1、3.2.3 直线的一般式方程,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,直线的一般式方程 (1)定义:关于x,y的二元一次方程 (其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. (2)适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示.,Ax+By+C=0,(4)二元一次方程与直线的关系:二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标.这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成了一条直线.二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的.,探究1:当A=0或B=0或C=0时,方程Ax+
2、By+C=0分别表示什么样的直线?,若C=0,则Ax+By=0,表示过原点的一条直线.,探究2:在什么条件下,一般式方程可以转化为斜截式、点斜式或截距式方程?,自我检测,C,2.(一般式方程的应用)过点M(-4,3)和N(-2,1)的直线在y轴上的截距是( ) (A)1 (B)-1 (C)3 (D)-3,B,C,4.(一般式方程的应用)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= .,答案:1,5.(求直线的一般式方程)过点P(1,2),且斜率与直线y=-2x+3的斜率相等的直线的一般式方程为 .,答案:2x+y-4=0,题型一,直线的一般式方程,课堂探究素养提升,(2)
3、由斜截式得直线方程为y=4x-2, 即4x-y-2=0.,(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点. (4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1.,方法技巧 根据已知条件求直线方程的策略 在求直线方程时,设一般式方程并不简单,常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程,一般选用规律为: (1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时,选用点斜式; (2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时,选用斜截式; (3)已知直线上两点坐标时,选用两点式; (4)已知直线在x轴,y轴上的截距时,选用截距式.,即时训练1-1:直线l过点P(-2,3),且与x轴,y轴分别交于A,B两点,若点P恰
4、为AB的中点,则直线l的方程的一般式为 .,答案:3x-2y+12=0,【备用例1】 设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别确定实数m的值. (1)l在x轴上的截距为-3;,(2)斜率为1.,题型二,利用直线一般式方程解决平行、垂直问题,【例2】 (12分)已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0,求满足下列条件的a的值: (1)l1l2;,(2)l1l2.,变式探究:本例中的直线l2,当a取何值时,直线l2不过第四象限?,方法技巧 所给直线方程是一般式,且直线斜率可能不存在时,利用l1l2A1A2+B1B2=0和l1l2
5、A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C10(或B1C2-B2C10)来判定两条直线是否垂直或平行,避免了讨论斜率是否存在的情况,比用斜率来判定更简便.,即时训练2-1:(2018重庆巴蜀中学月考)已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l的方程,使l满足: (1)过点(-1,3),且与l平行; (2)过点(-1,3),且与l垂直.,解:(1)由l与l平行,可设l的方程为3x+4y+m=0. 将点(-1,3)代入上式得m=-9. 所以所求直线方程为3x+4y-9=0. (2)由l与l垂直,可设其方程为4x-3y+n=0. 将(-1,3)代入上式得n=13. 所以所求直线方程为4x-3y+
6、13=0.,题型三,直线的一般式方程的应用,【例3】 直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aR). (1)若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值; (2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.,方法技巧 (1)已知直线的方程可确定其斜率、截距,从而可解决与斜率、截距有关的问题. (2)已知直线的大致位置,可确定斜率、截距的范围(或符号),从而可建立不等式求解参数的范围,反之若已知斜率、截距的范围(或符号)也可确定直线的大致位置.,即时训练3-1:直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3,分别求满足下列条件的直线l的方程. (1)过定点A(-3,4);,(2)与直线6x+y-3=0垂直.,
7、【备用例2】 (1)求证:不论m为何实数,直线(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0必过定点;,(2)过这定点引一直线,使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分,求这条直线的方程.,题型四,易错辨析忽略直线的特有条件,【例4】 若直线(m+1)x+(m2-m-2)y=m+1在y轴上的截距为1,求实数m的值.,纠错:这种解法忽略了直线方程Ax+By+C=0中的隐含条件A2+B20,当m=-1时两系数都等于零,这时(m+1)x+(m2-m-2)y=m+1已不能表示一条直线. 正解:在错解中,将m=3和m=-1分别代入直线方程验证.当m=-1时,方程(m+1)x+(m2-m-2)y=m+1不表示直线,应舍去m=-1. 综上可知m=3.,谢谢观赏！,
