1、1安徽省郎溪中学直升部 2018-2019 学年高二数学上学期第一次月考试题(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合 P=xx 21,M=a.若 PM=P,则 a 的取值范围是( )A(-, -1 B1, +） C-1，1 D（-，-1 1，+）2. 已知 是三个相互平行的平面平面 之间的距离为 平面 之间的123,12,1,d23,距离为 直线 与 分别相交于 ，那么“ ”是“ ”dl123,3,p123p1=d的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件
2、D既不充分也不必要条件3. 已知空间四边形 中， ， ， ，点 在 上，且OABCaObCcMOA， 为 中点，则 ( )2OMNMNA. B. C. D. 13abc123abc12213abc4. 下列命题中错误的是 ( )A如果平面 平 面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面C如果平面 平 面 ，平面 平 面 ， =l，那么 l平 面D如果平面 平 面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面5. 在圆 内，过点 E（0，1）的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD，则26xy四边形 ABCD 的面积为( )A 5 B 210
3、C 52 D 206. 已知抛物线 C： 4yx的焦点为 F，直线 4yx与 C 交于 A，B 两点则cosF=( )2A45B3C35D47. 设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线 r 上存在点 P 满足12:PF=4:3:2，则曲线 r 的离心率等于( )A3或B23或 2 C12或2 D23或8. 如图，四棱锥 SABCD 的底面为正方形，SD 底面 ABCD，则下列结论中不正确的是( )AACSBBAB平面 SCDCSA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角DAB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角9.已知直线 l 过双曲线 C 的
4、一个焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，为 C 的实轴长的 2 倍，C 的离心率为( )ABA B 3 C 2 D 310.已知直二面角 ，点 A，AC ，C 为垂足，B，BD ，D 为垂足若ll lAB=2，AC=BD=1，则 D 到平面 ABC 的距离等于( )A23B3C63D1 11. 命题“所有能被 2 整聊的整数都是偶数”的否定是( )A所有不能被 2 整除的数都是偶数 B所有能被 2 整除的整数都不是偶数C存在一个不能被 2 整除的数是偶数 D存在一个能被 2 整除的数不是偶数12. 已知球的直径 SC=4，A，B 是该球球面上的两点，AB= 3， 30
5、BSCA，则棱锥 SABC 的体积为( )A 3 B 32 C D1二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上)13.一个几何体的三视图如右图所示（单位： m），则该几何体的体积为_ 3m314. 在椭圆 =1 内有一点 M(4, 1),使过点 M 的弦 AB 的中点正好为点 M，求弦 AB40x21y所在的直线的方程 .。15.设动圆 C 与两圆22(5)4,(5)4xyxy中的一个内切，另一个外切。C 的圆心轨迹 L 的方程 。16设集合,)2(|),( 2RyxmxmyA, ,12|xB, 若 BA则实数 m 的取值范围是_三、解答题(本大题共
6、6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分 10 分)已知 p： 0， q： x22 x1 m20( m0 的解集为 R.若 p 或 q 为真， q 为假，求实数 m 的取值范围19. (本小题满分 12 分)在直三棱柱 中， ， ，且异面直线 与1CBA1A09BCBA1所成的角等于 ，设 .1CB06a（）求 的值； a（）求平面 与平面 所成的锐二面角的大小.1120. (本小题满分 12 分) 直线 y ax1 与双曲线 3x2 y21 相交于 A， B 两点，是否存在这样的实数 a，使A， B 关于直线 y2 x 对称？请说明理由ABCA1B1
7、C1521. (本小题满分 12 分).如图，四棱锥 中， 平面 ，四边形PABCDABCD是矩形， 、 分别是 、 的中点若ABCDEFP， 3P6（）求证： 平面 ；/AC（） 求点 到平面 的距离；FPE（）求直线 平面 所成角的正弦值22.(本小题满分 12 分)椭圆)0(1:2bayxC的左顶点 )0,2(A,过右焦点 F且垂直于长轴的弦长为 3.()求椭圆 的方程;()若过点 A的直线 l与椭圆交于点 Q,与 y轴交于点 R,过原点与 l平行的直线与椭圆交于点 P,求证:2OR为定值.6参考答案 CCADB DADBC DC13,6+ 14, x y5=0 15, x2 /4-y2
8、1 16,1/2,2+ 217已知 p： 0， q： x22 x1 m20( m0 的解集为 R.若 p 或 q 为真， q 为假，求实数 m 的取值范围解 由方程 x2 mx10 有两个不相等的实根，得 m240，解得 m2 或 m2 或 m0 的解集为 R，得方程 4x24( m2) x10 的根的判别式 16( m2) 2160，解得 1m3.命题 q 为真时，1 m3；命题 q 为假时， m1 或 m3. p 或 q 为真， q 为假， p 真 q 假，Error! 解得 m2 或 m3.实数 m 的取值范围为(，2)3，)19、解法一：（1） ，1/CB就是异面直线 与 所成的角，B
9、CAA即 ，（2 分）016连接 ，又 ，则 1为等边三角形，4 分1由 ， ，ACB092BC；6 分1221 a（2）取 的中点 ，连接 ，过 作 于 ，连接 ，EE1FFB1, 平面BAE11B1A8 分C又 ，所以 平面 ，即 ，1F1111CABCA1B1C1FE7所以 就是平面 与平面 所成的锐二面角的平面角。10 分FEB11BCA1在 中， ， ， ,101921E32FB，13 分23sin1FBE016因此平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 。14 分CA0说明：取 的中点 ，连接 ，同样给分（也给 10 分）1DA1解法二：（1）建立如图坐标系，于是 ， ， ， （)0
10、,(B)1,(),(C),0(1aA）0a， ， 3 分),(1CB),01(a1由于异面直线 与 所成的角 ，A1C06所以 与 的夹角为 即12120cos|11BA6 分)(22 aa（2）设向量 且 平面,zyxnn1C于是 且 ，即 且 ，BA110BA01n又 ， ，所以 ，不妨设 8 分),0(1 ),(1Cyzx)1,(n同理得 ，使 平面 ，（10 分）,m1设 与 的夹角为 ，所以依 ，ncos|nm，12 分062cos1cs2平面 ， 平面 ，m1CBn1BCA因此平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 。14 分A1 0说明：或者取 的中点 ，连接 ，于是 显然 平面M
11、),21(AMA1CB20 直线 y ax1 与双曲线 3x2 y21 相交于 A， B 两点，是否存在这样的实数 a，使A， B 关于直线 y2 x 对称？请说明理由分析 先假设实数 a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛8盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论解 设存在实数 a，使 A， B 关于直线 l： y2 x 对称，并设A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 AB 的中点坐标为 .(x1 x22 ， y1 y22 )依题设有 2 ，即 y1 y22( x1 x2)，y1 y22 x1 x22又 A， B 在直线 y ax1 上， y1 a
12、x11， y2 ax21， y1 y2 a(x1 x2)2，由，得 2(x1 x2) a(x1 x2)2，即(2 a)(x1 x2)2，联立Error! 得(3 a2)x22 ax20， x1 x2 ，把代入，得(2 a) 2，2a3 a2 2a3 a2解得 a ，经检验符合题意，32 kAB ，而 kl2， kABkl 231.32 32故不存在满足题意的实数 a.21、解法一： （I）取 PC 的中点 G，连结 EG， FG，又由 F 为 PD 中点，则 F G . 2 分/CD21又由已知有./,/AEFAE四边形 AEGF 是平行四边形. 4 分./G平面 PCE， EG 5 分AF又
13、 .PC平 面PC平 面（II） ,ABDP平 面,/.,3AFEGPCD由 平 面 的 中 点是又 平 面是 矩 形 有由 平 面平 面 = =9.,. 的 距 离到 平 面的 长 就 是 点则平 面由 于 平 面 于作过内平 面 平 面 PCEFHPCEPCDFEG3 分.24321.0, .62,23,PFHCA平 面由 于由 已 知 可 得. 5 分的 距 离 为到 平 面点 E（III）由（II）知 .所 成 的 角与 平 面为 直 线 PCEC142sin.,23,6,2FCHDRt中在直线 FC 与平面 PCE 所成角的正弦值为 . 4 分解法二：如图建立空间直角坐标系 A（0，
14、0，0）， P（0，0，3），xyzD（0，3，0）， E（ ，0，0）， F（0， ， ）， C（ ，3，0）2 分26236（I）取 PC 的中点 G，连结 EG， 则 G).2,(,./ ),230(),230(PCEGPEAF平 面平 面又即 ./C平 面22.【答案】解:(1) 2a,设过右焦点 F且垂直于长轴的弦为 MN,将 ),(Myc代入椭圆10方程12byacM,解得 abym2, 故32,可得 2b 所以,椭圆方程为 342x(2)由题意知,直线 OPAQ,斜率存在,故设为 k,则直线 AQ的方程为 )2(xky,直线 OP的方程为 kxy.可得 )20(R,则21设 ),(1yxA, )(2Q,联立方程组 34)(2yxk, 消去 得: 0161342kxk, 6221x, 3421, 则 3412)(121221 kxxkxkAQ设 kxy与椭圆交另一点为 ),(3yxM, )(4P,联立方程组 12yx, 消去 得 012)34(2,124k, 所以 324xkOP故)3412(2kARQ. 所以2OP等于定值
