1、2.绝对值不等式的解法,1.绝对值不等式|x|a和|x|a的解法,做一做1 若不等式|x|2a-1的解集为R,则实数a的取值范围是 .,2.|ax+b|c和|ax+b|c型不等式的解法 (1)不等式|ax+b|c(c0)的求解:先化为不等式组-cax+bc,再利用不等式的性质求出原不等式的解集. (2)不等式|ax+b|c(c0)的求解:先化为不等式组ax+b-c或ax+bc,再利用不等式的性质求出原不等式的解集.,名师点拨解含绝对值不等式的核心任务是:先去绝对值,将不等式恒等变形为不含绝对值的常规不等式,再利用已经掌握的解题方法求解,注意不可盲目平方去绝对值符号.,做一做2 (1)不等式|2
2、x-1|2的解集为 . 解析：(1)由|2x-1|2可得x-42,或x-46,或x6或x6或x2,3.|x-a|+|x-b|c和|x-a|+|x-b|c型不等式的解法 有三种不同的解法: (1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想.理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键. (2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解,体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式的正、负性,进而去掉绝对值符号. (3)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程的思想.正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考虑函数的增减性)是关键.,特别
3、提醒对于|x-a|-|x-b|c和|x-a|-|x-b|c型的不等式,也可采用上述三种方法进行求解,即(1)几何意义法;(2)零点分段法;(3)构造函数法.,做一做3 不等式|x+2|+|x-3|4的解集为 . 解析：因为|x+2|+|x-3|(x+2)-(x-3)|=5,即|x+2|+|x-3|的最小值为5,所以不等式|x+2|+|x-3|4恒成立,即解集为R. 答案：R,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)关于x的不等式|2x-3|m的解集不可能为空集. ( ) (3)关于x的不等式|x-a|-|x-b|m的解集不可能是全体实数集R. ( )
4、(4)不等式|x2-2x-3|0的解集为全体实数集R. ( ),探究一,探究二,思维辨析,形如|ax+b|c和|ax+b|c型不等式的解法 【例1】 解不等式: (1)|5x-2|8;(2)2|x-2|4. 分析：(1)直接利用|ax+b|c型不等式的解法求解;(2)转化为不等式组求解.,由|x-2|2得x-2-2,或x-22,所以x0,或x4. 由|x-2|4得-4x-24, 所以-2x6. 故原不等式的解集为x|-2x0或4x6.,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟形如|f(x)|a和|f(x)|a(a0)型的不等式,均可采用等价转化法进行求解,即|f(x)|a-af(x)a,|f(x)|
5、af(x)-a或f(x)a.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练1 解不等式:,探究一,探究二,思维辨析,形如|x-a|x-b|c和|x-a|x-b|c型不等式的解法 【例2】 解不等式: (1)|x+1|+|x-1|3; (2)|x-3|-|x+1|1.,探究一,探究二,思维辨析,解：(1)(方法一)如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,则点A,B之间的点到A,B两点的距离和为2,因此区间-1,1上的数都不是原不等式的解.设在点A左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应数轴上的x.由-1-x+1-x=3,得x=- . 同理设点B右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3,B1对应
6、数轴上的x, 由x-1+x-(-1)=3,得x= . 从数轴上可看到,点A1,B1之间的点到A,B的距离之和都小于3;点A1的左边或点B1的右边的任何点到A,B的距离之和都大于3.,探究一,探究二,思维辨析,(方法二)当x-1时,原不等式可以化为 -(x+1)-(x-1)3, 解得x- . 当-1x1时,原不等式可以化为 x+1-(x-1)3,即23.不成立,无解. 当x1时,原不等式可以化为 x+1+x-13, 解得x .,探究一,探究二,思维辨析,(方法三)将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-30. 构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,作出函数的图象,如图.,探究一,探究二,思维辨
7、析,(2)(方法一)如图所示,在数轴上-1,3,x对应的点分别为A,C,P,而点B对应的实数为 ,B到点C的距离与到点A距离之差为1.由绝对值的几何意义知,当点P在点B右侧上(不含点B)时不等式成立,故不等式的解集为,探究一,探究二,思维辨析,(方法三)将原不等式转化为|x-3|-|x+1|-10,构造函数y=|x-3|-|x+1|-1,反思感悟形如|x-a|x-b|c和|x-a|x-b|c型的不等式,均可采用三种解法:分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数据较简单的情况,所以在具体求解时,可灵活选用.,探究一,探究二,思维辨析
8、,变式训练2 解不等式: (1)|x-1|-|5-x|2;(2)|2x-1|+|3x+2|8.,解：(1)原不等式即为|x-1|-|x-5|2,其等价于的解集为,的解集为x|44.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,忽视分类讨论致错 典例解关于x的不等式|x2-a|a(aR).,纠错心得由于忽视对参数a的分类讨论而导致错解,因此,在求解含参数的绝对值不等式时,要注意结合绝对值的性质,对参数进行分类讨论,并要做到不重不漏.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练 解关于x的不等式a|x-1|2(aR).,1 2 3 4 5,1.不等式|x-3|2的解集为( ) A.x|-1x5 B
9、.x|1x5 C.x|x5 D.x|1x5 解析：由|x-3|2得-2x-32,所以1x5,故原不等式的解集为x|1x5. 答案：B,1 2 3 4 5,2.不等式|x+3|-|x-3|3的解集是( ),答案：A,1 2 3 4 5,3.若关于x的不等式|3x-1|a的解集为 ,则实数a的值等于( ) A.2 B.3 C.1 D.,答案：A,1 2 3 4 5,4.若关于x的不等式|x+2|-|x+3|m有解,则实数m的取值范围是 . 解析：由于-1|x+2|-|x+3|1,要使不等式有解,m只要比|x+2|-|x+3|的最大值小即可,即m1,m的范围为(-,1). 答案：(-,1),1 2 3 4 5,5.解不等式|x2-3|0,则原不等式可化为-2x-2x可得x1或x-3;由x2-32x可得-1x3.故原不等式的解集为x|1x3.,
