1、- 1 -第 7 课时 组合应用举例基础达标(水平一)1.12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口 4 人,则不同的分配方案共有( ).A. 种 B.3 种4124844 4124844C. 种 D. 种4124833412484433【解析】有序平均分组问题 .【答案】A2.过正八面体(由 2 个棱长相同的四棱锥拼接而成,如图)的任意 2 个顶点的所有直线中,随机取 2 条,则这 2 条直线异面的情况有( ).A.24 种 B.36 种C.48 种 D.60 种【解析】因为从正八面体的 6 个顶点中任取 4 个,4 点共面的情况有 3 种,所以可构成 -463=12 个四
2、面体 .又因为每个四面体可构成 3 对异面直线,所以共有 123=36 对异面直线 .【答案】B3.有 10 件不同的试验产品,其中有 4 件次品,6 件正品,现每次取一件测试,直到 4 件次品全被测出为止,则最后 1 件次品正好在第五次测试时被发现的不同情形的种数是( ).A.576 B.24 C.144 D.96【解析】先从 6 件正品中任选 1 件,放在前四个位置的任一个上,有 种方法;再把 4 件1614次品在剩下的四个位置上任意排列,有 种排法.故不同的情形种数为 =576.44 161444【答案】A4.两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各
3、人每局输赢的不同视为不同情形)有( ).A.10 种 B.16 种 C.20 种 D.30 种【解析】分三种情况:恰好打 3 局,有 2 种情形;恰好打 4 局(一人前 3 局中赢 2 局、输 1局,第 4 局赢),有 2 =6 种情形 ;恰好打 5 局(一人前 4 局中赢 2 局、输 2 局,第 5 局赢),有232 =12 种情形 .故所有可能出现的情形有 2+6+12=20 种 .24【答案】C- 2 -5.从 0,1, , , ,2 这六个数字中 ,任取两个数字作为直线 y=xtan +b 的倾斜角和截距,可22 3组成 条平行于 x 轴的直线 . 【解析】要使得直线与 x 轴平行,则
4、倾斜角为 0,截距在 0 以外的五个数字中取,故有 =515条满足条件的直线 .【答案】56.某同学有相同的画册 2 本,相同的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1本,则不同的赠送方法的种数为 . 【解析】有两种取法:第一种,从 2 本画册中取出 1 本,将 3 本集邮册全部取出;第二种,将2 本画册全部取出,从 3 本集邮册中取出 2 本 .由于画册是相同的,集邮册也是相同的,因此第一种取法中只需从 4 位朋友中选出 1 人赠送画册,其余的赠送集邮册,有 =4 种赠送方法;第14二种取法中只需从 4 位朋友中选取 2 人赠送画册,其余的赠送集邮册,有 =6 种赠送
5、方法 .因24此共有 4+6=10 种赠送方法 .【答案】107.有 9 名学生,其中 2 名会下象棋但不会下围棋,3 名会下围棋但不会下象棋,4 名既会下围棋又会下象棋 .现在要从这 9 名学生中选出 2 名学生,1 名参加象棋比赛,另 1 名参加围棋比赛,共有多少种不同的选派方法?【解析】设 2 名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合 A,3 名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合 B,4 名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合 C,则选派 2 名参赛同学的方法可以分为以下 4 类:第一类, A 中选 1 人参加象棋比赛, B 中选 1 人参加围棋比赛,方法数为 =6 种;1213第二类, C
6、中选 1 人参加象棋比赛, B 中选 1 人参加围棋比赛,方法数为 =12 种;1413第三类, C 中选 1 人参加围棋比赛, A 中选 1 人参加象棋比赛,方法数为 =8 种;1412第四类, C 中选 2 人分别参加两项比赛,方法数为 =12 种 .24根据分类加法计数原理,选派方法数共有 6+12+8+12=38 种 .拓展提升(水平二)8.将标号为 1,2,10 的 10 个球放入标号为 1,2,10 的 10 个盒子里,每个盒内放 1 个球,恰好 3 个球的标号与其在盒子上的标号不一致的放入方法种数为( ).A.120 B.240 C.360 D.720【解析】先选出 3 个球有
7、=120 种方法,不妨设为 1,2,3 号球,则 1,2,3 号盒中能放的球310为 2,3,1 或 3,1,2 两种 .这 3 个号码放入标号不一致的盒子中有 2 种不同的方法,故共有1202=240 种方法 .【答案】B9.有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙、丙各需 1 人承担,从 10 人中选派 4 人承担这项任务,不同的选法有( ).A.1260 种 B.2025 种 C.2520 种 D.5040 种- 3 -【解析】第一步,从 10 人中选派 2 人承担任务甲,有 种选派方法;第二步,从余下的 8 人210中选派 1 人承担任务乙,有 种选派方法;第三步,再从余下的 7 人
8、中选派 1 人承担任务丙,有18种选派方法. 根据分步乘法计数原理,选派方法种数为 =2520.17 2101817【答案】C10.如图, A,B,C,D 为海上的四个小岛,要建三座桥,将这四个小岛连接起来,则不同的建桥方案共有 种 . 【解析】四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥,其中建三座桥连接四个小岛,符合要求的建桥方案是三座桥不围成封闭的三角形区域,如桥 AC,BC,BD 符合要求,而桥 AC,CD,DA不符合要求,其中不符合要求的共有 4 种,故共有 -4=16 种不同的建桥方案 .36【答案】1611.如图,在以 AB 为直径的半圆周上,有异于 A,B 的六个点 C1,C2,C3,C
9、4,C5,C6,直径 AB 上有异于 A,B 的四个点 D1,D2,D3,D4.(1)以这 10 个点(不含 A,B)中的 3 个点为顶点作三角形可作出多少个?其中含点 C1的有多少个?(2)以图中的 12 个点(包括 A,B)中的 4 个点为顶点,可作出多少个四边形?【解析】(法一)(1)可分三种情况处理: 从 C1,C2,C6这六个点任取三个点; 从 C1,C2,C6中任取一点,从 D1,D2,D3,D4中任取两点; 从 C1,C2,C6中任取两点,从 D1,D2,D3,D4中任取一点 .即共有 + + =116 个 .3616242614其中含点 C1的三角形有 + + =36 个 .25151424(2)构成一个四边形,需要四个点,且无三点共线,即共有 + + =360 个 .4636162626(法二)(1)排除三点共线的情形即可,共有 - =116 个 .31034其中含点 C1的三角形有 =36 个 .29- 4 -(2)排除三点共线和四点共线情形即可,共有 - - =360 个 .412463616
