1、14.3 特殊三角形过关演练 (30分钟 80分)1.(2018浙江湖州) 如图, AD,CE分别是 ABC的中线和角平分线 .若 AB=AC, CAD=20,则 ACE的度数是 (B)A.20 B.35C.40 D.70【解析】 AD 是 ABC的中线, AB=AC, CAD=20, CAB=2 CAD=40, B= ACB= (180- CAB)=70.CE 是 ABC的角平分线 , ACE= ACB=35.12 122.(2018江苏宿迁) 若实数 m,n满足等式 |m-2|+ =0,且 m,n恰好是等腰 ABC的两条-4边的边长,则 ABC的周长是 (B)A.12 B.10 C.8 D
2、.6【解析】 |m- 2|+ =0,m- 2=0,n-4=0,解得 m=2,n=4,当 m=2作腰时,三边为 2,2,4,-4不符合三边关系定理;当 n=4作腰时,三边为 2,4,4,符合三边关系定理,周长为 2+4+4=10.3.(2018长沙) 我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是有一块三角形沙田,三条边长分别为 5里,12 里,13 里,问这块沙田面积有多大?题中“里”是我国市制长度单位,1 里 =500米,则该沙田的面积为 (A)A.7.5平方千米 B.15平方千米C.75平
3、方千米 D.750平方千米【解析】 52+122=132, 三条边长分别为 5里,12 里,13 里,构成了直角三角形, 这块沙田面积为 550012500=7500000(平方米) =7.5(平方千米 ).1224.(2018陕西) 如图,在 ABC中, AC=8, ABC=60, C=45,AD BC,垂足为 D, ABC的平分线交 AD于点 E,则 AE的长为 (C)A. B.2 C. D.3423 2 823 2【解析】 AD BC, ADC= ADB=90.在 Rt ADC中, AC=8, C=45,AD=CD ,AD= AC=4 .在 Rt ADB中, AD=4 , ABD=60,
4、BD= AD= .BE 平分22 2 2 33 463 ABC, EBD=30.在 Rt EBD中, BD= , EBD=30,DE= BD= ,AE=AD-DE=463 33 423.8235.若等腰三角形的周长为 10 cm,其中一边长为 2 cm,则该等腰三角形的底边长为 (A)A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm【解析】(1)若底边长为 2 cm,则腰长为(10 -2)2=4(cm),4+24,符合三角形三边关系,所以该等腰三角形的底边长为 2 cm;(2)若腰长为 2 cm,则底边长为 10-22=6(cm),2+26,不符合三角形三边关系,所以该等腰三角形的底边长
5、为 6 cm应舍去 .6.如图,在 ABC中, AB=5,AC=6,BC=4,边 AB的垂直平分线交 AC于点 D,则 BDC的周长是(C)A.8 B.9C.10 D.11【解析】 AB 的垂直平分线交 AC于点 D,AD=BD , BDC的周长=BD+BC+CD=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.7.如图,在 ABC中, AB=AC,AD,CE是 ABC的两条中线, P是 AD上的一个动点,则下列线段的长等于 BP+EP最小值的是 (B)A.BC B.CEC.AD D.AC【解析】由 AB=AC,可得 ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点 B与点 C关于直线
6、AD对称,连接 CP,则 BP=CP,所以 BP+EP=CP+EP CE,所以 BP+EP的最小值为CE.38.(2018山东东营) 如图,点 E在 DBC的边 DB上,点 A在 DBC的内部, DAE= BAC=90,AD=AE,AB=AC.给出下列结论: BD=CE ; ABD+ ECB=45;BD CE;BE 2=2(AD2+AB2)-CD2.其中正确的是 (A)A. B.C. D.【解析】 DAE= BAC=90, DAB= EAC,AD=AE ,AB=AC, DABEAC,BD=CE , ABD= ACE,故 正确; ABD+ ECB= ACE+ ECB= ACB=45,故 正确;
7、ECB+ EBC= ABD+ ECB+ ABC=45+45=90, CEB=90,即 CE BD,故 正确;BE 2=BC2-EC2=2AB2-(CD2-DE2)=2AB2-CD2+2AD2=2(AD2+AB2)-CD2,故 正确 .9.(2018贵州遵义) 如图,在 ABC中,点 D在 BC边上, BD=AD=AC,E为 CD的中点 .若 CAE=16,则 B的度数为 37 . 【解析】 AD=AC ,点 E是 CD的中点, AE CD, AEC=90, C=90- CAE=74,AD=AC , ADC= C=74,AD=BD , 2 B= ADC=74, B=37.10.如图,把等边 AB
8、C沿着 DE折叠,使点 A恰好落在 BC边上的点 P处,且 DP BC,若 BP=4 cm,则 EC= 2+2 cm. 3【解析】根据“30角所对的直角边等于斜边的一半”可求得 BD=8,再由勾股定理求得DP=4 .根据折叠的性质可得 DPE= A=60,DA=DP=4 ,易得 EPC=30, PEC=90,所3 3以 EC= PC= (8+4 -4)=2+2 .12 12 3 311.如图,在 ABC中, AB=BC=4,AO=BO,P是射线 CO上的一个动点, AOC=60,则当 PAB为直角三角形时, AP的长为 2 或 2 或 2 . 3 7【解析】当 APB=90时, 如图 1,AO
9、=BO ,PO=BO , AOC=60, BOP=60, BOP为等边三角形, AB=BC= 4,AP=AB sin 60=4 =2 ;32 34 如图 2,AO=BO , APB=90,PO=AO , AOC=60, AOP为等边三角形, AP=AO= 2.当 ABP=90时,如图 3, AOC= BOP=60, BPO=30,BP= =2 ,在30=233 3Rt ABP中, AP= =2 .(23)2+42 7综上, AP的长为 2 或 2 或 2.3 712.(2018云南) 在 ABC中, AB= ,AC=5,若 BC边上的高等于 3,则 BC边的长为 9或 1 34. 【解析】有两
10、种情况: 如图 1,AD 是 ABC的高, ADB= ADC=90,由勾股定理得 BD=5,CD= =4,BC=BD+CD= 5+4=9; 如图2-2=(34)2-32 2-2=52-322,同理得 CD=4,BD=5,BC=BD-CD= 5-4=1.综上, BC的长为 9或 1.13.(8分) (2018合肥庐阳区一模) 九章算术“勾股”章有一题:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三 .乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会 .问甲乙行各几何” .大意是说,已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为 7,乙的速度为 3.乙一直向东走,甲先向南走 10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇 .那
11、么相遇时,甲、乙各走了多远?解:设经 x秒二人在 B处相遇,这时乙共行 AB=3x,甲共行 AC+BC=7x,AC= 10,BC= 7x-10,又 A=90,BC 2=AC2+AB2, (7x-10)2=102+(3x)2,x= 0(舍去)或 x=3.5,AB= 3x=10.5,AC+BC=7x=24.5.答:甲走了 24.5步,乙走了 10.5步 .14.(10分)在 ABC中, AB=CB, ABC=90,F为 AB延长线上一点,点 E在 BC上,且 AE=CF.(1)求证:Rt ABERt CBF;5(2)若 CAE=25,求 CFE的度数 .解:(1) ABC=90, CBF= ABE
12、=90.在 Rt ABE和 Rt CBF中, AE=CF ,AB=CB, Rt ABERt CBF(HL).(2)由(1)得 Rt ABERt CBF, AEB= CFB,BE=BF, BFE=45, ABC=90,AB=BC, BCA=45,又 AEB=45+ CAE, CFB=45+ CFE, CFE= CAE=25.15.(10分)(1)已知 ABC是等腰三角形,其底边是 BC,点 D在线段 AB上, E是直线 BC上一点,且 DEC= DCE.若 A=60(如图 1),求证: EB=AD;(2)若将(1)中的“点 D在线段 AB上”改为“点 D在线段 AB的延长线上”,其他条件不变(如
13、图 2),(1)中的结论是否成立,并说明理由;(3)若将(1)中的“若 A=60”改为“若 A=90”,其他条件不变,则 的值是多少?(直接写出结论,不要求写解答过程)解:(1)作 DF BC交 AC于点 F.则 ADF= ABC, AFD= ACB, FDC= DCE, ABC是等腰三角形, A=60, ABC是等边三角形, ABC= ACB=60, DBE=120, ADF= AFD=60= A, ADF是等边三角形, AD=DF, DFC=120, DEC= DCE, FDC= DEC,ED=CD,在 DBE和 CFD中, =,=120,=, DBE CFD(AAS),EB=DF ,EB
14、=AD.(2)EB=AD成立 .理由:作 DF BC交 AC的延长线于点 F,则 DCE= CDF, ABC与 ADF是等边三角形,AD=DF. DEC= DCE,DE=CD , DEC= CDF,又 DBE= DFC=60, DBE CFD(AAS),EB=DF ,EB=AD.6(3) .=2提示:作 DF BC交 AC于点 F.同(1)得 DBE CFD(AAS),EB=DF. ABC是等腰直角三角形, DF BC, ADF是等腰直角三角形, DF= AD, , .2=2 =2名师预测1.等边三角形的两条中线相交所成钝角的度数是 (B)A.105 B.120C.135 D.150【解析】等
15、边三角形的每一个内角都等于 60,而等边三角形的中线就是内角的平分线,所以等边三角形的两条中线相交所成钝角就是等边三角形两个内角平分线相交所成钝角,其度数为 180-30-30=120.2.如图,等边三角形 ABC中, AD BC,垂足为 D,点 E在线段 AD上, EBC=45,则 ACE等于(A)A.15 B.30C.45 D.60【解析】 等边三角形 ABC中, AD BC,BD=CD ,即 AD是 BC的垂直平分线, 点 E在 AD上,BE=CE , EBC= ECB, EBC=45, ECB=45, ABC是等边三角形, ACB=60, ACE= ACB- ECB=15.3.如图,在
16、 Rt ABC中, CM平分 ACB交 AB于点 M,过点 M作 MN BC交 AC于点 N,且 MN平分 AMC,若 AN=1,则 BC的长为 (B)A.4 B.6 C.4 D.83【解析】 在 Rt ABC中, CM平分 ACB,MN BC,且 MN平分 AMC, AMN= NMC= B, NCM= BCM= NMC, ACB=2 B,NM=NC, B=30,AN= 1,MN= 2,AC=AN+NC= 3,BC= 6.4.在 ABC中, AB=13 cm,AC=20 cm,BC边上的高为 12 cm,则 ABC的面积为 (D)A.63 cm2 B.126 cm2C.63 cm2或 126
17、cm2 D.66 cm2或 126 cm27【解析】当 B为锐角时(如图 1),在 Rt ABD中, BD= =5,在 Rt2-2=132-122ADC中, CD= =16,BC= 21,S 2-2=202-122ABC= BCAD= 2112=126(cm2);当 B为钝角时(如图 2),在 Rt ABD中, BD=12 12=5,2-2=132-122在 Rt ADC中, CD= =16,BC=CD-BD= 16-5=11,S 2-2=202-122ABC= BCAD= 1112=66(cm2).综上, ABC的面积为 66 cm2或 126 cm2.12 125.如图,在 ABC中, A
18、B=AC=10, BAC的角平分线交 BC边于点 D,AD=8,则 BC= 12 . 【解析】由 AB=AC,AD平分 BAC,根据等腰三角形的性质知 AD BC,BD=CD,又由勾股定理得CD= =6,所以 BC=2CD=12.102-826.如图,已知 BD是 ABC的平分线, DE AB于点 E,DF BC于点 F,S ABC=105 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,则 DE的长是 7 cm. 【解析】由角平分线的性质知 DE=DF,由三角形面积公式知 18DE+ 12DE=105,解得12 12DE=7 cm.7.如图, AB=AC=AD=4 cm,DB=DC,若 ABC=
19、60,则 BE= 2 cm , ABD= 75 . 8【解析】 AB=AC , ABC=60, ABC为等边三角形, BC= 4 cm,AB=AC ,DB=DC,AE 是BC边的垂直平分线, BE= BC=2 cm, BAD=30,12AB=AD , ABD= ADB, ABD= (180- BAD)= (180-30)=75.12 128.已知两条互不平行的线段 AB,AB关于直线 l对称, AB,AB所在的直线交于点 P,下面四个结论: AB=AB ; 点 P在直线 l上; 若 A,A是对称点,则 AA垂直平分直线 l; 若点Q是直线 l上任一点,则 QB=QB.其中正确的是 .(只填序号
20、) 【解析】由轴对称的性质知 AB=AB,故 正确;点 P在直线 l上,故 正确;直线 l是线段BB的垂直平分线,所以 QB=QB,故 正确; 是错误的 .9.如图,一只蜘蛛在等腰 Rt ABC钢梁上织网纲, BAC=90,AB=AC=8,点 E在 AB上, BE=2,要在顶梁柱 AD(中线)上定一点 F,从点 B到点 F拉网纲,再从点 F到点 E拉网纲 .(1)点 F在 AD(中线)上何处时网纲( BF+FE)最短,并证明 .(2)在(1)中,求最短网纲( BF+FE)的长度 .(3)在 AB上还有点 E1,E2,已知 BE=EE1=E1E2=E2A=2,现在蜘蛛要在 B,E两点之间, E,
21、E1两点之间, E1,E2两点之间都要到顶梁柱 AD上定一次点拉网纲,直到点 E2结束,求这些网纲之和最短时的长度?解:(1)如图 1,作点 E关于直线 AD的对称点 E,连接 BE,交 AD于点 F,点 F即为所求 .证明:由对称的性质可得 EF=FE,此时 BE在一条直线上,在 AD上任取一点与点 B,E构成三角形,利用三角形两边之和大于第三边可得 BE最小,即可得出 BF+FE最短 .(2)如图 1,过点 E作 EN BC于点 N, BAC=90,AB=AC=8,BC= 8 ,2BE= 2,则 CE=2,EN=NC= ,BN= 7 ,2 2在 Rt BNE中, BE= =10.(72)2+(2)2 最短网纲( BF+FE)的长度为 10.(3)如图 2,由(2)可得 BF+EF=10,同理可得 EF1+E1F1=EM= =2 ,E1K=E1F2+E2F2= =2 ,52 13 20 5故这些网纲之和最短时的长度为 10+2 +2 .13 5
