BAC=90, EH CA. BHE BAC. = .10 = , = . = . HE=DC.四边形 DHEC 是平行四边形 .证明: = , BAC=90,22 AC=AB. BHE BAC,则 BH=HE. HE=DC, BH=CD. AH=AD. DM AE,EH AB, EHA= AMF=90. HAE+ HEA= HAE+ AFM=90. HEA= AFD.又 EHA= FAD=90, HEA AFD. AE=DF.(2)过点 E 作 EG AB 于 G. CA AB, EG CA. EGB CAB, = = .35 = , EG=CD.35设 EG=CD=3x,AC=3y,11由题意得 BE=5x,BC=5y, BG=4x,AB=4y. EGA= AMF=90, GEA+ EAG= EAG+ AFM. AFM= AEG. FAD= EGA=90, FAD EGA. = = = .3-34-434
