1、1专题 08 导数与不等式、函数零点相结合考纲解读明方向考纲内容 考 点 考查频度 学科素养 规律与趋向1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；2.会利用导数解决某些简单的实际问题.1.导数与不等式3 年 3 考逻辑推理数学计算1.高频考向:利用导数解决与之有关的方程（不等式）问题2.低频考向:利用导数解决某些实际问题.3.特别关注:利用导数研究函数的零点问题.2018 年高考全景展示1.【2018 年全国卷理】已知函数 （1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ；（2）若 是 的极大值点，求 【答案】 （1）见解析（2）当 时， ；当 时， .故当 时，
2、 ，且仅当 时，从而 ，且仅当 时， .所以 在 单调递增.又 ，故当 时， ；当 时， .（2） （i）若 ，由（1）知，当 时， ，这与 是 的极大值点矛盾.（ii）若 ，设函数 .2由于当 时， ，故 与 符号相同.又 ，故 是 的极大值点当且仅当 是 的极大值点.如果 ，则当 ，且 时， ，故 不是 的极大值点 .如果 ，则存在根 ，故当 ，且 时， ，所以 不是的极大值点.如果 ，则 .则当 时， ；当时， .所以 是 的极大值点，从而 是 的极大值点，综上， .点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论 和,当 时构造函数 时关键，讨论函
3、数 的性质，本题难度较大。2 【2018 年理数全国卷 II】已知函数 （1）若 ，证明：当 时， ；（2）若 在 只有一个零点，求 【答案】 （1）见解析（2）【解析】分析：(1)先构造函数 ，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式，(2)研究 零点，等价研究 的零点，先求 导数：，这里产生两个讨论点，一个是 a 与零，一个是 x 与 2，当 时， ， 没有零点；当 时， 先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得 a 的值.3（2）设函数 在 只有一个零点当且仅当 在 只有一个零点（i）当 时， ， 没有零点；（ii）
4、当 时， 当 时， ；当 时， 所以 在 单调递减，在 单调递增故 是 在 的最小值若 ，即 ， 在 没有零点；若 ，即 ， 在 只有一个零点；若 ，即 ，由于 ，所以 在 有一个零点，由（1）知，当 时， ，所以 故 在 有一个零点，因此 在 有两个零点综上， 在 只有一个零点时， 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.3 【2018 年江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 （ P 为此圆弧的中点
5、）和线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形 ABCD，大棚内的地块形状为 ，要求 均在线段 上， 均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为 （1）用 分别表示矩形 和 的面积，并确定 的取值范围；4（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【答案】 （1）矩形 ABCD 的面积为 800（4sin cos +cos ）平方米， CDP 的面积为1600（cos sin cos ） ，sin 的取值范围
6、是 ，1） （2）当 = 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定 的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结 PO 并延长交 MN 于 H，则 PH MN，所以 OH=10过 O 作 OE BC 于 E，则 OE MN，所以 COE= ，故 OE=40cos ， EC=40sin ，则矩形 ABCD 的面积为 240cos （40sin +10）=800（4sin cos +cos ） ， CDP 的面积为
7、240cos （4040sin ）=1600（cos sin cos ） 过 N 作 GN MN，分别交圆弧和 OE 的延长线于 G 和 K，则 GK=KN=10令 GOK= 0，则 sin 0= ， 0（0， ） 当 0， ）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD，所以 sin 的取值范围是 ，1） 答：矩形 ABCD 的面积为 800（4sin cos +cos ）平方米， CDP 的面积为1600（cos sin cos ） ，sin 的取值范围是 ，1） 5令 ，得 = ，当 （ 0， ）时， ，所以 f（ ）为增函数；当 （ ， ）时，所以 f（ ）为减函数，因此，当 = 时， f（
8、）取到最大值答：当 = 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.2017 年高考全景展示1.【2017 课标 3，理 11】已知函数 21()()xfxae有唯一零点，则 a=A 12B 1C D1【答案】 C【解析】试题分析：函数的零点满足 21xxae，设 1xge，则 2111xxxeg ，当 0时， ，当 时， 0，函数 g 单调递减，当 1x时， gx，函数 gx 单调递增，当 时，函数取得最小值 12，设 2hx ，当 x时，函数取得最小值 1 ，6若 0a，函数 hx与函数 agx没有
9、交点，当 时， 1时，此时函数 hx和 ag有一个交点，即 2，解得 2 .故选 C.【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.2.【2017 课标 1，理 21】已知函数 2()()xxfae.（1）讨论 ()fx的单调性；（2）若 有两个零点，求 a 的取值范围.【解析】试题分析：（1）讨论 ()fx单调性，首先进行求导，发现式子特点后
10、要及时进行因式分解，在对 a按0a， 进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（ 1）题，若 0a， ()fx至多有一个零点.若，当 lnxa时， ()fx取得最小值，求出最小值 1(ln)lnf，根据 1，(1,)， (0,1进行讨论，可知当 (0,)a有 2 个零点，设正整数 0满足3l()a，则0 00e2)ennnf .由于 3l(1)la，因此 fx在(l,)a有一个零点.所以 的取值范围为 (,1).（2） （）若 0a，由（1）知， ()fx至多有一个零点 .（）若 ，由（1）知，当 lna时， ()fx取得最小值，最小值为 1(ln)lnfaa.当 时，由于 (ln)f，故 ()f
11、只有一个零点；7当 (1,)a时，由于 1ln0a，即 (ln)0fa，故 ()fx没有零点；当 0时， ，即 .又 422(2)e()efa，故 ()fx在 ,ln)a有一个零点.设正整数 0n满足 3l1，则 0 00()2e2n nfa.由于 3l(1)a，因此 x在 l,有一个零点.综上， 的取值范围为 (,).【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围.【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数 ()fx有 2 个零点求参数取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断 ya与其交点的个数，从而求出 a 的
12、范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若 ()fx有 2 个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于 0，且后面还需验证有最小值两边存在大于 0 的点.3.【2017 课标 II，理】已知函数 2lnfxax，且 fx。(1)求 a；(2)证明： fx存在唯一的极大值点 0，且 220ef。【答案】(1) 1；(2)证明略。【解析】试题分析：(1)利用题意结合导函数与原函数的关系可求得 1a，注意验证结果的正确性；(2)结合(1)的结论构造函数 2lnhxx，结合 h的单调性和 fx的解析式即可证得题中的不等式 220efx。8（2）由（1）知 2lnfx
13、x， 2lnfx。设 lnhx，则 1h。 当 0,2 时， 0x ；当 ,2x 时， 0hx ，所以 hx 在 1, 单调递减，在 1, 单调递增。又 20e， ， 0h ，所以 hx 在 1, 有唯一零点 0x，在 1,2 有唯一零点 1，且当 0, 时， h ；当 0, 时， 0hx ，当 1x 时， 0x。因为 f ，所以 是 fx的唯一极大值点。由 0x得 0ln21x，故 001x。 由 ,1 得 4f。因为 0x是 在（0,1）的最大值点，由 1,e， 10fe 得 120fxfe。 所以 220x。9【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【名师点睛】导数是研
14、究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系。 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数。 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题。 (4)考查数形结合思想的应用。4.【2017 天津，理 20】设 aZ，已知定义在 R 上的函数 432()26fxxa在区间 (1,2)内有一个零点 0x， ()g为 fx的导函数.（）求 的单调区
15、间；（）设 01,)(,2mx，函数 0()()(hxgmxf，求证： 0()hmx；（）求证：存在大于 0 的常数 A，使得对于任意的正整数 ,pq，且 01,2 满足041|pxqA.【答案】 （1）增区间是 (,1)， (,)4，减区间是 1(,)4.（2） （3）证明见解析试题解析：（）由 432()26fxxa，可得 32()896gxfx，进而可得 ()186g .令 ()0g，解得 1，或 4.当 x 变化时， ,()x的变化情况如下表：x (,1)(,)1(,)4()g+ - + 所以， ()x的单调递增区间是 (,1)， (,)4，单调递减区间是 1(,)4.10（）证明：由
16、 0()()(hxgmxf，得 0()()(hmgxfm，000()hxgf.令函数 1()()Hxx，则 10()()Hgx.由（）知，当 1,2x时，()gx，故当 0,时， 10， 单调递减；当 0(,x时， ()0H， 1()x单调递增.因此，当 )(,2xx时， 110()xf，可得 1,mh即 .令函数 20()Hgf，则 2(Hgx.由（）知， ()gx在 ,2上单调递增，故当 1,x时， 2()x， 2(x单调递增；当 0,2时， 20H， 单调递减.因此，当 0),时， 0)，可得 ()()mhx即 .所以， (hmx.（III）证明：对于任意的正整数 p， q，且 01)(
17、,2x，令 pq，函数 0()()(hgmxxf.由（II）知，当 01,时， h在区间 0,)x内有零点；当 0(,2mx时， ()x在区间 0(),内有零点.所以 )h在 1,内至少有一个零点，不妨设为 1x，则 110()()(phgxfq.由（I）知 (gx在 ,2上单调递增，故 0()2g，于是43340 41)|()|26|( ()pffppqpaqqxg.因为当 2,x时， )0，故 ()fx在 1,上单调递增，所以 ()f在区间 上除 外没有其他的零点，而 0pxq，故 ()0pfq.又因为 p， q， a均为整数，所以 43234|26|pa是正整数，从而 4323|26|1
18、qa.11所以 041|2|()pxqgq.所以，只要取 ()2Ag，就有 041|pxqA.【考点】导数的应用【名师点睛】判断 ()x的单调性，只需对函数求导，根据 ()gx的导数的符号判断函数的单调性，求出单调区间，有关函数的零点问题，先利用函数的导数判断函数的单调性，了解函数的图象的增减情况，再对极值点作出相应的要求，可控制零点的个数.2016 年高考全景展示1 【2016 高考新课标 1 卷】已知函数 221xfxea有两个零点.(I)求 a 的取值范围；(II)设 x1,x2是 f的两个零点,证明： 12.【答案】 (0)试题解析;（） ()12()1(2)x xfeaea（i）设
19、0a,则 x, f只有一个零点（ii）设 ,则当 ()时, ()0x；当 (,)时, ()0fx所以 ()fx在 ,1)上单调递减,在 (1)上单调递增又 fe, 2fa,取 b满足 且 ln2ab,则23()(1)()0b,故 fx存在两个零点12（）不妨设 12x,由（ ）知 12(,)(1,)xx, 2(,1)x, (fx在 ,1)上单调递减,所以 12等价于 2()ff,即 0f由于 2()xfxea,而 22()()0xxea,所以222()x设 ()xgee,则 2(1)()xge所以当 1时 , ()0,而 ),故当 时, 0g从而 22()xf,故 12x考点：导数及其应用【名
20、师点睛】,对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；,解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.2. 【2016 高考山东理数】(本小题满分 13 分)已知 21()ln,Rxfxaa.（I）讨论 的单调性；（II）当 1时，证明 3()2fx 对于任意的 1,2x成立.【答案】 （）见解析；（）见解析【解析】13试题分析：（）求 ()fx的导函数，对 a 进行分类讨论，求 ()fx的单调性；（）要证32f对于任意的 1,2x成立，即证 23/f，根据单调性求解.试题解析：（） )(x
21、f的定义域为 ),0(； 3232/ )1(xaxaf .当 0， )1,(时， 0)(/f， )(f单调递增；/,xx时， 单调递减.当 0a时， /3()2)(afa.（1） 2， 1，当 ),0(x或 ),(a时， 0)(/xf， )(f单调递增；当 )2,1(时， )(/xf， )(f单调递减；（2） a时，1，在 x),0(内， 0)(/xf， )(f单调递增；（3） 时，20a，当),(x或 x),1(时， 0)(/xf， )(f单调递增；当 ),2(a时， 0/f， f单调递减.综上所述，当 0时，函数 )(xf在 1,内单调递增，在 ),1(内单调递减；14当 20a时， )(
22、xf在 1,0内单调递增，在 )2,1(a内单调递减，在 ),2(a内单调递增；当 时， f在 ,内单调递增；当 2a， )(xf在 )2,0a内单调递增，在 )1,2(a内单调递减，在 ),1(内单调递增.（）由（）知， 1时，/ 223()ln()xfx x231lx， ,1，令 2)(,ln)( 3xhg， 2,1.则 /xgfx，由 01)(/g可得 1)(g， 当且仅当 1x时取得等号.又2436()xh，设 2，则 )(x在 2,1单调递减，因为 10)(,)1，所以在 2上存在 x使得 ),(0x 时， )2,(,0)(0x时， 0)(x，所以函数 ()h在 ),0上单调递增；在
23、 2,上单调递减，由于 21,1，因此 1)(hx，当且仅当 2x取得等号，所以 23)()(/gxf ，即 23)(/ff对于任意的 ,1x恒成立。考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.15【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.3.【2016 高考江苏卷】 （本小题满分 16 分）已知函数
24、()(0,1,)xfabab.设12,a.（1）求方程 ()fx的根;（2）若对任意 R,不等式 (2)f(6fxm恒成立，求实数 m的最大值；（3）若 01ab ，函数 g有且只有 1 个零点，求 ab的值。【答案】 （1）0 4（2）1【解析】试题分析：（1）根据指数间倒数关系 2=1x转化为一元二次方程 2()10xx，求方程根根据指数间平方关系 2()x，将不等式转化为一元不等式，再利用变量分离转化为对应函数最值，即 ()4fm的最小值，最后根据基本不等式求最值（2）先分析导函数零点情况：唯一零点 0x，再确定原函数单调变化趋势：先减后增，从而结合图像确定唯一零点必在极值点 0x取得，
25、而 0()2gfab，因此极值点 0x必等于零，进而求出 ab的值.本题难点在证明 ，这可利用反证法：若 0x，则可寻找出一个区间 12(,)，由 12()0,g()x结合零点存在定理可得函数存在另一零点，与题意矛盾，其中可取 0logax；若 ，同理可得.试题解析：（1）因为 12,ab，所以 ()xf.方程 ()fx，即 x，亦即 210x，所以 20，于是 1，解得 0.由条件知 222()()()xxf fx.16因为 (2)(6fxmf对于 xR恒成立，且 ()0fx，所以24()f对于 恒成立.而2( 42()()fxfxfx，且2(0)4f，所以 4m，故实数 的最大值为 4.（
26、2）因为函数 ()gxf只有 1 个零点，而 0(0)2gfab，所以 0 是函数 的唯一零点.因为 ()lnlxxab，又由 0,ab知 ln,l0，所以 0g有唯一解 0lnog()ba.令 ()hx，则 22()ll(ln)(l)xxxxhab，从而对任意 R， 0，所以 ()gh是 ,上的单调增函数，于是当 0(,)x， (gx；当 0()x时， 0()gx.因而函数 在 上是单调减函数，在 ,上是单调增函数.下证 0x.若 ，则 02x，于是 0()2xg，又 logllo(l)aaaagb，且函数 ()gx在以 02和 loga为端点的闭区间上的图象不间断，所以在 0x和 la之间
27、存在 ()x的零点，记为 1. 因为 1，所以 l20a，又 0x，所以 1与“0 是函数 ()g的唯一零点”矛盾.若 0x，同理可得，在 02x和 loa之间存在 ()gx的非 0 的零点，矛盾.因此， .于是 ln1ab，故 ln0b，所以 1b.考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点17【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系 ，要充分利用零点存在定理
28、及函数单调性严格说明函数零点个数.4.【2016 高考新课标 3 理数】设函数 ()cos2(1)cos)fxax，其中 0a，记 |()|fx的最大值为 A（）求 ()fx；（）求 ；（）证明： |()|2fA【答案】 （） ()2sin(1)sinfxaxx；（）213,056,81aA；（）见解析试题解析：（） ()2sin(1)sinfxaxx（）当 1a时，|()|sin()co)|fx2()a32(0)f因此， 32A 4 分当 01a时，将 ()fx变形为 2()cos(1)cosfxxx令 2()1gtt，则 A是 |gt在 ,上的最大值， (1)ga， ()32，且当4a时，
29、 ()取得极小值，极小值为22()6()488a令 1，解得 3a（舍去） ， 15（ ）当 05时， ()gt在 ,内无极值点， |()|ga， |(1)|23ga， |(1)|g，所18以 23Aa（）当 15时，由 (1)2()0ga，知 1(1)()4agg又 7|()|()|48aga，所以26|48aA综上，213,056,81Aa 考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性【归纳总结】求三角函数的最值通常分为两步：（1）利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如 sin()yAxB的形式；（2）结合自变量 x的取值范围，结合正弦曲线与余弦曲线进行求解
