1、3.4 生活中的优化问题,题型一 面积、体积、最值问题,例1,【答案】 (1)3 (2)见自主解答,规律总结 1解决面积、体积最值问题的思路 解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值 2利用导数解决优化问题的基本思路,3解决优化问题时应注意的问题 (1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域 (2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f(x)0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进
2、行比较,1如图，要设计一矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？,变式训练,令S(x)0，得x140，令S(x)0，得20x140. 函数S(x)在(140，)上单调递增，在(20，140)上单调递减，S(x)的最小值为S(140) 当x140时，y175. 即当x140，y175时，S(x)取得最小值24 500， 故当广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告牌的面积最小,题型二
3、 用料最省（成本最低）问题,例2,规律总结 解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应函数的最小值，此时根据f(x)0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小值,变式训练,令g(x)0，则x8，当08时，g(x)0，所以x8时，函数取得极小值，且为最小值 故当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省 答案 (1)21 (2)见解析,某公司为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投入广告费t(单位：百万元)，可增加销售额约为t25t(单位：百万元，且0t5) (1)若该
4、公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？,题型三 利润最大（成本最低）问题,例3,令g(x)0，解得x2(舍去)或x2. 当0x0；当2x3时，g(x)0， 故g(x)在0，2)上是增函数，在(2，3上是减函数 当x2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大,规律总结 1经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动 2关于利润问题常用的两个等量关系 (1)利润收入成本 (2)利
5、润每件产品的利润销售件数,3在一定面积的水域中养殖某种鱼类，每个网箱的产量p是网箱个数x的一次函数，如果放置4个网箱，则每个网箱的产量为16吨；如果放置7个网箱，则每个网箱的产量为10吨，由于该水域面积限制，最多只能放置10个网箱 (1)试问放置多少个网箱时，总产量Q最高？ (2)若鱼的市场价为m万元/吨，养殖的总成本为(5ln x1)万元,对点训练,当m0.25时，应放置多少个网箱才能使总收益y最大？ 当m0.25时，求使得收益y最高的所有可能的x值组成的集合,(12分)如图所示，有一块半椭圆形钢板，椭圆的长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD2x，梯形面积为S.,规范解答(十) 导数在解决实际问题中的应用,典例,典题示例,(1)求S以x为自变量的函数表达式，并写出其定义域； (2)求S的最大值,某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m元(m为常数，且2m3)，设每个水杯的出厂价为x元(35x41)，根据市场调查，水杯的日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个 (1)求该工厂的日利润y(元)与每个水杯的出厂价x(元)的函数关系式； (2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值,典题试解,
