1、- 1 -2.2.2 间接证明课时目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题1间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种_的方法通常称为间接证明_就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有_、_等2反证法(1)反证法证明过程反证法的证明过程可以概括为“_推理_” ，即从_开始，经过_，导致_，从而达到_(即肯定原命题)的过程 肯 定 条 件 p导 致 逻辑 矛 盾 “p且 q”为 假 “若 p则 q”为 真(2)反证法证明命题的步骤_假设_不成立，即假定原结论的反面为真归谬从_和_出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果存真由_，
2、断定反设不真，从而肯定原结论成立一、填空题1用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设_2设 x、 y、 z0，则三数 x ， y ， z 的值_1y 1z 1x都大于 2 都不小于 2至少有一个不小于 2 至少有一个不大于 23用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程 ax2 bx c0 有有理根，那么a， b， c 中存在偶数”时，否定结论应为_4 “实数 a、 b、 c 不全为 0”的含义是_5若下列两个方程 x2( a1) x a20， x22 ax2 a0 中至少有一个方程有实根，则实数 a 的取值范围是_- 2 -6用反证法证明命题“ x2( a b)x ab0，则 x
3、 a 且 x b”时应假设为_7用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤： A B C9090 C180，这与三角形内角和为 180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设 ABC 中有两个直角，不妨设 A90， B90.上述步骤的正确顺序为_(填序号)8有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖 ”乙说：“甲、丙都未获奖 ”丙说：“我获奖了 ”丁说：“是乙获奖 ”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是_二、解答题9已知三个正数 a， b， c 成等差数列，且公差 d0，求证： ， 不可能成等差数1a1b 1c列10如图所
4、示，已知 ABC 为锐角三角形，直线 SA平面 ABC， AH平面 SBC， H 为垂足，求证： H 不可能是 SBC 的垂心- 3 -能力提升11已知数列 an满足： a1 ， an1 an n4，其中 为实数， n 为正整数求证：23对任意实数 ，数列 an不是等比数列12已知函数 f(x) ax (a1)，用反证法证明方程 f(x)0 没有负数根x 2x 11在使用反证法时，必须在假设中列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的2推理必须从假设出发，不用假设进行论证就不是反证法3对于否定性命题，结论中出现“至多” 、 “至少” 、 “不可能”等字样时，常用反证法- 4
5、-22.2 间接证明答案知识梳理1不是直接证明 反证法 同一法 枚举法2(1)否定 否定 否定结论 正确的推理 逻辑矛盾新的否定 否定结论 q (2)反设 命题结论反设 已知条件 矛盾结果作业设计1至少有两个钝角2解析 假设三个数都小于 2，则 6(x1y) (y 1z) (z 1x)而 (x1y) (y 1z) (z 1x) 6 矛盾，(x1x) (y 1y) (z 1z)故正确3 a， b， c 都不是偶数4 a、 b、 c 中至少有一个不为 05 a|a2 或 a16 x a 或 x b解析 否定结论时，一定要全面否定， x a 且 x b 的否定为 x a 或 x b.7解析 考查反证
6、法的一般步骤8丙解析 若甲说的话对，则丙、丁至少有一人说的话对，则乙说的话不对，则甲、丙至少有一个人获奖是对的又乙或丙获奖，丙获奖9证明 假设 ， 成等差数列，1a1b 1c则 .2b 1a 1c a cac a， b， c 成等差数列，2 b a c，- 5 - b2 ac.2b 2bac 2 ac(a c)24 ac(a c)20 a c.(a c2 )又 2b a c， a b c.因此， d b a0，这与 d0 矛盾所以 ， 不可能成等差数列1a1b 1c10证明 假设 H 是 SBC 的垂心，连接 BH 并延长 BH 与 SC 相交，则 BH SC.又 AH平面 SBC， AH S
7、C， SC平面 ABH， SC AB.又 SA平面 ABC， AB SA. AB平面 SAC， AB AC.即 BAC90，这与三角形 ABC 为锐角三角形矛盾，所以 H 不可能是 SBC 的垂心11证明 假设存在一个实数 ，使数列 an是等比数列，则有 a a1a3，2即 2 ，(23 3) (49 4)即 24 9 24 ，即 90，上式显然不成立，所以假设不成立，所以数列49 49an不是等比数列12证明 假设方程 f(x)0 有负数根，设为 x0(x01)则有 x01，0 ax01，0 1.x0 2x0 1解上述不等式，得 x02.12这与假设 x00 矛盾故方程 f(x)0 没有负数根
