1、1规范答题示例 6 应用题典例 6 (14 分)某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示圆 O 的圆心与矩形 ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切( E 为上切点)，与左右两边相交( F， G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域已知圆的半径为 1 m，且 .设 EOF ，透光区域的面积为 S.ABAD 12(1)求 S 关于 的函数关系式，并求出定义域；(2)根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好当该比值最大时，求边 AB 的长度审题路线图 (1) 求 出 OH， FH的 长 度 表 达 式 确 定 S OFH与 S扇 形 OEF， 写 出
2、 S的 表 达 式Error!(2) 求 出 S矩 形 的 表 达 式 透 光 区 域 与 矩 形 窗 面 面 积 的 比 值 的 表 达 式 f 求 导 f cos (12sin 2 )2sin2 确 定 f 的 符 号 6时 ， f 有 最 大 值 6 34 得 出 结 论2规 范 解 答分 步 得 分 构 建 答 题 模 板解 (1)过点 O 作 OH FG 于点 H，则 OFH EOF ，所以 OH OFsin sin ，FH OFcos cos ，2 分所以 S4 S OFH4 S 扇形 OEF2sin cos 4 sin 2 2 ，4 分12因为 ，所以 sin ，ABAD 12
3、12所以定义域为 .6 分 6， 2)(2)矩形窗面的面积 S 矩形 ADAB22sin 4sin .7 分则透光区域与矩形窗面的面积的比值为 2sin cos 24sin .8 分cos 2 2sin 设 f( ) ， .cos 2 2sin 6 2则 f( ) sin 12 sin cos 2sin2 sin cos sin32sin2 sin cos2 cos 2sin2，10 分cos (12sin 2 )2sin2因为 ，所以 sin 2 ，所以 sin 2 0，故 6 2 12 12 12f( )0，所以函数 f( )在 上单调递减 6， 2)所以当 时， f( )有最大值 ，此时
4、 AB2sin 1(m). 6 6 34第一步细审题，找关系：通过阅读题目，抓住关键信息，找出题目中影响结论的变量及其相互关系；第二步设变量，建模型：用字母表示变量，建立函数或其他数学模型；第三步用数学，解模型：利用函数或者其他数学知识方法解决数学模型；第四步要检验，来作答：检验问题的实际意义，最后进行作答.313 分答 (1) S 关于 的函数关系式为 Ssin 2 2 ，定义域为； 6， 2)(2)当 透 光 区 域 与 矩 形 窗 面 的 面 积 比 值 最 大 时 ， 边 AB 的 长 度 为 1 m 14分评分细则 (1)求出 OH， FH 的长度给 2 分；(2)求出 S 的表达式
5、给 2 分，无定义域扣 2 分；4(3)求出总面积的表达式给 1 分；(4)求出 f( )的表达式给 1 分；(5)正确求导 f( )，给 2 分；(6)求出 f( )的最大值给 3 分，无最后结论扣 1 分跟踪演练 6 (2018启东期末)如图，在圆心角为 90，半径为 60 cm 的扇形铁皮上截取一块矩形材料 OABC，其中点 O 为圆心，点 B 在圆弧上，点 A， C 在两半径上，现将此矩形铁皮OABC 卷成一个以 AB 为母线的圆柱形铁皮罐的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长AB x cm，圆柱形铁皮罐的容积为 V cm3.(x)(1)求圆柱形铁皮罐的容积 V 关于 x 的函数解
6、析式，并指出该函数的定义域；(x)(2)当 x 为何值时，才使做出的圆柱形铁皮罐的容积 V 最大？最大容积是多少？ (圆柱体(x)积公式： V Sh， S 为圆柱的底面枳， h 为圆柱的高)解 (1)连结 OB，在 Rt OAB 中，由 AB x，利用勾股定理可得 OA ，3 600 x2设圆柱底面半径为 r，则 2 r，3 600 x2即 4 2r23 600 x2，所以 V(x) r2x x ，3 600 x24 2 3 600x x34即铁皮罐的容积 V(x)关于 x 的函数关系式为 V(x) ，定义域为(0,60)3 600x x34(2)由 V ( x) 0， x(0,60)，得 x20 .3 600 3x24 3当 x 变化时， V(x)， V( x)的变化情况如表所示：x (0,20 )3 20 3 (20 ，60)3V( x) 0 V(x) 极大值 V(20 )3 5所以当 x20 时， V(x)有极大值，也是最大值 .312 0003答 当 x 为 20 cm 时，做出的圆柱形铁皮罐的容积最大，最大容积是 cm3.312 0003
