1、1第一章 第 4 节 用一元二次方程解决问题专项练习一一、 等积变形、面积问题 1：1.用长为 32 米的篱笆围一个矩形养鸡场设围成的矩形一边长为 x 米(1)当 x 为何值时，围成的养鸡场面积为 60 平方米；(2)请问能否围成面积为 70 平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由2某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池（平面图如图 ABCD 所示）由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过 16 米如果池的外围墙建造单价为每米400 元，中间两条隔墙建造单价为每米 300 元，池底建造单价为每平方米 80 元 （池墙的厚度忽略不计）当三级
2、污水处理池的总造价为 47200 元时，求池长 x3如图，在矩形 ABCD 中， AB=8cm， BC=16cm，点 P 从点 A 沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，同时点 Q 从点 B 沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，有一点到终点运动即停止，设运动时间为 t 秒.（1） t 为何值时， PBQ 的面积为 12cm2；（2）若 PQ DQ，求 t 的值.4如图，在 RtABC中， 90C， 4cmAC， 6.5cmC点 P从点 出发沿 A边向点 以 1c/s的速度移动，与2此同时，点 Q从点 C出发沿 B边向点 以 2cm/s的速度移动当点 Q到达点 B时，点
3、 P停止移动（ 1）几秒钟 后， 23cPCQSA （ 2）几秒钟后， 55(1)一块长方形菜地的面积是 150 m2，如果它的长减少 5 m，那么菜地就变成正方形，若设原菜地的长为 x m，则可列方程为_；(2)已知如图所示的图形的面积为 24，根据图中的条件，可列方程为_. 6如图所示，在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2 ， 设金色纸边的宽为 xcm，求满足 x 的方程37现有精装词典长、宽、厚尺寸如图（1）所示（单位：cm） ，若按图（2）的包书方式，将封面和封底各折进去 3cm试用含 a、b、c
4、 的代数式分别表示词典封皮（包书纸）的长是 cm，宽是_cm；8.在如图（4）的矩形包书纸皮示意图中，虚线为折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长即为折叠进去的宽度（1）若有一数学课本长为 26cm、宽为 18.5cm、厚为 1cm，小海 宝用一张面积为 1260 cm2的矩形纸包好了这本数学书，封皮展开后如图（4）所示若设正方形的边长（即折叠的宽度）为x cm，则包书纸长为 cm，宽为 cm（用含 x 的代数式表示）（2）请帮小海宝列好方程，求出第（1）题中小正方形的边长 x cm9小张准备把一根长为 32cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形 （1）要使
5、这两个正方形的面积之和等于 40cm2，小张该怎么剪？（2）小李对小张说：“这两个正方形的面积之和不可能等于 30cm2 ”他的说法对吗？请说明理由10阅读下列内容，并答题：我们知道，计算 n 边形的对角线条数公式为： 12n（n3） 如果一个 n 边形共有 20 条对角线，那么可以得到方程 12n（n3）=20 整理得 n23n40=0；解得 n=8 或 n=5n 为大于等于 3 的整数，n=5 不合题意，舍去n=8，即多边形是八边形根据以上内容，问： （1）若一个多边形共有 14 条对角线，求这个多边形的边数； 4（2）A 同学说：“我求得一个多边形共有 10 条对角线” ，你认为 A 同
6、学说法正确吗？为什么？11一块正方形的铁皮，在它的四角各截去边长为 4 的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是 400 3 ，求原铁皮的边长12如图，ABC 中，C90，AC8 cm，BC4 cm，一动点 P 从点 C 出发沿着 CB 方向以 1 cm/s 的速度运动，另一动点 Q 从点 A 出发沿着 AC 方向以 2 cm/s 的速度运动，P，Q 两点同时出发，运动时间为 t s.(1)当 t 为何值时，PCQ 的面积是ABC 面积的 ？(2)PCQ 的面积能否为ABC 面积的 ？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由13在一块长 16m，宽 12m 的矩形荒地上建造一个花园，要
7、求花轩占地面积为荒地面积的一半，下5面分别是小强和小颖的设计方案（1）你认为小强的结果对吗？请说明理由我的设计方案如图(1)，其中花园四周小路的宽度一样，通过解方程得到小路的宽为 2m 或 12m我的设计方案如图(2)，其中每个角上的扇形半径都相同。（2）请你帮助小颖求出图中的 x（3）你还有其他的设计方案吗？请在图（3）中画出一个与图（1） （2）有共同特点的设计草图，并加以说明14如图 1，为美化校园环境，某校计划在一块长为 60 米，宽为 40 米的长方形空地上修建一个长6方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为 米.（1）花圃的面积为_ 2米 （用含 的式子表示）
8、 ；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽；（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价 （元） 、 （元）与修建面积 x 2m之间的函数关系如图 2 所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于 2 米且不超过 10 米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为 105920 元 答案详解：71 （1）x 为 6 或 10 时；（2）不能理由见解析.试题分析：（1）矩形一边长为 x，周长为 32，另一边为 23x，面积为 60，可列出一元二次方程，求出 x 值；（2）仿照第一问列出方程，根据根的情况作出判定能否围成面积为 70 的养鸡场.试题
9、解析：（1）由题意得：x（16-x）=60，即 x2-16x+60=0, 解得：x 1=6，x 2=10, 即当 x 为 6 或10 时，围成的养鸡场面积为 60 平方米；(2)不能围成面积为 70 平方米的养鸡场，理由如下： 由题意得：x（16-x）=70，即 x2-16x+70=0,因为=（-16） 2-4170=-240，所以该方程无解.故不能围成面积为 70 平方米的养鸡场.214 米试题分析：本题的等量关系是池底的造价+外围墙的造价+中间隔墙的造价=47200 元，由此可列方程求解试题解析：根据题意，得 2（x+ 0x400）+2 20x300+20080=47200，整理，得 2x
10、39x+350=0，解得 1=25， 2=14，x=2516，x=25 不合题意，舍去 x=1416， 20x= 1416，x=14 符合题意所以，池长为 14 米3 （1） t=2 或 6；（2） t=2 或 8试题分析：（1）表示出 PB， QB 的长，利用 PBQ 的面积等于 12cm2列式求值即可；（2）如果 PQ DQ，则 DQP 为直角，得出 BPQ CQD，即可得出对应边成比例，再设AP=t， QB=2t，得出方程，求出 x 即可试题解析：解：（1）设 t 秒后 PBQ 的面积等于 12cm2则 AP=t， QB=2t， PB=6 t， （8 t）2 t=12，解得 x1=2，
11、x2=6答：2 秒或 6 秒后 PBQ 的面积等于 12cm2；8（2）设 t 秒后 PQ DQ 时，则 DQP 为直角， BPQ CQD， ，设 AP=t， QB=2t， ，解得： x=2 或 8当 x=8 时， P 点到达 B 点、 Q 点到达 C 点，此时 PQ DQ答 ：2 秒或 8 秒后 PQ DQ点拨：此题考查了矩形的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质；解题的关键是根据三角形相似的性质列出方程4. 试题分析：（1）设点 P、Q 同时出发，x 秒钟后，AP=xcm，PC=（4-x）cm，CQ=2xcm，此时PCQ 的面积为： 22x（4-x） ，令该式=3，由此等量关系列出方
12、程求出符合题意 的值；（2）利用 PC=（4-x）cm，CQ=2xcm，由勾股定理定理可得解试题解析：（ 1）解：设这时间为 st，由题可知， 6s02t即 3.2st，由题 4PCt， 2Q， 9C， 2442QSttA ，令 3PC，则 24t，解得 1或 ，即： s或 3后， 23cmPCQSA（ 2）解： 2，令 45t，解得 16t， 2461t（舍） ，即： 45秒后， 5cmPQ5(1) x(x5)150. (2) (x1) 2124.试题分析：（1）根据“如果它的长减少 5m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多95 米，利用矩形的面积公式列出方程即可；（2）把缺口补
13、回去，得到一个边长为 x1，面积 25 的正方形，根据正方形面积公式， 观察图形可得图形的面积等于两个正方形的面积的差，据此可以列出方程试题解析：（1）长减少 5m，菜地就变成正方形，原菜地的长为 x 米，则宽为（x-5）米，根据题意得：x （x-5）=150，故答案为：x（x-5）=150（2）根据题意得：（x+1） 2-1=24，故答案为：（x+1） 2-1=24点拨：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，找到等量关系6x 2+65x350=0分析：挂图长为（80+2 x）cm，宽为（50+2 x）cm，根据其积为 5400，即长宽=5400，列方程进行化简即可解：
14、挂图长为（80+2 x）cm，宽为（50+2 x）cm；所以(80+2 x)(50+2x)=5400，即 4x2+160x+4000+100x=5400，所以 4x2+260x1400=0即 x2+65x350=0点拨：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键7 26cmb， a8设折叠进去的宽度为 ,x则包书纸的长为 38宽是 26,cm故答案为： 2,x .由题意，得： 10x；解得： 12,34,x不 符 合 题 意 舍 去 ; x=2，答：小正方形的边长为 2cm10分析： 1结合图形，列出代数式即可.2设折叠进去
15、的宽度为 ,xcm列出代数式即可.根据所给的条件，用折叠进去的宽度表示出矩形的长与宽，然后根据矩形的面积列方程，求解即可.详解： 1词典封皮（包书纸）的长是 26bccm,宽是 acm.故答案为： 26bc, a.设折叠进去的宽度为 xm则包书纸的长为 38,c宽是 26,c故答案为： 2x .由题意，得： 10x；解得： 12,34,x不 符 合 题 意 舍 去 ; x=2，答：小正方形的边长为 2cm点拨：本题考查了列代数式，代数式的求值，一元二次方程的应用；解 决此类问题的关键是读懂题意，找到题中所给的等量关系.9 （1）小张应将 40cm 的铁丝剪成 8cm 和 24cm 两段，并将每
16、一段围成一个正方形；（2）他的说法对试题分析：（1）设围成的两个正方形中其中一个边长为 xcm，则另一个正方形的边长为 3248xcm，由此根据题意可列出方程 22840x ，解此方程即可；（2）同（1）可得方程： 3，化为一般形式由“一元二次方程根的判别式”可知该方程无实数根，从而可得结论；试题分析：（1）设其中一个正方形的边长为 xcm，则另一个正方形的边长为（8x）cmx 2+（8x） 2=40，即 x28x+12=011x 1=2，x 2=6当 时， 86x；当 时， 82x；一个正方形的周长为 8cm，另一个正方形的周长为 24cm，小张应将 40cm 的铁丝剪成 8cm 和 24c
17、m 两段，并将每一段围成一个正方形（2）他的说法对假定两个正方形的面积之和能等于 30cm2根据（1）中的方法，可得 x2+（8x） 2=30即 x28x+17=0，=8 24170，所列方程无解两个正方形的面积之和不可能等于 30cm210 （1）多边形是七边形；（2）多边形的对角线不可能有 10 条 试题分析：(1)、根据题意得出关于 n 的一元二次方程，然后求出 n 的值，根据 n 为大于 3 的整数求出 n 的值；(2)、根据一元二次方程求出 n 的值，然后根据 n 不是正整数，从而得出答案试题解析：(1)、解：根据题意得： 12n（n3）=14，整理得：n 23n28=0， 解得：n
18、=7 或 n=4 n 为大于等于 3 的整数， n=4 不合题意，舍去； n=7， 即多边形是七边形(2)、解：A 同学说法是不正确的，理由如下：当 12n（n3）=10 时，整理得：n 23n20=0， 解得：n= 3892 ，符合方程 n23n20=0 的正整数 n 不存在， 多边形的对角线不可能有 10 条 1118cm试题分析：先设原正方形铁皮的边长为 x，然后根据题意列出方程 4（x-8） 2=400，再解方程即可求解试题解析：设原正方形铁皮的边长为 xcm则由题意可得 4（x-8） 2=400解得 x1=18，x 2=-2（不合题意，舍去） 答：原正方形铁皮的边长为 18cm121
19、2 （1）当 t2 时，PCQ 的面积为ABC 面积的 ；（2）PCQ 的面积不可能是ABC 面积的试题分析：（1）根据三角形的面积公式可以得出 面积为 ， 的面积为，由题意列出方程解答即可；（2）由等量关系 列方程求出 的值，但方程无解试题解析：（1） ， , 解得（2）当 时， 此方程没有实数根， 的面积不可能是 面积的一半13 （1）小强的结果不对，理由见解析；（2）55；（3）详见解析试题分析：（1）小强的结果不对设小路宽 x 米，由此得到内面的矩形的长、宽分别为（16-2x） 、（12-2x） ，再根据矩形的面积公式即可列出方程求解；（2）从图中知道，四个扇形的半径为 x，根据扇形的
20、面积公式可以用 x 表示它们的面积，然后根据题意即可列出方程求解；（3）有其他的方案答案比较多，例如可以以每边中点为圆心画半圆，然后根据题意计算它们的半径即可试题解析：（1）小强的结果不对设小路宽 米，则解得：荒地的宽为 12cm，若小路宽为 12m，不合实际，故 （舍去）（2）依题意得：（3）13第一个图，A、B、C、D 为各边中点；第二个图圆心与矩形的中心重合，半径为 m14(1)（40-2a） （60-2a） ；（2）通道的宽为 5 米；（3）通道宽为 2 米时，修建的通道和花圃的总造价为 105920 元试题分析：（1）用 a 表示出花圃的长和宽，然后用矩形的面积公式计算出花圃的面积即
21、可；（2）根据通道所占面积是整个长方形空地 面积的 38，列 出一元二次方程，解方程即可；（3）根据图象所给的信息，求出 1y、 2与 x 之间的函数关系式，根据（1）中花圃的面积求得通道的面积，再由修建的通道和花圃的总造价为 105920 元，列出方程求解即可试题解析：(1)由图可知，花圃的面积为（40-2 a） （60-2 a） ； （2）由已知可列式：6040-（40-2 a） （60-2 a）= 386040，解以上式子可得： a1=5， a2=45（舍去） ，答：所以通道的宽为 5 米；（3）当 a=10 时，花圃面积为（60210）（40210）=800（平方米）即此时花圃面积最少
22、为 800（平方米） 根据图象可设 y1=mx， y2=kx+b，将点（1200，48000） ， （800，48000） ， （1200，62000）代入，则有1200m=48000，解得： m=40 y1=40x 且有 8040 26kb， 解得： 35 20kb， y2=35x+20000花圃面积为：（402 a） （602 a）=4 a2200 a+2400，通道面积为：2400（4 a2200 a+2400）=4 a2+200a35（4 a2200 a+2400）+20000+40（4 a2+200a）=105920解得 a1=2， a2=48（舍去） 答：通道宽为 2 米时，修建的通道和花圃的总造价为 105920 元点拨：本题是一元二次方程和一次函数的综合题，正确的解决这类题目的关键是准确的找出等量关系列出方程，再根据所给的函数图象求出对应的函数解析式，把函数问题转化为方程问题.
