1、1单元测试(四)范围:三角形 限时:45 分钟 满分:100 分一、选择题(每题 5 分,共 30 分)1.下列各组数可能是一个三角形的三边长的是 ( )A.1,2,4 B.4,5,9C.4,6,8 D.5,5,112.若 ABC 与 DEF 相似,且相似比为 1 3,则 ABC 与 DEF 的面积比为 ( )A.13 B.19 C.31 D.1 33.如图 D4-1,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是 169,小正方形的面积为 49,则 sin - cos = ( )图 D4-1A. B.- C. D.-513 513 713 7134.如图 D4-2,在 Rt ABC 中, AC
2、B=90, A=60,AC=6,将 ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到 ABC,此时点 A恰好在 AB 边上,则点 B与点 B 之间的距离为 ( )2图 D4-2A.12 B.6 C.6 D.62 35.如图 D4-3,在 ABC 中, C=90, B=30,以 A 为圆心,任意长为半径画弧分别交 AB,AC 于点 M 和 N,再分别以 M,N为圆心,大于 MN 的长为半径画弧,两弧交于点 P,连结 AP 并延长交 BC 于点 D,有下列说法: AD 是 BAC 的平分线 ;12 ADC=60;点 D 在 AB 的垂直平分线上; S DACS ABC=1 3.其中正确说法的个数是 ( )图
3、 D4-3A.1 B.2 C.3 D.46.矩形 ABCD 与 CEFG 如图 D4-4 放置,点 B,C,E 共线,点 C,D,G 共线,连结 AF,取 AF 的中点 H,连结 GH,若BC=EF=2,CD=CE=1,则 GH= ( )图 D4-4A.1 B. C. D.23 22 52二、填空题(每题 5 分,共 30 分)7.我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”,记作 k,若 k= ,则该等腰三角形12的顶角为 度 . 8.如图 D4-5, A= D,AC=DF,则需要补充条件 (写出一个即可),才能使 ABC DEF. 3图 D4-59.如图 D4-
4、6,在五角星中, A+ B+ C+ D+ E 的度数为 . 图 D4-610.如图 D4-7, ABC 中, AD 是中线, BC=8, B= DAC,则线段 AC 的长为 图 D4-711.如图 D4-8,四边形 ABCD 中, AC 平分 BAD, ACD= ABC=90,E,F 分别为 AC,CD 的中点, D= ,则 BEF 的度数为 .(用含 的式子表示) 图 D4-812.已知等边三角形 ABC 的高为 4,在这个三角形所在的平面内有一点 P,若点 P 到 AB 所在直线的距离是 1,点 P 到 AC 所在直线的距离是 2,则点 P 到 BC 所在直线的最小距离和最大距离分别是 .
5、 三、解答题(共 40 分)13.(8 分)如图 D4-9,AB CD,AB=CD,CE=BF.请写出 DF 与 AE 的数量关系,并证明你的结论 .4图 D4-914.(8 分)如图 D4-10,某数学兴趣小组为测量一棵古树 BH 和教学楼 CG 的高,先在 A 处用高 1.5 米的测角仪测得古树顶端 H 的仰角 HDE 为 45,此时教学楼顶端 G 恰好在视线 DH 上,再向前走 7 米到达 B 处,又测得教学楼顶端 G 的仰角 GEF 为 60,A,B,C 三点在同一水平线上 .(1)计算古树 BH 的高;(2)计算教学楼 CG 的高 .(参考数据: 1 .4, 1 .7)2 3图 D4
6、-10515.(12 分)随州市新蹶水一桥(如图 D4-11)设计灵感来源于市花兰花,采用蝴蝶兰斜拉桥方案,设计长度为 258米,宽 32 米,为双向六车道,2018 年 4 月 3 日通车 .斜拉桥又称斜张桥,主要由索塔、主梁、斜拉索组成 .某座斜拉桥的部分截面图如图 D4-11所示,索塔 AB 和斜拉索(图中只画出最短的斜拉索 DE 和最长的斜拉索 AC)均在同一水平面内,BC 在水平桥面上 .已知 ABC= DEB=45, ACB=30,BE=6 米, AB=5BD.(1)求最短的斜拉索 DE 的长;(2)求最长的斜拉索 AC 的长 .图 D4-11616.(12 分)如图 D4-12,
7、四边形 ABCD 中, AB=AC=AD,AC 平分 BAD,点 P 是 AC 延长线上一点,且 PD AD.(1)证明: BDC= PDC;(2)若 AC 与 BD 相交于点 E,AB=1,CECP= 2 3,求 AE 的长 .图 D4-127参考答案1.C2.B 解析 相似三角形的面积比等于相似比的平方 .3.D 解析 根据大正方形面积为 169 得到直角三角形斜边为 13,小正方形面积为 49 得直角边的差为 7,想到直角边为 12 和 5,得到 sin- cos= - =- ,故选 D.51312137134.D 解析 连结 BB.将 ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到 ABC,
8、CA=CA.又 A=60, AAC 为等边三角形, ACA=60,即旋转角为 60, BCB= ACA=60, BBC 为等边三角形, BB=BC.又在 Rt ABC 中, ACB=90, A=60,AC=6, BB=BC=6 .35.D6.C 解析 过点 H 作 HM 垂直于 CG 于点 M,设 AF 交 CG 于点 O.8根据题意可知 GOF DOA, = = = ,12所以 OF= OA= AF,即 AF=3OF,12 13因为点 H 是 AF 的中点,所以 OH= AF- AF= AF,12 13 16即 AF=6OH,所以 OH= OF.12根据已知条件可知 HOM FOG,可以推出
9、 HM= ;12同理,通过 HOM AOD,可以推出 DM= DG,即 GM= DG= .12 12 12在 Rt GHM 中, GH= = .2+222故选 C.7.36 解析 设顶角为 ,则其底角为 (180- ),由 k= ,可得 (180- )=2 ,解得 = 36.12 12 128.答案不唯一,如 BCA= EFD 或 AB=DE9.18010.4 211.270-3 解析 ACD=90, CAD=90- D=90- , E,F 分别为 AC,CD 的中点, EF AD, CEF= CAD=90-. AC 平分 BAD, BAC= CAD=90- , ABC=90,E 为 AC 的
10、中点, AE=BE, EBA= BAC=90- , BEC=180-2 , BEF=270-3.912.1,7 解析 根据题意画出相应的图形,直线 DM 与直线 NF 与 AB 的距离都为 1,直线 NG 与直线 ME 与 AC 的距离都为2,当 P 与 N 重合时, HN 为 P 到 BC 的最小距离;当 P 与 M 重合时, MQ 为 P 到 BC 的最大距离 .根据题意得 NFG 与 MDE 都为等边三角形, DB=FB= = ,CE=CG= = ,160233 260433 DE=DB+BC+CE= + + = ,233 833 433 1433FG=BC-BF-CG= ,233 NH
11、= FG=1,MQ= DE=7.32 32故点 P 到 BC 所在直线的最小距离和最大距离分别是 1,7.13.解: DF=AE.证明: AB CD, B= C. CE=BF, CE-EF=BF-EF,即 CF=BE.在 ABE 和 DCF 中, =,=,=, ABE DCF. DF=AE.14.解:(1)在 Rt DEH 中,10 DEH=90, HDE=45, HE=DE=7 米 . BH=HE+BE=7+1.5=8.5(米) .(2)设 EF=x 米,在 Rt GEF 中, GFE=90, GEF=60, GF=EFtan60= x.3在 Rt GDF 中, GFD=90, GDF=45
12、, DF=GF.7 +x= x.3将 1 .7 代入上式,解得 x10 .GF= x17 .3 3 GC=GF+FC=18.5(米) .15.解:(1) ABC= DEB=45, BDE=90,BD=DE,在 Rt BDE 中, DE=BEsin ABC=6sin45=3 (米) .2即最短斜拉索 DE 的长为 3 米 .2(2)过点 A 作 AM BC 于点 M,由(1)知, BD=DE=3 ,AB=5BD=53 =15 .2 2 2在 Rt ABM 中, AM=ABsin ABC=15 sin45=15(米) .2 ACB=30, AMC=90, AC=2AM=215=30(米) .即最长
13、斜拉索 AC 的长为 30 米 .1116.解析 (1)利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出 BDC= PDC;(2)过点 C 作 CM PD 于点 M,由相似的证明方法,得出 CPM APD,利用对应边成比例的关系,求出 EC 的长即可得出答案 .解:(1)证明: AB=AD,AC 平分 BAD, AC BD, ACD+ BDC=90. AC=AD, ACD= ADC. PD AD, ADC+ PDC=90, BDC= PDC.(2)如图,过点 C 作 CM PD 于点 M, BDC= PDC, CE=CM. CMP= ADP=90, P= P, CPM APD, = .设 CM=CE=x, CECP= 2 3, PC= x.32 AB=AD=AC=1,12 = ,13232+1解得 x= 或 x=0(舍去),13 AE=1- = .1323
