1、1河北省衡水中学 2019 届高三上学期五调考试数学（文）试题一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出集合 B 对应不等式的解集，然后求其与集合 A 的交集即可.【详解】因为 ,又 ，所以.故选 A.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题型.2.满足 （是虚数单位）的复数 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将原式子变形为 ，再由复数的除法运算得到结果.z=-i1-i【详解】 ， ，即 ，z+iz =i z+i=z
2、i z=-i1-i= -i(1+i)(1-i)(1+i)=-i+12 =12-12i故选 A.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，复数的常考内容有：zabi(a，bR)与复平面上的点 Z(a，b)、平面向量 都可建立一一对应的关系(其中 O 是坐标原点)；复平面内，OZ实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数记作23.已知等差数列 的公差为 ，若 ， ， 成等比数列，则 等于（ ） an 2 a1 a3 a4 a2A. B. C. D. 9 3 3 6【答案】D【解
3、析】分析：利用等差数列a n的公差为 2，a 1，a 3，a 4成等比数列，求出 a1，即可求出 a2详解：等差数列a n的公差为 2，a 1，a 3，a 4成等比数列，（a 1+4） 2=a1（a 1+6） ，a 1=-8，a 2=-6故选 D.点睛：本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础4.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了 2017 年 1 月至 2017 年 11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（ ）A. 月跑步平均里程的中位数为 6 月份对应的里程数B. 月跑步
4、平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在 8、9 月D. 1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，变化比较平稳【答案】D【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为 5 月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在 9， l0 月份，故 A， B， C 错.3本题选择 D 选项.5.在直角坐标系 xOy 中，角 的始边为 x 轴的非负半轴，其终边上的一点 P 的坐标为（其中 ） ，则(2m，m) m0,b0) F1,F2 F1 x2+y2=a2交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）M F1MF2=45A. B
5、. C. D. y= 2x y= 3x y=x y=2x【答案】A【解析】【分析】作 OA 于点 A， 于点 B，可得 ， ，F1M F2BF1M |OA|=a，|F2B|=|BM|=2a |F2M|=22a，结合双曲线定义可得 从而得到双曲线的渐近线方程.|F1B|=2b b= 2a【详解】如图，作 OA 于点 A， 于点 B，F1M F2BF1M4 与圆 相切，F1M x2+y2=a2 F1MF2=45 ， ，|OA|=a，|F2B|=|BM|=2a |F2M|=22a |F1B|=2b又点 M 在双曲线上， |F1M|-|F2M|=2a+2b-22a=2a整理，得 ，b= 2aba= 2
6、双曲线的渐近线方程为 y= 2x故选：A【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于 a，b 的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为 ，它的体积是（ ）cmA. B. C. D. 2732cm3 92cm3 932cm3 272cm3【答案】C【解析】【分析】5由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，V=13Sh=1312(2+4)3323=923cm3故选 C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及
7、几何尺寸.8.如图，已知三棱柱 的各条棱长都相等，且 底面 ， 是侧棱 的ABCA1B1C1 CC1 ABC M CC1中点，则异面直线 和 所成的角为( )AB1 BMA. B. C. D. 2 3【答案】A【解析】【分析】由题意设棱长为 a，补正三棱柱 ABC-A2B2C2，构造直角三角形 A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出 A2M，从而求解6【详解】 设棱长为 a，补正三棱柱 ABC-A2B2C2（如图） 平移 AB1至 A2B，连接 A2M，MBA 2即为 AB1与 BM 所成的角，在A 2BM 中， A2B= 2a，BM= a2+(a2)2=52a，A2M= a2+(3
8、a2)2=132a，A2B2+BM2=A2M2，MBA2=2,故选：A【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做9.在等腰直角三角形 中， ，点 为 所在平面上一动点，且满足ABC C=900,|CA|=2 P ABC,求 的取值范围|BP|=1 BP(CA+CB)A. B. C. D. 22,0 0,22 2,2 22,22【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，用参数方程表示点 P 的坐标，从而求出的取值范围BP(CA+CB)【详解】根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示则 A（0，2） ，B（2，0） ，C（0，0） ，由|
9、 |=1 知，点 P 在以 B 为圆心，半径为 1 的圆上，BP7设 P（2+cos，sin） ，0，2） ；则 =（ cos，sin） ，BP又 + =（2，2） ；CACB （ + ）=2cos+2sin=2 sin（+ ） ，BP CACB 24当 + = ，即 = 时， （ + ）取得最大值 2 ，42 4 BP CACB 2当 + = ，即 = 时， （ + ）取得最小值2 ，432 54 BP CACB 2 （ + ）的取值范围是2 ，2 BP CACB 2 2故选：D【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向
10、量外衣” ，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.10.如图，平面四边形 中， ， ， ，将其沿对角线ABCD AB=AD=CD=1 BD= 2 BDCD折成四面体 ，使平面 平面 ，若四面体 的顶点在同一个球面BD ABCD ABD BCD ABCD上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 332 4 34【答案】A【解析】【分析】设 BC 的中点是 E，连接 DE，由四面体 ABCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设 BC 的中点是 E，连接 DE，AE，因为 ABAD1，BD 2由勾股定理得：BAAD8又因为 BDCD，即三
11、角形 BCD 为直角三角形所以 DE 为球体的半径DE=32S=4(32)2=3故选 A【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径 R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径 R 的方程.11.已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线 交于 两点，且直C y2=2px(p0) F F C A、B线与圆 交于 两点.若 ，则直线的斜率为x2-px+y2-34p2=0 C、D |AB|=2|CD|A. B. 22 32C. D. 1 2【答案】C【解析】【分析】由题意得圆心即为抛物线的焦点，故直线过圆心，于是 为圆
12、的直径，所以CD设直线 ，将其代入抛物线方程消去 x 得到关于 y 的一元二次方|AB|=2|CD|=4p l:x=ty+p2程，然后根据弦长公式可得 ，于是得到 |AB|=2p(1+t2)=4p t=1【详解】由题设可得圆的方程为 ，(x-p2)2+y2=p2故圆心为 ，为抛物线的焦点，(p2,0)所以 |CD|=2p,所以 |AB|=4p设直线 ,代入 得 ，l:x=ty+p2 y2=2px(p0) y2-2pty-p2=0设直线 l 与抛物线 C 的交点坐标为 ，A(x1,y1),B(x2,y2)则 ，y1+y2=2pt,y1y2=-p29则 ，|AB|= (1+t2)(4p2t2+4p
13、2)=2p(1+t2)=4p所以 ，解得 1+t2=2 t=1故选 C【点睛】 （1）本题考查直线和抛物线的位置关系、圆的方程、弦长的计算，意在考查分析推理和计算能力(2) 弦长公式对有斜率的直线才能使用，此时公式为 ，其中 表示直线的斜|AB|= 1+k2|a| k率，是直线和椭圆的方程组消去 化简后 中 的系数， y 得 到 的 二 次 方 程 ax2+bx+c=0 x2 是 的判别式对于斜率不存在的直线，则弦长为 =b2-4ac ax2+bx+c=0 |AB|=|yA-yB|12.已知定义在 上的函数 ，若函数 恰有 2 个零点，则实数的Rf(x)=lnx,x1|x2x|,x1 F(x)
14、=f(x)ax取值范围是（ ）A. B. (,1)0(1e,+) (,1)0(1e,1)C. D. (1,1e)0(1e,1) (1,1e)0(1e,+)【答案】B【解析】【分析】将函数 恰有 2 个零点转化为两函数 与 有两不同交点，作出函数图F(x)=f(x)-ax y=f(x) y=ax像即可求出结果.【详解】由题意函数 恰有 2 个零点，即是方程 有两不等实根，即F(x)=f(x)-ax f(x)-ax=0是两函数 与 有两不同交点，作出函数图像如下图，y=f(x) y=ax易得当 时，有两交点，即函数 恰有 2 个零点.故选a(-,-1)(1e,1)0 F(x)=f(x)-axB.【
15、点睛】本题主要考查数形结合思想处理函数零点问题，只需将函数有零点转化为两函数10有交点的问题来处理，作出函数图像，即可求出结果，属于中档试题.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.某机构就当地居民的月收入调查了 1 万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）.为了深入调查，要从这 1 万人中按月收入用分层抽样方法抽出 100 人，则月收入在 （元）段应抽出_人2500.3000)【答案】25【解析】【分析】利用频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距，所以频率等于纵坐标乘以组距，求出段的频率，结合样本容量即可求出结果.2500.3000)【详解】由题意，月收
16、入在 （元）段的频率为 ，2500.3000) 0.0005500=0.25所以月收入在 （元）段应抽出的人数是 .2500.3000) 1000.25=25【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题型.14. 中，角 ， ， 的对边分别为， ， ， ， ， ，则 的面积ABC A B C b cosC=14 c=3 acosA= bcosB ABC等于_【答案】3154【解析】【分析】先由正弦定理得 a=b，然后由余弦定理求得 a、b，在用面积公式求得 的面积.ABC【详解】 acosA= bcosBsinAcosA=sinBcosB化解得： sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B
17、)=011即：A=B又 cosC=14c=3cosC=a2+b2-c22ab =14解得：a=b= 6SABC=3154【点睛】本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化.15.已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是f(x)=x2lnx x f(x)kx+10 k_【答案】 (,1【解析】函数 的定义域为 ，f(x)=x2lnx x|x0恒成立,即 等价于 ，f(x)kx+10 x2lnxkx+10 kxlnx+1x令 ，则 ，g(x)=xlnx+1x g(x)=lnx+11x2令 ，则 在 上恒成立，r(x)=lnx+11x2 r(x
18、)=1x+2x30 (0,+) 在 上单调递增， g(x)=lnx+11x2 (0,+) g(1)=0故当 时， ，函数 单调递减；01 g(x)0 g(x) gmin(x)=g(1)=1故 ，故答案为 .kgmin(x)=g(1)=1 (,1点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为 或ah(x)恒成立，即 或 即可，利用导数知识结合单调性求出 或ahmax(x) a0) 2求 的值；(1) 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， ， ， 面积 ，(2)ABC f(B)=2
19、a= 3 ABC S=334求 b【答案】(1) (2)312【解析】【分析】（1）化简 ，根据函数的最小正周期 即可求出 的值f(x)=2sin(2x-6) T=22=2 2）由（1）知， .由 ，求得 ，再根据 的面积f(x)=2sin(x-6) f(B)=2sin(B-6)=2 B=23 ABC，解得 ，最后由余弦定理可求出 .SS=334 c= 3 b【详解】 （1） f(x)=23sinxcosx-cos2x+sin2x = 3sin2x-cos2x =2sin(2x-6)故函数的最小正周期 ，解得 . T=22=2 =12（2）由（1）知， .由 ，得 （ ）.所以f(x)=2si
20、n(x-6) f(B)=2sin(B-6)=2 B-6=2k+2 kZ（ ）.又 ，所以 . 的面积B=2k+23 kZ B(0,) B=23 ABC，解得 .由余弦定理可得 S=12acsinB=12 3csin23=334 c= 3 b2=a2+c2-2accosB，所以 .=( 3)2+( 3)2-2 3 3cos23 =9 b=3【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题1418.等差数列 的公差大于 0，且 是方程 的两根，数列 的前 项的an a3,a5 x214x+45=0 bn n和
21、为 ，且 Sn Sn=112bn（1）求数列 ， 的通项公式； an bn（2）记 ,求数列 的前 项和 cn=anbn cn n Tn【答案】 （1） ， ；（2）an=2n-1 bn=23n Tn=2(1-n+13n)【解析】【分析】（1）由已知条件得 a3=5，a 5=9，由此求出 an=a5+（n-5）d=2n-1；由 ，推导出Sn=1-12bnbn是等比数列， ， ，由此求出 b1=23. q=13 bn=b1qn-1=23n（2）由（1）知 ，由此利用错位相减法能求出数列c n的前 n 项和 Tncn=anbn=2(2n-1)3n【详解】 （1） 是方程 的两根，且数列 的公差 ，
22、a3,a5 x2-14x+45=0 an d0 ，公差a3=5，a5=9 d=a5-a35-3=2. an=a5+(n-5)d=2n-1.又当 时，有 1n=1 b1=S1=12b1 b1=23.当 n2时 ,有 bn=Sn-Sn-1=12(bn-1-bn),bnbn-1=13(n2).数列 是等比数列，bn b1=23,q=13. bn=b1qn-1=23n.（2）由（1）知 cn=anbn=2(2n-1)3nT n ， 23+632+1033+4n-23n，13Tn=232+633+1034+4n-23n+1-，得 23Tn=23+432+433+43n-4n-23n+1=23+419(1
23、- 13n-1)1-13 -4n-23n+1=43-4n+43n+1即 Tn=2(1-n+13n)15【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前 n 项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用19.如图，三棱柱中 ， 平面 ， ， .ABCA1B1C1 AA1 ABC AA1=AC=2BC ACB=90（1）求证： ；AC1A1B（2）求直线 与平面 所成角的正切值.AB A1B1C【答案】 （1）见解析；（2）63【解析】【分析】(1)先证 平面 ,可得 ，再由四边形 为正方形可得 ，BC A1C1CA AC1BC A1C1CA AC1A1C从而可得 平面 ，进而可得 ；
24、AC1 A1BC AC1A1B(2)由 平面 可得 是直线 与平面 所成的角，利用勾股定理求出 OA,OB,AC1 A1BC ABO AB A1BC即可得出 .tanABO【详解】证明（1） 平面 ， 平面 ，CC1 ABC BC ABC CC1BC又 ，即 ， ，ACB=90 BCAC ACCC1=C平面 ， 平面 ，BC A1C1CA AC1 A1C1CA.AC1BC， 四边形 为正方形，AA1=AC A1C1CA，又 ，AC1A1C A1CBC=C平面 ，又 平面 ，AC1 A1BC A1B A1BC16.AC1A1B（2）设 ，连接 .AC1A1C=O BO由（1）得 平面 ，AC1
25、A1BC是直线 与平面 所成的角.ABO AB A1BC设 ，则 ，BC=a AA1=AC=2a， ，AO=12AC1= 2a BO= a2+2a2= 3a在 中， ，RtABO tanABO=AOBO=63直线 与平面 所成角的正切值为 . AB A1BC63【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，以及直线与平面所成的角，属于中档题型.20.为提高衡水市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游 3 名，其中高级导游 2 名；乙旅游协会的导游 3 名，其中高级导游 1 名.从这 6 名导游中随机选择 2 人参加比赛
26、. （1）求选出的 2 名都是高级导游的概率；（2）为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是 （单位：万元） ，乙旅游协会对本地经济收入的30,50贡献范围是 （单位：万元） ，求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会20,40对本地经济收入的贡献概率.【答案】 （1） ；（2）15 78【解析】【分析】(1)用列举法求出基本事件数，即可计算所求的概率值；(2)根据题意知，所求概率为几何概型问题，由几何概型计算公式即可求出结果.【详解】 （1）设来自甲旅游协会的 3 名导游为 ，其中 为高级导游，A1,A2,A3 A2,
27、A3来自乙旅游协会的 3 名导游为 ，其中 为高级导游，B1,B2,B3 B3从这 6 名导游中随机选择 2 人参加比赛，有下列基本情况： ， ， ， ，A1A2 A1A3 A1B1 A1B2；A1B317； ； ；共 15 种，A1A3,A2B1,A2B2,A2B3 A3B1,A3B2,A3B3 B1B2,B1B3,B2B3其中选出的 2 名都是高级导游的有 ， ， ，共 3 种A2A3 A2B3 A3B3所以选出的 2 人都是高级导游的概率为 .p=315=15（2）依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为 （单位：万元） ，x乙旅游协会对本地经济收入的贡献为 （单位：万元） ，则 且
28、，y x30,50 y20,40则 ，属于几何概型问题xy作图，由图可知 ， ，S1=SDEF S=SABCD所求概率为 .p=S-S1S =1-S1S=1-1210102020=78【点睛】本题主要考查古典概型和几何概型，属于常规题型.21.已知椭圆 ： （ ）的右焦点为 ，且椭圆 上一点 到其两焦点 ，x2a2+y2b2=1 ab0 (22,0) M F1的距离之和为 F2 43（1）求椭圆 的标准方程；（2）设直线： （ ）与椭圆 交于不同两点 ， ，且 ，若点y=x+m mR A B |AB|=32满足 ，求 的值P(x0,2) |PA|=|PB| x0【答案】 （1） ；（2） 的值
29、为 或 x212+y24=1 x0 3 1【解析】【分析】（1）由已知求得 ，又由 ，由此能求出椭圆的方程；a=23 c=22（2）由 ，得 ，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线y=x+mx212+y24=1 4x2+6mx+3m2-12=018的性质，结合已知，即可求出 的值x0【详解】 （1）由已知 ，得 ，又 ， ，椭圆 的方程为2a=43 a=23 c=22 b2=a2-c2=4 x212+y24=1（2）由 得 y=x+m,x212+y24=1, 4x2+6mx+3m2-12=0直线与椭圆 交于不同两点 、 ， ，得 ， A B =36m2-16(3m2-12)0 m20)调性，研
30、究零点问题【详解】(1) ，则F(x)=xf(x)=12x2+(1-a)x-alnx(x0)F(x)=x+(1-a)-ax=(x+1)(x-a)x当 时， ，所以函数 在 上单调递增；a0 F(x)0 F(x) (0,+)当 时，若 ，则 ，若 ，则a0 x(0,a) F(x)0所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增；F(x) (0,a) (a,+)综上可知，当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在 上单调递a0 F(x) (0,+) a0 F(x) (0,a)减，在 上单调递增；(a,+)(2) 函数 有两个零点等价于 有两个零点.f(x) F(x)=12x2+(1-a)x-alnx
31、(x0)由(1)可知，当 时，函数 在 上单调递增， 最多一个零点，不符合题意。a0 F(x) (0,+) F(x)所以 ，又当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；所从a0 a0 F(x) (0,a) (a,+).F(x)min=a-12a2-alna要使 有两个零点，则有 .F(x) F(x)min01-12a-lna0设 ，则 ，所以函数 在 上单调递减.又所以存在 ，当 时， .即存在 ，当 时， 即又因为 ，所以实数的最小值等于 2此时，当 时， ，当 时， ， 有两个零点.故实数的最小值等于 2.【点睛】本题考查了函数的最值的求法，注意运用导数求得单调区间即可，注意运用分类讨论的思想方法，在求函数的零点问题时，注意运用函数的单调性和零点存在定理，属于难题。
