1、1课时训练(二十) 等腰三角形(限时:30 分钟)|夯实基础|1.如图 K20-1, ABC中, D为 AB上一点, E为 BC上一点,且 AC=CD=BD=BE, A=50,则 CDE的度数为 ( )图 K20-1A.50 B.51C.51.5 D.52.52.2017南充 如图 K20-2,等边三角形 OAB的边长为 2,则点 B的坐标为 ( )图 K20-2A.(1,1) B.( ,1)3C.( , ) D.(1, )3 3 33.2017雅安 一个等腰三角形的底边长是 6,腰长是一元二次方程 x2-7x+12=0的一根,此三角形的周长是 ( )A.12 B.13C.14 D.12或 1
2、44.2018淄博 如图 K20-3,在 Rt ABC中, CM平分 ACB交 AB于点 M,过点 M作 MN BC交 AC于点 N,且 MN平分 AMC,若 AN=1,则 BC的长为 ( )2图 K20-3A.4 B.6C.4 D.835.2017天津 如图 K20-4,在 ABC中, AB=AC,AD,CE是 ABC的两条中线, P是 AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是 ( )图 K20-4A.BC B.CEC.AD D.AC6.2016无锡 如图 K20-5,Rt ABC中, ACB=90, ABC=30,AC=2, ABC绕点 C顺时针旋转得 A1B1C,当 A1
3、落在AB边上时,连接 B1B,取 BB1的中点 D,连接 A1D,则 A1D的长度是 ( )图 K20-5A. B.2 C.3 D.27 2 37.2018临沂 如图 K20-6, ACB=90,AC=BC,AD CE,BE CE,垂足分别是点 D,E.AD=3,BE=1.则 DE的长是 ( )3图 K20-6A. B.232C.2 D.2 108.2016淮安 已知一个等腰三角形的两边长分别为 2和 4,则该等腰三角形的周长是 . 9.2018吉林 我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”,记作 k,若 k= ,则12该等腰三角形的顶角为 度 . 10.201
4、6泰州 如图 K20-7,已知直线 l1 l2,将等边三角形如图放置,若 = 40,则 等于 . 图 K20-711.2018遵义 如图 K20-8, ABC中,点 D在 BC边上, BD=AD=AC,E为 CD的中点,若 CAE=16,则 B为 度 .图 K20-812.2018宁波 如图 K20-9,在 ABC中, ACB=90,AC=BC,D是 AB边上一点(点 D与 A,B不重合),连接 CD,将线段CD绕点 C按逆时针方向旋转 90得到线段 CE,连接 DE交 BC于点 F,连接 BE.(1)求证: ACD BCE;4(2)当 AD=BF时,求 BEF的度数 .图 K20-913.2
5、018武汉 如图 K20-10,点 E,F在 BC上, BE=CF,AB=DC, B= C,AF与 DE交于点 G,求证: GE=GF.图 K20-105|拓展提升|14.2018绵阳 如图 K20-11, ACB和 ECD都是等腰直角三角形, CA=CB,CE=CD, ACB的顶点 A在 ECD的斜边 DE上,若 AE= ,AD= ,则两个三角形重叠部分的面积为 ( )2 6图 K20-11A. B.3-2 2C. -1 D.3-3 315.2017连云港 如图 K20-12,已知等腰三角形 ABC中, AB=AC,点 D,E分别在边 AB,AC上,且 AD=AE,连接 BE,CD,交于点
6、F.(1)判断 ABE与 ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点 A,F的直线垂直平分线段 BC.图 K20-126参考答案1.D 解析 AC=CD=BD=BE, A=50, A= CDA=50, B= DCB, BDE= BED. B+ DCB= CDA=50, B=25. B+ EDB+ DEB=180, BDE= BED= (180-25)=77.5,12 CDE=180- CDA- EDB=180-50-77.5=52.5,故选 D.2.D 解析 过点 B作 BC OA于点 C,则 OC=1,BC= = = .点 B的坐标为(1, ).故选 D.2-2 22-12 3 33.C
7、 解析 一元二次方程 x2-7x+12=0的两根分别为 3,4,所以腰长有两种情况:腰长为 3,底边长为 6,此时三角形三边关系为 3+3=6,不符合“三角形任意两边之和大于第三边”,故不成立;腰长为 4,此时三角形三边符合“三角形任意两边之和大于第三边”,所以周长为 4+4+6=14.74.B 解析 MN BC, ANM= ACB, NMC= MCB, CM平分 ACB, MCB= MCN= ACB,12 NMC= NCM, MN=NC, MN平分 AMC, AMN= NMC= AMC,12 AMN= ACB= ANM,12 12 A=90, AMN=30, AN=1, MN=2, NC=2
8、, AC=3, B= AMN=30, BC=2AC=6,故选 B.5.B 解析 由 AB=AC,可得 ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一”可知点 B与点 C关于直线 AD对称,连接 CP,则 BP=CP,因此 BP+EP的最小值为 CE,故选 B.6.A 解析 ACB=90, ABC=30,AC=2, A=90- ABC=60,AB=4,BC=2 .3 CA=CA1, ACA1是等边三角形, AA1=AC=BA1=2, BCB1= ACA1=60. CB=CB1, BCB1是等边三角形, BB1=2 , BD=DB1= ,3 3又 BA1=2, A1BB1=90, A1D= = .
9、12+2 7故选 A.7.B 解析 AD CE,BE CE, ADC= CEB=90, DAC+ DCA=90, ACB=90, ECB+ DCA=90, DAC= ECB,又 AC=CB, ACD CBE, CE=AD=3,CD=BE=1, DE=CE-CD=3-1=2,故选 B.88.10 解析 因为 2+2=4,所以等腰三角形的腰的长度是 4,底边长为 2,周长 =4+4+2=10.9.36 解析 如图,在 ABC中, AB=AC,设 A= ,则 B= C= (180- ),由 k= ,可得 (180- )=2 ,解出12 12 12= 36.10.20 解析 过点 A作 AD l1,如
10、图,则 BAD= = 40. l1 l2, AD l2. DAC= . ABC是等边三角形, BAC=60, = DAC= BAC- BAD=60-40=20.11.37 解析 因为 AD=AC,E为 CD的中点,所以 DAC=2 CAE=32,所以 ADC= (180- DAC)=74,因为 BD=AD,12所以 B= ADC=37.1212.解:(1)证明:线段 CD绕点 C按逆时针方向旋转 90得到线段 CE, DCE=90,CD=CE.又 ACB=90, ACB= DCE, ACD= BCE.9在 ACD和 BCE中, =,=,=, ACD BCE.(2) ACB=90,AC=BC,
11、A=45, ACD BCE, AD=BE, CBE= A=45.又 AD=BF, BE=BF, BEF= BFE= =67.5.180-45213.证明: BE=CF, BE+EF=CF+EF, BF=CE.在 ABF和 DCE中, =,=,=, ABF DCE,1 =2, GE=GF.14.D 解析 过点 A作 AF CE于点 F,设 AB与 CD的交点为 M,过点 M作 MN AC于点 N,如图所示 . ECD为等腰直角三角形, CE=CD, E=45.10 AE= ,AD= ,2 6 AF=EF=1,CE=CD= =1+ ,2 3 CF= , AC= =2, ACF=30,3 2+2 A
12、CD=60.设 MN=x, ABC为等腰直角三角形, CA=CB, CAB=45, AN=MN=x,又 CN= = x,3 33 AC=AN+CN=x+ x=2,33解得 x=3- ,3 S 阴影 =S ACM= ACMN=3- .12 3故选 D.15.解:(1) ABE= ACD.理由如下:因为 AB=AC, BAE= CAD,AE=AD,所以 ABE ACD.所以 ABE= ACD.(2)证明:因为 AB=AC,所以 ABC= ACB.由(1)可知 ABE= ACD,所以 FBC= FCB,所以 FB=FC.又因为 AB=AC,所以点 A,F均在线段 BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段 BC.
