1、数系的扩充和复数的引入,复习回顾,数系的扩充,用图形表示为:,新课引入,即:在实数范围内,,引入新数:,实数范围内不能解决这个问题,那么我们能 否将实数集进行扩充,使得在新的数集中,该问 题能得到圆满解决呢?,虚数单位 :,我们把引入的这个数 叫做虚数单位,并且规定:,复数的定义:,我们把形如a+bi (a,bR,i是虚数单位)的数 叫做复数。全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用字母C表示。,复数的代数形式:,复数的分类:,对于复数,当且仅当b=0时,复数a+bi是实数a; 当b0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b0时, z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0。,复数
2、集与其它集合的关系:,图形表示:,例1 说出下列三个复数的实部、虚部,并且 指出它们是实数还是虚数,如果是虚数还应指出是 否为纯虚数:,根据复数的概念,复数a+bi 中,b=0时叫实数; b0时叫虚数;a=0且b0时叫纯虚数。,分析:,注意: ,虚数单位的平方是实数!,例题分析,例2 实数m取什么数值时,复数z=m+1+(m1)i 是:,(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?,解:(1)当m1=0,即m=1时,复数z是实数;(2)当m10,即m1时,复数z是虚数;(3)当m+1=0,且m10时,即m=1时, 复数z 是纯虚数。,例3 计算、化简:,解:,通过计算发现,虚数单位的乘方具有周期
3、性:,探索,复数是由实数扩充得到的,那么实数集的性 质和特点能不能推广到复数集呢?,实数的部分性质和特点:,(1) 实数可以判定相等或不相等;,(3) 不相等的实数可以比较大小;,(2) 实数可以用数轴上的点表示;,(4) 实数可以进行四则运算;,(5) 负实数不能进行开偶次方根运算;,探索,问题1,问题3,问题2,复数的性质和特点如何?,当两个复数的实部和虚部分别相等时,这两个 复数相等 。,即: 且 时,,问题1:复数相等的问题,复数相等的内涵:,复数 可用有序实数对 表示。,根据复数相等的意义:两复数相等,它们 的实部和虚部分别相等,可以列出方程组求得两 未知数。,例题分析,例4 设 ,
4、且满足: 求 的值。,分析:,根据相等的意义得:,解方程可得:,解:,复数相等的问题,求方程组解的问题,转化,一一对应,复数z=a+bi,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复数平面(简称复平面),x轴-实轴,y轴-虚轴,(数),(形),复数z=a+bi (a、bR)可用点Z(a,b)表示,这 个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, 也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。,复平面的定义:,在复平面上如何表示实数、纯虚数?,问题:能否把绝对值概念推广到复数范围呢?,X,O,A,a,| a | =
5、 | OA |,x,z=a+bi,y,Z (a,b),| z | = |OZ|,问题:复数能否比较大小?,复数的模(或绝对值):,点Z到原点的距离 叫作复数z的模或绝对值, 记作 。,例5 在复平面内表示下列复数,并分别求出它 们的模。,分析:求模即将a、b带入模长公式:,解:,两个复数不能比较大小,但它们的模可以比较大小。,问题:复数能否比较大小?,小结:,形如 的数叫复数,a 叫复数的实部 Re z, b叫复数的虚部Im z。全体复数所成的集合叫 做复数集,用字母C表示。, 复数 与实数、虚数、纯虚数及0的关系 :,b=0时是实数; b0时是虚数;a=0,b0时,是纯虚数。, 复数定义:,小结, 两复数相等: 复平面: 复数的模长:,若 则,