1、2.3 数学归纳法,1、已知数列 an 的通项公式为 分别计算a1、a2、a3、a4、的值,猜想an,3、三角形的内角和为180，四边形的内角和为2180,五 边形的内角和为3180，于是有：凸n边形的内角和为 Sn= (n- 2) 180。,如何通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？,问题引入,数学归纳法,对于某些与 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：,先证明当n取第一个值n0时命题成立；,2. 当n=k(kN*，kn0)时命题成立， 当n=k+1时命题也成立。 这种证明方法就叫做 。,数学归纳法,正整数n,假设,证明,多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示,例1：用数学归
2、纳法证明： 122334n(n1) ,从n=k到n=k+1有什么变化,利用假设,凑结论,证明:,2)假设n=k时命题成立,即 122334k(k+1),=, n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，命题正确。,1)当n=1时，左边=12=2,右边= =2. 命题成立,数学归纳法步骤，用框图表示为：,归纳奠基,归纳递推,注：两个步骤,一个结论,缺一不可,上如证明对吗？为什么？,证明：当n=1时，左边,设n=k时，有,即n=k+1时，命题成立。 根据问可知，对nN，等式成立。,思考：用数学归纳法证明:当,第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。,则，当n=k+1时,135（2n1
3、）,正确解法：用数学归纳法证明,n2,即当n=k+1时等式也成立。,根据（1）和（2）可知，等式对任何 都成立。,证明：,135（2k1）+2(k+1)1,那么当n=k+1时,（2）假设当nk时，等式成立，即,（1）当n=1时，左边1，右边1，等式成立。,（假设）,（利用假设）,注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。,（凑结论）,用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：, 明确首取值n0并验证真假。（必不可少） “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形
4、常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并 用上假设。,课堂练习,2、求证：1+2+3+n=,n(n+1 ),课堂小结,1、数学归纳法能够解决哪一类问题？ 一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题 2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？ 两个步骤和一个结论，缺一不可 3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？ 关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确 4、数学归纳法体现的核心思想是什么？ 递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题 注意类比思想的运用,作业：求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3 (2n-1),谢谢大家,再见,多米诺骨牌游戏的原理,这个猜想的证明方法
5、,（1）第一块骨牌倒下。,（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。,根据（1）和 （2）， 可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。,（1）当n=1时猜想成立。,（2）若当n=k时猜想成立， 即 ，则当n=k+1时猜想 也成立，即 。,根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想 都成立。,已知数列,从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自
6、豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。”,“万百千“的笑话,费尔马(1601.81665.1)，法国数学家。,(费马猜想),结论是错误的。,例4求证：凸n边形的对角线的条数为,证明：（1）当n=4时，四边形的对角线有2条，f(4)=2，所以对于n=2，命题成立.,（2）设凸k边形的对角线的条数为,当n=k+1时，k+1边形比k边形多了一个顶点,解：,猜想：,如何通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？,证明,2、对于数列 ，已知 ，,求出数列前4项,你能得到什么猜想？,根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.,证明：,练习：1、如果an是一个
7、等差数列，则an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。,证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, 当n=1时，结论成立,(2)假设当n=k时结论成立,即ak=a1+(k-1)d,当n=k+1时，结论也成立.,由(1)和(2)知,等式对于任何nN*都成立。,利用假设,注意 1.,用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.,2,(1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0,(2)(归纳递推)是递推的依据 nk时命题成立作为必用的条件运用，而nk+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明,证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；,（2）假设当n=k时，等式成立，即,那么,这就是说，当n=k+1时，等式也成立，由（1）和（2）可以断定，等式对任何nN+都成立。,
