1、9.7 曲线与方程,高考理数,考点 曲线与方程 1.“曲线的方程”与“方程的曲线” 在直角坐标系中,如果某曲线(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上 的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点, 那么,这个方程叫做 曲线的方程 ,这条曲线叫做 方程的曲线 . 事实上,曲线可以看作一个点集C,以二元方程的解作为坐标的点也组成 一个点集F.上述定义中, C=F.,知识清单,2.求动点的轨迹方程的步骤 (1)建系建立适当的坐标系; (2)设点设轨迹上的任一点P(x,y); (3)列式列出动点P的
2、坐标所满足的关系式; (4)代换依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关 于x、y的方程式,并化简; (5)证明证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程. 【知识拓展】 1.求轨迹方程时,要注意检验曲线上的点与方程的解是否为一一对应的 关系,若不是,则应对方程加上一定的限制条件,检验可以从以下两个方 面进行:一是方程的化简是否为同解变形;二是是否符合题目的实际意,义. 2.求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求,求轨迹时,应先求轨迹方程, 然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等. 3.在求轨迹问题时常用的数学思想 (1)函数与方程的思想:求平面曲线的轨迹方程是将几何条件(性质)表示 为
3、动点坐标x、y的方程及函数关系; (2)数形结合的思想:由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形” 的有机结合; (3)等价转化的思想:通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问 题时又需要相互转化.,1.直接法:如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或 这些几何条件简单明了且易于表达,我们只需把这种关系“翻译”成含 x、y的等式,就得到轨迹方程.由于这种求轨迹方程的过程不需要其他 步骤,也不需要特殊的技巧,所以称之为直接法. 2.待定系数法:若曲线的形状和方程的形式确定,则只需解方程(组)即可, 称之为待定系数法. 3.定义法:根据解析几何中一些常用定义(例如:圆、椭圆、双曲
4、线、抛 物线的定义),从定义出发直接写出轨迹方程,或从定义出发建立关系式, 从而求出轨迹方程.,求轨迹方程的方法,方法技巧,定义法求轨迹方程的一般步骤: (1)判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义; (2)设标准方程,求方程中的基本量; (3)求轨迹方程. 4.代入法(相关点法):有些问题中,动点满足的条件不便用等式列出,但动 点是随着另一动点(称之为相关点)的运动而运动的.如果相关点的坐标 所满足的条件是明显的,或是可分析的,那么我们可以用动点坐标表示 相关点坐标,根据相关点的坐标所满足的方程即可求得动点的轨迹方 程,这种求轨迹方程的方法叫做代入法,又叫相关点法或坐标代换法. 相关点法求
5、轨迹方程的一般步骤: (1)分析题目:与动点M(x,y)相关的点P(x0,y0)在已知曲线上运动; (2)寻求关系式x0=f(x,y),y0=g(x,y);,(3)将x0,y0代入已知曲线方程; (4)整理关于x,y的关系式得M的轨迹方程. 5.参数法:有时动点应满足的几何条件不易得出,也无明显的相关点,但 却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角 度、斜率、比值、截距或时间等)的制约,即动点坐标(x,y)中的x、y分别 随另一变量的变化而变化,我们可称这个变量为参数,建立轨迹的参数 方程,这种方法叫参数法,如果需要得到轨迹的普通方程,只要消去参数 即可.在选择参数时,
6、选用的参变量可以具有某种物理或几何性质,如时 间、速度、距离、角度、有向线段的数量、直线的斜率、点的横、纵 坐标等,也可以没有具体的意义,选定参变量还要特别注意它的取值范 围对动点坐标取值范围的影响.,6.交轨法:求两条动曲线(含直线)的交点的轨迹方程时,可引入参数t,用t 分别表示两条动曲线的方程,联立它们消去t便得交点的轨迹方程,此方 法称为交轨法. 例1 (2017广东七校联考,10)已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过定点 A(0,1),B(0,-1),且以该圆的切线为准线,则抛物线焦点的轨迹方程是 ( C ) A. + =1(y0) B. + =1(y0) C. + =1(x0)
7、 D. + =1(x0),解析 过点A、B、O(O为坐标原点)分别向抛物线的准线作垂线,垂足 分别为A1,B1,O1,设抛物线的焦点为F(x,y),则|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|,|FA|+ |FB|=|AA1|+|BB1|,O为AB的中点,|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,|FA|+|FB|=4 2=|AB|,故点F的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,可知其方程为 + =1,又 点F不能在y轴上,故所求轨迹方程为 + =1(x0),故选C.,例2 如图,P是圆x2+y2=4上的动点,P点在x轴上的射影是D,点M满足 = . (1)求动点M的轨迹C的方程,并说明轨迹是什么图形;
8、 (2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A,B,求以OA,OB 为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.,解题导引,解析 (1)设M(x,y),则D(x,0), 由 = 知P(x,2y), 点P在圆x2+y2=4上, x2+4y2=4,故动点M的轨迹C的方程为 +y2=1,且轨迹C为椭圆. (2)设E(x,y),由题意知l的斜率存在,设l:y=k(x-3),代入 +y2=1,得(1+4k2)x2- 24k2x+36k2-4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= , y1+y2=k(x1-3)+k(x2-3) =k(x1+x2)-6k,= -6k= . 四边形OAEB为平行四边形, = + =(x1+x2,y1+y2)= , 又 =(x,y), 消去k得,x2+4y2-6x=0, 由=(-24k2)2-4(1+4k2)(36k2-4)0得, k2 ,0x . 顶点E的轨迹方程为x2+4y2-6x=0 .,方法总结 参数法求轨迹方程的一般步骤: (1)选取参数k,用k表示动点M的坐标; (2)写出动点M的轨迹的参数方程 (3)消参数k,得M的轨迹方程; (4)由k的范围确定x,y的范围,确保完备性与纯粹性.,
