1、1课时训练(十九) 直角三角形 |夯实基础|1.以下四个命题正确的是 ( )A.任意三点可以确定一个圆B.菱形的对角线相等C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D.平行四边形的四条边相等2.已知命题“关于 x 的一元二次方程 x2+bx+1=0,当 b0 时必有实数解”,能说明这个命题是假命题的一个反例是( )A.b=-1 B.b=2C.b=-2 D.b=03.如图 K19-1,在 ABC 中, C=45,点 D 在 AB 上,点 E 在 BC 上,若 AD=DB=DE,AE=1,则 AC 的长为 ( )图 K19-1A. B.252C. D.3 24.2018凉山州 如图 K19-2,数轴
2、上点 A 对应的数为 2,AB OA 于 A,且 AB=1,以 O 为圆心, OB 长为半径作弧,交数轴于点 C,则 OC 长为 ( )图 K19-2A.3 B. 2C. D.3 55.2017温州 四个全等的直角三角形按如图 K19-3 所示的方式围成正方形 ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为 S 的小正方形 EFGH.已知 AM 为 Rt ABM 较长直角边, AM=2 EF,则正方形 ABCD 的面积为 ( )2图 K19-3A.12S B.10SC.9S D.8S6.2018海南 如图 K19-4,在 ABC 中, AB=8,AC=6, BAC=30,将 ABC 绕点 A
3、 逆时针旋转 60,得到 AB1C1,连结 BC1,则 BC1的长为 ( )图 K19-4A.6 B.8 C.10 D.1237.2017益阳 如图 K19-5,在 ABC 中, AC=5,BC=12,AB=13,CD 是 AB 边上的中线,则 CD= . 图 K19-58.2017泸州 在 ABC 中,已知 BD 和 CE 分别是边 AC,AB 上的中线,且 BD CE,垂足为 O,若 OD=2 cm,OE=4 cm,则线段 AO 的长度为 cm. 9.如图 K19-6, ABC 绕点 A 顺时针旋转 45得到 ABC,若 BAC=90,AB=AC= ,则图中阴影部分的面积等于 .2图 K1
4、9-610.2018哈尔滨 在 ABC 中, AB=AC, BAC=100,点 D 在 BC 边上,连结 AD,若 ABD 为直角三角形,则 ADC 的度数为 . 11.2018庆云县期末 如图 K19-7, ABC 的三个顶点在正方形网格的格点上,网格中的每个小正方形的边长均为单位 1.(1)求证: ABC 为直角三角形;(2)求点 B 到 AC 的距离 .图 K19-7412.2017徐州 如图 K19-8,已知 AC BC,垂足为 C,AC=4,BC=3 ,将线段 AC 绕点 A 按逆时针方向旋转 60,得3到线段 AD,连结 DC,DB.(1)线段 DC= ; (2)求线段 DB 的长
5、度 .图 K19-85|拓展提升|13.2018湖州 在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中,每个小正方形的顶点为格点 .以顶点都是格点的正方形 ABCD 的边为斜边,向内作四个全等的直角三角形,使四个直角顶点 E,F,G,H 都是格点,且四边形 EFGH 为正方形,我们把这样的图形称为格点弦图 .例如,在图 K19-9 所示的格点弦图中,正方形 ABCD 的边长为 ,此时正方形 EFGH 的面积65为 5.问:当格点弦图中的正方形 ABCD 的边长为 时,正方形 EFGH 的面积的所有可能值是 (不包括 5). 65图 K19-9614.2016绍兴 对于坐标平面内的点 A,现将该点向右平
6、移 1 个单位,再向上平移 2 个单位,这种点的运动称为点A 的斜平移,如点 P(2,3)经 1 次斜平移后的点的坐标为(3,5),已知点 A 的坐标为(1,0) .(1)分别写出点 A 经 1 次,2 次斜平移后得到的点的坐标 .(2)如图 K19-10,点 M 是直线 l 上的一点,点 A 关于点 M 的对称点为点 B,点 B 关于直线 l 的对称点为点 C.若 A,B,C 三点不在同一条直线上,判断 ABC 是否是直角三角形?请说明理由 .若点 B 由点 A 经 n 次斜平移后得到,且点 C 的坐标为(7,6),求出点 B 的坐标及 n 的值 .图 K19-107参考答案1.C 2.A
7、3.D4.D 解析 AB OA 于 A, OAB=90.在 Rt OAB 中,由勾股定理得 OB= = = . OC=OB= .故2+2 22+12 5 5选择 D.5.C 解析 由题意可知,小正方形边长 EF=EH=HG=GF= ,4 个白色的矩形全等,且矩形的长均为 ,宽为( - ), 2 2 则直角三角形的短直角边长为 .由勾股定理得 AB= = =3 ,所以正方形 ABCD 的面积为 9S. 2+2 +8 6.C 解析 根据旋转的性质,得 AC1=AC=6, CAC1=60, BAC1= BAC+ CAC1=30+60=90.在 Rt ABC1中,BC1= =10,故选择 C.2+21
8、7.6.5 解析 由题意可得 AC2+BC2=AB2,再根据勾股定理的逆定理判断出 ABC 的形状,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 CD 的长 .因此正确答案是 6.5.8.4 解析 如图,连结 AO,作 OF AB 于点 F.5 BD,CE 是 ABC 的中线, OB=2OD=4, OE=4,BD CE, BOE 是等腰直角三角形, AE=BE=4 ,2 OF=EF=2 ,AF=6 ,2 2 AO= =4 .2+2 589. -1210.90或 130 解析 情况 1 当 ADB=90时, ADC=90;情况 2 当 BAD=90时, ADC= BAD+ B=90+(180-1
9、00)2=130.11.解:(1)证明:由勾股定理得, AB= ,BC=2 ,AC= ,13 13 65AB2+BC2=65=AC2, ABC 为直角三角形 .(2)作高 BD,由 ABBC= ACBD,12 12得 2 = BD,12 13 1312 65解得 BD= ,2655点 B 到 AC 的距离为 .265512.解析 (1)根据旋转的性质,判定 ACD 为等边三角形,则 DC 的长度易求得;(2)过 D 作 DE BC,分别解 Rt CDE,Rt BDE 即可 .解:(1)4(2) AC=AD, CAD=60,9 CAD 是等边三角形, CD=AC=4, ACD=60.过点 D 作
10、 DE BC 于 E. AC BC, ACD=60, BCD=30.在 Rt CDE 中, CD=4, BCD=30, DE= CD=2,CE=2 ,12 3 BE= ,3在 Rt DEB 中,由勾股定理得 DB= .713.9,13 和 49 解析 设图中直角三角形的长直角边为 a,短直角边为 b,则 a2+b2=65.小正方形的面积为( a-b)2.只要能把长为 a 和 b 的线段在网格中画出来,并且 a 和 b 的端点都在格点上即可 .65 可以写作 64+1 或 49+16,所以 a,b的值分别为 8,1 或 7,4.此时小正方形的面积为 49 或 9.另外,长为 13 和 5 的线段
11、也可以在网格中画出,所以 65 还可以写成 52+13 或 45+20,此时 a,b 的值分别为 2 ,13和 3 ,2 .此时小正方形的面积为 13 和 5.13 5 5小正方形的面积为 9,13 和 49 对应的图形分别为下图的 .故填 9,13 和 49.14.解:(1)点 A 的坐标为(1,0),点 A 经 1 次斜平移后得到的点的坐标为(2,2),点 A 经 2 次斜平移后得到的点的坐标为(3,4) .(2) ABC 是直角三角形,理由:连结 CM,如图:10由中心对称可知 AM=BM,由轴对称可知 BM=CM, AM=CM=BM, MAC= ACM, MBC= MCB. MAC+ ACM+ MBC+ MCB=180, ACM+ MCB=90, ACB=90, ABC 是直角三角形 .延长 BC 交 x 轴于点 E,过 C 点作 CF AE 于点 F,如图: A(1,0),C(7,6), AF=CF=6, ACF 是等腰直角三角形,由得 ACE=90, AEC=45, E 点坐标为(13,0) .设直线 BE 的解析式为 y=kx+b,由点 C,E 在直线上,可得 13+=0,7+=6,解得 =-1,=13,11 y=-x+13.点 B 由点 A 经 n 次斜平移得到,点 B(n+1,2n),由 2n=-n-1+13,解得 n=4,点 B 的坐标为(5,8) .
