1、第二章 函数,高考理数,2.3二次函数与幂函数,2.3 二次函数与幂函数,知识清单,考点一 二次函数1.图象及性质,2.二次函数的三种形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a0); (2)顶点式:若二次函数图象的顶点为(h,k),则二次函数为y=a(x-h)2+k(a0); (3)两根式:若二次函数的图象与x轴的两个交点为(x1,0),(x2,0),则二次函 数为y=a(x-x1)(x-x2)(a0). 3.二次函数在闭区间上的最值问题 y=f(x)=a(x-h)2+k(a0)在m,n上的最值问题: (1)hm,n时,ymin=f(h),ymax=maxf(m), f(n). (2)hm,
2、n时, 当hn时, f(x)在m,n上单调递减,ymin=f(n),ymax=f(m).,4.三个“二次”的关系,考点二 幂函数 1.幂函数的定义 一般地,形如y=x的函数叫做幂函数,其中x是自变量,是常数. 2.幂函数的图象 如图(五种幂函数的图象):,3.幂函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1的性质,ax2+bx+c0)在xm,n上恒成立,需满足 ax2+bx+c0(a0)在xm,n上恒成立,需满足,知识拓展有关不等式的恒成立问题的处理方法: ax2+bx+c0,xR恒成立,需满足 或a=0,b=0,c0.,二次函数的区间最值问题的解法 二次函数的区间最值问题一般有三种情况:
3、 (1)对称轴、区间都是给定的; (2)对称轴动,区间固定; (3)对称轴定,区间变动. 解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间的两 个端点和中点,一轴是指对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类 讨论的思想即可完成. 对于(2)、(3)两种情况,通常要分对称轴与x轴交点的横坐标在区间内与 在区间外进行讨论.,方法技巧,例1 (2016皖北第一次联考,8)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上 的最大值为2,则a的值为 ( D ) A.2 B.-1或-3 C.2或-3 D.-1或2,解题导引 对函数图象的对 称轴进行讨论 确定函数在0,1 上的单调性 结合
4、已知 求a的值,解析 函数f(x)=-(x-a)2+a2-a+1图象的对称轴为x=a,且开口向下,分三种 情况讨论如下: 当a0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上是减函数,f(x)max=f(0)= 1-a,由1-a=2,得a=-1. 当01时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上是增函数,f(x)max=f(1)=- 1+2a+1-a=2,a=2. 综上可知,a=-1或a=2.,解决一元二次方程根的分布问题的方法 对方程根的分布问题,一般结合二次函数的图象从四个方面分析: (1)开口方向;(2)对称轴位置;(3)判别式;(4)端点函数值. 例2 设二次函数f
5、(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0x1x21. (1)求实数a的取值范围; (2)试比较f(0)f(1)-f(0)与 的大小,并说明理由.,解析 (1)令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a, 则由题意可得 0a3-2 . 故所求实数a的取值范围是(0,3-2 ). (2)f(0)f(1)-f(0)=2a2,令h(a)=2a2. 函数h(a)=2a2在(0,+)上单调递增, 当0a3-2 时,0h(a)h(3-2 ). 又2(3-2 )2=2(17-12 )= , f(0)f(1)-f(0) .,幂函数的图象、性质及应用 幂函数y=x的性质和图象因的取
6、值不同而比较复杂,一般可从三方面 考察: (1)的正负:0时,图象经过点(0,0)和点(1,1),在第一象限的部分“上 升”;1时,曲线下凹,01时,曲线上凸,0 时,曲线下凹; (3)函数的奇偶性:一般先将函数式化为正指数幂或根式形式,再根据函 数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性. 注意重点掌握=1,-1,2, ,3时这五个幂函数的图象、性质及应用. 特别警示:无论取何值,幂函数的图象必经过第一象限,且一定不经过第四象限.,例3 (1)(2017河南安阳模拟,6)下列选项正确的是 ( D ) A.0.20.20.30.2 B. 1.250.2 D.1.70.30.93.1 (2)(2016山东
7、潍坊模拟,5)函数f(x)= - 的零点个数为 ( B ) A.0 B.1 C.2 D.3,解题导引 (1)A、B项利用幂函数的单调性进行比较 C项化为同底比较 D项利用中间项进行比较(2)作y= ,y= 的图象 图象的交点个数即为函数f(x)的零点个数,解析 (1)A中,函数y=x0.2在(0,+)上为增函数,0.2 ;C中,0.8-1=1.25,y=1.25x 在R上是增函数,0.11,0.93.1 0.93.1.故选D. (2)令f(x)=0,得 = ,在同一平面直角坐标系中分别画出函数y= 与y=的图象.如图所示.,由图可知两函数图象有1个交点,故f(x)的零点只有一个,故选B.,规律总结 1.比较幂值大小的常见类型及解决方法 (1)同底不同指,可以利用指数函数单调性进行比较. (2)同指不同底,可以利用幂函数单调性进行比较. (3)既不同底又不同指,常常找到一个中间值,通过比较幂值与中间值的 大小来判断. 2.在解决幂函数与其他函数的对应方程根的个数及近似解等问题时,常 用数形结合的思想方法.,
