1、3.3.2 简单的线性规划问题,线性规划的有关概念及其图解法 【问题思考】 1.填空: (1)线性规划中的基本概念,解析画出可行域,如图阴影部分所示. 画出直线2x+y=0,并在可行域内移动,当直 线经过点(1,0)时,z取最小值. 当直线经过点(2,0)时,z取最大值.故zmax=22+0=4,zmin=21+0=2. 答案B,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)一般地,线性规划问题中的目标函数是线性目标函数. ( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的. ( ) (3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上. ( ) (4)在目标函数z
2、=ax+by(b0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距. ( ) (5)在线性规划问题中,当直线z=ax+by(b0)在y轴上的截距最大时,目标函数z取得最大值. ( ) 答案(1) (2) (3) (4) (5),1,2,3,1,2,3,【例2】 导学号04994075某工厂有甲、乙两种产品,计划每天各产品生产量不少于15 t.已知生产1 t甲产品需煤9 t,电力4 kWh,劳力3个;生产1 t乙产品需煤5 t,电力5 kWh,劳力10个;甲产品每吨利润7万元,乙产品每吨利润12万元;但每天用煤不超过300 t,电力不超过200 kWh,劳力只有300个.问每天各生产甲、
3、乙两种产品多少时,能使利润总额达到最大? 思路分析将已知数据列成表,如下表所示. 设出未知量,根据资源限额建立约束条件,由利润关系建立目标函数.,反思感悟解答线性规划应用题的一般步骤 1.审题.仔细阅读,准确理解题意,明确有哪些限制条件,起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应用题中的量较多,为了理顺题目中量与量之间的关系,有时可借助表格来处理. 2.转化.设出未知量,由条件写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为数学中的线性规划问题. 3.求解.解这个数学问题,其求解过程是:(1)作图;(2)平移;(3)求最优解及最值. 4.作答.就应用题提出的问题给出回答.,提示错解中,没有弄清直线y=
4、2x-z在y轴上的截距与z的关系,误以为在y轴上的截距最大时z取最大值,事实上,直线y=2x-z在y轴上的截距是-z,因此当直线在y轴上的截距最大时,z反而取最小值. 正解画出不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分).由z=2x-y可得y=2x-z,因此平移直线y=2x-z,当直线经过可行域中的点B时,直线在y轴上的截距最小,则z取得最大值,而B(0,-1),所以zmax=0(-2)-(-1)=1. 答案1,解析在平面直角坐标系中,画出可行域(如图中的阴影部分).把z=y+2x变形为y=-2x+z,平移直线2x+y=0,当直线经过点(1,2)时,直线在y轴上的截距最小,z的值也最小.所以zm
5、in=2+21=4,故其最小值为4. 答案D,解析作出如图所示的可行域(阴影部分),把z=3x+y变形为y=-3x+z,平移直线3x+y=0,当直线经过点B(3,2)时,z取得最大值,最大值为11. 答案B,答案4,4.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨.甲产品每吨利润为5万元,乙产品每吨利润为3万元.如果该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,那么该企业的最大利润为 万元.,5.在制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,还要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?,
