1、1中档大题规范练(一)(建议用时：60 分钟)1已知数列 an的前 n 项和 Sn满足 Sn2 an2 n1 .(1)求数列 an的通项公式；(2)若不等式 2n2 n3(5 )an对 nN *恒成立，求实数 的取值范围解 (1)当 n1 时， Sn2 an2 n1 ，即 S1 a12 a12 2，得 a14.当 n2 时，有 Sn1 2 an1 2 n，则 an2 an2 an1 2 n，得 an2 an1 2 n，所以 1，所以数列 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列an2n an 12n 1 an2n所以 n1，即 an( n1)2 n.an2n(2)原不等式即( n1)(2 n3)
2、(5 )(n1)2 n，等价于 5 .2n 32n记 bn ，则 5 bn对 nN *恒成立，所以 5 ( bn)max.2n 32nbn1 bn ，当 n1,2 时，52 n0， bn1 bn，即2n 12n 1 2n 32n 5 2n2n 1b1 b2 b3；当 n2， nN *时，52 n0， bn1 bn，即 b3 b4 b5；所以数列 bn的最大项为 b3 ，所以 5 ，解得 .38 38 378(教师备选)1在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 sin(A C)2sin Acos(A B)，且 C .34(1)求证： a， b,2a 成等比数列；
3、(2)若 ABC 的面积是 2，求各边的长解 (1)证明： A B C，sin( A C)2sin Acos(A B)，sin B2sin Acos C，在 ABC 中，由正弦定理得， b2 acos C, C ， b a，34 2则 b22 a2 a2a a， b,2a 成等比数列2(2) S absin C ab2，则 ab4 ， 12 24 2由(1)知， b a，联立两式解得 a2， b2 ， 2 2由余弦定理得， c2 a2 b22 abcos C48222 20，2 (22) c2 .52在 2018 年 3 月郑州第二次模拟考试中，某校共有 100 名文科学生参加考试，其中语文考
4、试成绩低于 130 的占 95%，数学成绩的频率分布直方图如图 61图 61(1)如果成绩不低于 130 的为特别优秀，这 100 名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？(2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有 3 人从(1)中的这些同学中随机抽取 2 人，求这两人两科成绩都特别优秀的概率；根据以上数据，完成 22 列联表，并分析是否有 99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀语文特别优秀 语文不特别优秀 合计数学特别优秀数学不特别优秀合计参考数据： K2 ；n ad bc 2 a b c d a c b dP(K2 k0)0.50 0.40 0.010 0.005
5、0.001k0 0.455 0.708 6.635 7.879 10.828解 (1)共有 100 名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于 130 的占 95%，语文成绩特别优秀的概率为 P110.950.05，语文特别优秀的同学有 1000.055 人，数学成绩特别优秀的概率为 P20.002200.04，数学特别优秀的同学有 1000.0443人(2)语文数学两科都特别优秀的有 3 人，单科特别优秀的有 3 人，记两科都特别优秀的 3 人分别为 A1， A2， A3，单科特别优秀的 3 人分别为 B1， B2， B3，从中随机抽取 2 人，共有：( A1， A2)，( A1， A3)，(
6、 A2， A3)，( B1， B2)，( B1， B3)，( B2， B3)，(A1， B1)，( A1， B2)，( A1， B3)，( A2， B1)，( A2， B2)，( A2， B3)，( A3， B1)，( A3， B2)，(A3， B3)共 15 种，其中这两人两科成绩都特别优秀的有( A1， A2)，( A1， A3)，( A2， A3)这 3种，则这两人两科成绩都特别优秀的概率为： P .315 1522 列联表：语文特别优秀 语文不特别优秀 合计数学特别优秀 3 1 4数学不特别优秀 2 94 96合计 5 95 100 K2 42.9826.635，100 394 12
7、2496595 2 45057有 99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀2在四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD， ABC 是正三角形， AC 与 BD 的交点为 M，又PA AB4， AD CD，点 N 是 CD 中点图 62(1)求证： MN平面 PAD；(2)求点 M 到平面 PBC 的距离解 (1)证明：在正三角形 ABC 中， AB BC，在 ACD 中， AD CD，又 BD BD，所以 ABD CBD，所以 M 为 AC 的中点，又点 N 是 CD 中点，所以 MN AD，又 AD平面 PAD， MN平面 PAD，所以 MN平面 PAD；(2)设 M 到平面
8、PBC 的距离为 h，在 Rt PAB 中， PA AB4，所以 PB4 ，2在 Rt PAC 中， PA AC4，所以 PC4 ，2在 PBC 中， PB4 ， PC4 ， BC4，所以 S PBC4 ，2 2 7由 VMPBC VPBMC，即 4 h 2 4，解得 h ，13 7 13 3 22174所以点 M 到平面 PBC 的距离为 .22173某高校在 2018 年自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩共分为五组，得到如下的频率分布表：组号 分组 频数 频率第一组 145,155) 5 0.05第二组 155,165) 35 0.35第三组 165,175) 3
9、0 a第四组 175,185) b c第五组 185,195) 10 0.1(1)请写出频率分布表中 a、 b、 c 的值，若同组中的每个数据用该组中间值代替，请估计全体考生的平均成绩；(2)为了能选出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名考生进入第二轮面试求第 3、4、5 组中每组各抽取多少名考生进入第二轮面试；在(2)的前提下，学校要求每个学生需从 A、 B 两个问题中任选一题作为面试题目，求第三组和第五组中恰好有两个学生选到问题 B 的概率解 (1)由题意知， a0.3， b20， c0.2，1500.051600.351700.31800
10、.21900.1169.5.x(2)第 3、4、5 组共 60 名学生，现抽取 6 名，因此第三组抽取的人数为 303660人，第四组抽取的人数为 202 人，第五组抽取的人数为 101 人660 660所有基本事件如下：( A， A， A， A)，( B， A， A， A)，( A， B， A， A)，( A， A， B， A)，(A， A， A， B)，( B， B， A， A)，( B， A， B， A)，( B， A， A， B)，( A， B， B， A)，(A， B， A， B)，( A， A， B， B)，( B， B， B， A)，( B， B， A， B)，( B， A， B
11、， B)，(A， B， B， B)，( B， B， B， B)基本事件总数有 16 个，其中第三组和第五组恰有两个学生选到问题 B 的基本事件如下：( B， B， A， A)，( B， A， B， A)，( B， A， A， B)，( A， B， B， A)，(A， B， A， B)，( A， A， B， B)，共包含 6 个基本事件故第三组和第五组中恰好有两个学生选到问题 B 的概率 P .616 384选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系5(1)求曲线 C 的极坐标方程；(2
12、) 在平面直角坐标系 xOy 中， A(2,0)， B(0，2)， M 是曲线 C 上任意一点，求ABM 面积的最小值解 (1)由Error!，得( x3) 2( y4) 24，将Error! 代入得 26 cos 8 sin 210，即为曲线 C 的极坐标方程(2)设点 M(32cos ，42sin )到直线 AB： x y20 的距离为 d，则d ，|2sin 2cos 9|2 |22sin( 4) 9|2当 sin 1 时， d 有最小值 .( 4) 9 222所以 ABM 面积 Smin |AB|d92 .12 2选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)| x2|.(1)解不等式 f(
13、x)4| x1|；(2) 已知 a b2( a0， b0)，求证 f(x) .|x52| 4a 1b解 (1)不等式 f(x)4| x1|，即| x1| x2|4，当 x2 时，不等式化为( x1)( x2)4，解得 x3.5；当2 x1 时，不等式化为( x1)( x2)4，无解；当 x1 时，不等式化为( x1)( x2)4，解得 x0.5；综上所述：不等式的解集为 x|x3.5 或 x0.5(2) (a b) 4.5，4a 1b 12(4a 1b) 12(4 4ba ab 1)当且仅当 a ， b 时等号成立43 23由题意知， f(x) | x2| 4.5，|x52| |x 52| |x 52 x 2 |所以 f(x) .|x52| 4a 1b
