1、13.2.2 复数的乘法1能运用复数的乘法运算法则进行简单的计算2掌握虚数单位“i”的幂的规律进行化简求值复数的乘法(1)两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是在遇到 i2时，要把_换成_，并把最后的结果写成 a bi(a， bR)的形式(2)两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的_(1)两个复数的积仍为复数(2)复数的乘法运算满足：交换律： z1z2 z2z1；结合律：(z1z2)z3 z1(z2z3)；乘法对加法的分配律： z1(z2 z3) z1z2 z1z3.(3)对复数 z1， z2， z 和自然数 m， n 有： zmzn zm n，( zm)n zmn，(
2、 z1z2)n z z .实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立n1 n2【做一做 11】计算(1i) 4得( )A4 B4C4i D4i【做一做 12】(12i)(34i)(2i)的运算结果是_共轭复数有哪些运算性质？剖析：(1) z | z|2| |2；z z(2) ( )2；z2 z(3) ；z1z2 z1 z2(4) .z1z2 z1 z2题型一 复数乘法运算【例题 1】计算：(23i)(32i)分析：根据运算法则计算即可反思：复数的乘法与多项式乘法类似，在计算两个复数相乘时，先按多项式的乘法展开，再将 i2换成1，最后合并同类项即可题型二 i 的幂的运算【例题 2】已知等比数列 z
3、1， z2， z3， zn，其中z11， z2 x yi， z3 y xi(x， yR，且 x0)(1)求 x， y 的值；(2)试求使 z1 z2 z3 zn0 的最小正整数 n；(3)对(2)中的正整数 n，求 z1z2z3zn的值分析：借助等比数列建立等式关系，利用复数相等的充要条件，将复数问题转化成实数问题来求解，进而得到数列通项公式，然后便使问题逐步得以解决反思：(1),i1,in 423.kZ ， ， ， ， ， ， ，2(2)ini n1 i n2 i n3 0， nZ.题型三 共轭复数的性质【例题 3】若 z， z0C， z z0，且| z|2，求 04z的值.分析：要用 z
4、表示 04z比较困难， z0没有具体给出，要想求 04z的值，必须充分利用| z|2，为此要考虑用| z|的性质| z|2 z反思： 是在求解复数问题时常用的一个公式.题型四 易错辨析易错点：有些同学总认为只要是复数式子就不能比较大小，这种观点是错误的.错误原因是：若两复数经化简后为实数，则能比较大小，因此要注意运算时式子中的隐含条件.【例题 4】已知 z1， z2C，且 z1z20， 12,Azz12Bz ，问 A， B可否比较大小？并说明理由.错解：因为 z1， z2C，且 z1z20，所以 AC，而 B| z1|2| z2|2R，所以 A， B不能比较大小.1 设复数 z11i， z2
5、x2i( xR)，若 z1z2R，则 x 等于( ).A2 B1C1 D22 设复数 iz,则 z22 z 等于( ).A3 B3C3i D3i3 设 zC， 21iz , 2z,则复数 z1与 z2的关系是( ).A z1 z2 B z1 z2C z1 z2 D不能比较大小4 已知复数 z 与( z2) 28i 均是纯虚数，则 z_.5 已知复数 z1cos i， z2sin i，则 z1z2的实部的最大值为_，虚部的最大值为_.答案：基础知识梳理1(1)i 2 1 (2)平方【做一做 11】B (1i) 4(1i) 22(2i) 24.【做一做 12】2015i (12i)(34i)(2i
6、)(112i)(2i)2015i.典型例题领悟【例题 1】解：(23i)(32i)64i9i6i 264i9i6125i.【例题 2】解：(1)由 z1z3 z ，得( x yi)2 y xi，2根据复数相等的充要条件，得Error!( x0)解得Error!3(2)z11， z2 i， q i，则 zn n1 ，于是32 12 32 12 (32 12i)z1 z2 zn1 q q2 qn1 0，则 qn n1，即 n 既是 3 的倍1 qn1 q (32 12i)数又是 4 的倍数故 n 为 12 的倍数，所求最小的正整数 n 为 12.(3)z1z2z121 2 11 1211 (32
7、12i) (32 12i) (32 12i) (32 12i)66( i)66 661.(32 12i) ( 12 32i)【例题 3】解法一：| z|2，| z|2 z 4，z .|z z04 zz0| | z z0zz zz0| | z z0z z z0 | |1z| 12解法二： 2 |z z04 zz0| z z04 zz0 z z04 zz0 |z|2 |z0|2 zz0 zz016 |z|2|z0|2 4zz0 4zz0 ，4 |z0|2 zz0 zz04 4 |z0|2 zz0 zz0 14 .|z z04 zz0| 12【例题 4】错因分析：错解中直接由 z1 C， z2 C
8、得 A C 是不严密的，事实上只要求出 就能发现 A 为实数A正解：因为 A z1 z2，故 z2 z1 A，即 A R，而z2 z1 A z1 z2B z1 z2 | z1|2| z2|2 R，所以 A， B 可以比较大小，且有z1 z2A B z1 z2 ( z1 z2 ) z1( ) z2( )( z1 z2)(z2 z1 z1 z2 z2 z1 z1 z2)| z1 z2|20，z1 z2故有 A B0，即 A B.随堂练习巩固1A z1z2(1i)( x2i)( x2)( x2)i R， x20， x2.2A z22 z(1 i)22(1 i)12 i22 i3.2 2 2 23A 设 z a bi(a， b R)，则z2 a2 b22 abi， a2 b22 abi， z2 4 abi，所以z2 z22iz14 abi， z12 ab， z2 z a2 b22 ab.z42i 设 z bi(b R，且 b0)，则( bi2) 28i(4 b2)(4 b8)i 为纯虚数所以Error!所以Error! 即 b2.5 z1z2(cos sin 1)(cos sin )i，实部为 cos sin 32 2 11 sin 2 ，故实部的最大值为 ，虚部为sin cos 12 32 32 sin ，故虚部的最大值为 .2 ( 4 ) 2 2
