1、第2章,推理与证明,2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理,学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 2.了解合情推理在数学发展中的作用.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 1.归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？ 答 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠.,2.由合情推理得到的结论可靠吗？ 答 一般来说
2、，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了.,预习导引 1.归纳推理 (1)定义：从个别事实中推演出一般性的结论的推理称为归纳推理.归纳推理的思维过程大致是 .,实验、观察,概括、推广,猜测一般性结论,(2)归纳推理的特点： 归纳推理是从 到 的推理； 由归纳推理得到的结论 正确； 归纳推理是一种具有 的推理.,特殊,一般,不一定,创造性,2.类比推理 (1)类比推理的定义： 根据 对象之间在某些方面的 或 ，推演出它们在其他方面也 或 ，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法.,两个(或两类),相同,相似,相同,相似,(2)类比推理的思维过程：,
3、3.合情推理 合情推理是根据 、 、 ，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程. 和 是数学活动中常用的合情推理.,已有的事实,正确的结论,实验和实,践的结果,归纳推理,类比推理,要点一 归纳推理的应用 例1 观察如图所示的“三角数阵”1 第1行 2 2 第2行 3 4 3 第3行 4 7 7 4 第4行 5 11 14 11 5 第5行 ,记第n(n1)行的第2个数为an(n2，nN*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为_、_、_、_、_、_； 解 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于
4、行数.,6 16 25,25 16 6,(2)依次写出a2、a3、a4、a5； 解 a22，a34，a47，a511,(3)归纳出an1与an的关系式. 解 a3a22，a4a33，a5a44 由此归纳：an1ann.,规律方法 对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解.,跟踪演练1 根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式. (1)a13，an12an1； 解 由已知可得a13221， a22a112317231， a32a2127115241， a42a31215131251. 猜想an2n11
5、，nN*.,(2)a1a，an1 ；,a11.,(3)对一切nN*，an0，且,要点二 类比推理的应用 例2 如图所示，在ABC中，射影定理可表示 为abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角 A，B，C的对边.类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想. 解 如右图所示，,在四面体PABC中， 设S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC， PCA，ABC的面积， ，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小. 我们猜想射影定理类比推理到三维空间， 其表现形式应为SS1cos S2cos S3cos .,规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择
6、适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手.由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论. (2)平面图形与空间图形的类比：,要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质： (1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形. (2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.,通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：,解,规律方法 将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积
7、等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法.,跟踪演练3 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是_. 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.,解析 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确. 答案 ,1.下列推理中，是归纳推理的有_. A，B为定点，动点P满足PAPB
8、2aAB，得P的轨迹为椭圆； 由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜出数列的前n项和Sn的表达式；,1,2,3,4,科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇. 解析 从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn是从特珠到一般的推理. 答案 ,1,2,3,4,1,2,3,4,2.下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色是_.,1,2,3,4,解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，3657余1. 第36颗珠子的颜色为白色. 答案 白色,3.将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15,1,2,3,4,按照以上排列的规
9、律，第n行(n3)从左向右的第3个数为_.,1,2,3,4,1,2,3,4,4.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为 记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：,1,2,3,4,三角形数 N(n,3) n2 n， 正方形数 N(n,4)n2， 五边形数 N(n,5) n2 n， 六边形数 N(n,6)2n2n 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.,1,2,3,4,解析 由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n， 可以推测：当k为偶数时，,1,2,3,4,1 1001001 00
10、0.,答案 1 000,课堂小结 1.合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.合情推理的过程概括为：,一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明. 2.归纳推理与类比推理都属合情推理： (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理.,(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.,
