1、几何综合探究题满分训练类型 1 探究线段长度的极值和定值问题1.（2018某高新一中模拟）如图，直线 l 外有一点 D,D 到直线 l 的距离是 5，在ABC 中，ABC=90，AB=6,tanCAB= ,边 AB 在直线 l 上滑动，则四边形 ABCD 的周长的最小值是13多少？2.（2018某铁一中模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4,BC=2,E，F 分别是 AB，CD 上的动点，且 EFAC,连接 EC，FA,求 EC+FA 的最小值是多少。3.（2018某交大附中模拟）在ABC 中,ACB=90，AC=BC=4,D 是 AB 的中点，P 是平面上一点，且 DP=1,连接 BP，
2、CP,将线段 PB 绕点 P 顺时针旋转 90，得到线段 PB,连接AB,则 AB的最大值为多少？4.（2018某工大附中模拟） （1）如图，ABC 和DEC 均为等腰直角三角形，且BAC=CDE=90，AB=AC=3,DE=CD=1,连接 AD,BE,求 。ADBE（2）如图，在 RtABC 中，ACB=90，B=30，BC=4,过点 A 作 AMAB,P 是射线AM 上一动点，连接 CP,作 CQCP,交线段 AB 于点 Q,求 PQ 的最小值。(3)小姜准备加工一个四边形零件，如图，这个零件的示意图为四边形 ABCD，要求BC=4,BAD=135，ADC=90，AD=CD。请你帮小姜求出
3、这个零件的对角线 BD 的最大值。类型 2 探究图形面积的最值问题5.【问题提出】(1)如图，在ABC 中，ACB=90，AB=8,ABC 的最大面积是 。(2)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC+BD=14,求菱形的最大面积。【问题解决】(3)如图，赵师傅用一个半径为 a 的圆形板材，想制作一个面积最大的矩形。能否裁出？若能，请算出这个矩形的最大面积；若不能，请说明理由。6.（2018某工大附中模拟） 【问题探究】（1）如图，在矩形 ABCD 中，P 是 AB 上一点，请在 AD 上求作一点 Q，使QPC=60。（2）如图，在矩形 ABCD 中，AB=7,P 是 AB 上一点 ，且 A
4、P=3,E 是 BC 上一点，且 BE=43,点 Q 在 AD 边上，且QPE=60，求PQE 的面积。【问题解决】（3）为了积极响应政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区建造如图的休闲广场。在矩形 ABCD 中，AB=100 米，BC=180 米，P 为 AB 上一点，且 APPB=23,E 为 BC上一点，点 Q 在 AD 边上，且满足QPE=60，其中APQ，BPE 为景观绿化区，四边形CDQE 为健身休闲区，PQE 为商业活动区，为了更好地服务于广大业主，希望极大地减少商业服务区的面积，那么按此要求修建的商业活动区PQE 是否存在最小面积？如果存在，求出最小面积；如果不存在，
5、说明理由。7.（2018某高新一中模拟） （1）如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC,AD=CD=3,BAD=BCD=90，ADC=60，则四边形 ABCD 的面积为多少？（2）如图，在四边形 ABCD 中，BAD=BCD=90，ABC=135， AB=2 ，BC=3,在2AD，CD 上分别找一点 E，F,使BEF 的周长最小，并求出最小周长。（3）如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC=2,AD=CD=3,ABC=150，BCD=90，在四边形 ABCD 中（包括边缘）是否存在一点 E,使AEC=30，且使四边形 ABCE 的面积最大？若存在，找出点 E 的位置，并求出四边形 ABCE
6、 的最大面积；若不存在，请说明理由。8.（2018某高新一中模拟）如图，在四边形 ABCD 中，如果对角线 AC 和 BD 相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为“等角线四边形” 。（1）在“平行四边形、矩形、菱形”中 是“等角线四边形”(填写图形名称)；若 M,N,P,Q 分别是等角线四边形 ABCD 四边 AB,BC,CD,DA 的中点，当对角线 AC,BD 还要满足 时四边形 MNPQ 是正方形。(2)如图，在ABC 中，ABC=90，AB=4,BC=3,D 为平面内一点，若四边形 ABCD 是等角线四边形，且 AD=BD，求四边形 ABCD 的面积。（3）如图，在ABC 中，ABC=
7、120，AB=BC=4,点 E 是以 C 为圆心 1 为半径的圆上一动点，D 为平面内一动点，若四边形 ABED 是“等角线四边形” ，求四边形 ABED 的面积的最大值，并说明理由。类型 3 探究图形面积的分割问题9.【问题探究】（1）如图，点 P 为平行四边形 ABCD 内一点，请过点 P 画一条直线 l1，使其将平行四边形 ABCD 分成面积和周长分别相等的两部分。【问题探究】（2）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA，OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，点 B 的坐标为（8，6） 。已知点 P（6，7）为矩形外一点，请过点 P 画一条能将矩形OABC 分成
8、面积和周长分别相等的两部分的直线 l2，说明理由并求出直线 l2被矩形 OABC 截得的线段的长度。【问题解决】（3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，五边形 OABCD 的边 OA，OD 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，DCx 轴，ABy 轴，且 OA=OD=8，AB=CD=2，点 P（10-5 ，10-5 ）为五2边形 OABCD 内一点。请问：是否存在过点 P 的直线 l3，与边 OA，BC 分别交于点 E，F，且将五边形 OABCD 分成面积和周长分别相等的两部分?若存在，请求出点 E 和点 F 的坐标;若不存在，请说明理由。10.（2018交大附中模拟） 【问题探究】（1）如图，
9、在平面直角 坐标系内，M 是边长为 4 的 正方形 ABCO 边上一点，请过点M（0，3）作一条直线，使它将正方形的面积二等分，求这条直线的解析式。（2）如图，在平面直角坐标系中有 A（1,4）,B（4,0）两点，请过点 C 作一条直43,线将ABO 的面积二等分，求这条直线的解析式。【问题解决】（3）农民张伯伯有一块四边形空地，如图，在四边形 ABCD 中，AB=2 km,BC=4 km，BAD=90,BCD=90,ABC=120，张伯伯想过点 C 修一条路将四边形 ABCD 的面积等分为相等的两部分。这样的路是否存在？若存在，求出路的长度；若不存在，请说明理由。11.【问题探究】定义：若一
10、条直线平分任意一个几何图形的面积，则称这条直线为该几何图形的面积等分线。（1）如图，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；第 11 题图（2）如图，在四边形 ABCD 中，AB 与 CD 不平 行，ABCD，且 SABC S ACD ，过点 A 画出四边形 ABCD 的面积等分线，并写出理由。【探索应用】（3）小张有一块正方形的土地如图，由于修建高速公路被占去一块三角形 BCP 区域。现决定在 DP 右侧补给小张一块土地，补偿后，土地变为四边形 ABMD，要求补偿后的四边形ABMD 的面积与原来正方形 ABCD 的面积相等且点 M 在射线 BP 上，请你在图中画出点 M 的
11、位置，并简要叙述其作法。类型 4 探究符合条件的点的问题12.（2015陕西中考）如图，在每一个四边形 ABCD 中，均有ADBC，CDBC，ABC=60，AD=8，BC=12。（1）如图，M 是四边形 ABCD 边 AD 上的一点，则BMC 的面积为 。（2）如图，N 是四边形 ABCD 边 AD 上的任意一点，请你求出BNC 周长的最小值。（3）如图，在四边形 ABCD 的边 AD 上，是否存在一点 P，使得 cosBPC 的值最小？若存在，求出此时 cosBPC 的值；若不存在，请说明理由。13.（2014陕西中考） 【问题探究】（1）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4。如果
12、 BC 边上存在点 P，使APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形 APD，并求出此时 BP 的长。（2）如图，在ABC 中，ABC=60，BC=12，AD 是 BC 边上的高，E，F 分别为边AB，AC 的中点。当 AD=6 时，BC 边上存在一点 Q，使EQF=90，求此时 BQ 的长。问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图的五边形 ABCDE，山庄保卫人员想在线段 CD 上选一点 M 安装监控装置，用来监视边 AB。现只要使AMB 大约为 60，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知A=E=D=90，AB=270 m，AE=400 m，ED=285 m，CD=340 m，问：在线段 CD 上是否存在点 M，使AMB=60？若存在，请求出符合条件的 DM 的长;若不存在，请说明理由。参考答案
