1、1河北省衡水市武邑中学 2019 届高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 ， ， ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得 的结果，然后求其与 的并集，由此得出正确选项.【详解】解： 故选： B【点睛】本小题主要考查集合的交集、集合的并集的运算，属于基础题.2.已知复数 ，则复数的模为 （ ）A. 2 B. C. 1 D. 0【答案】C【解析】,3.在 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 ，则角 =( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可解得 ，利用大边对大
2、角可得范围 ，从而解得 A 的sinA=asinBb =12 A(0,45)值【详解】解： ，a=1,b= 2,B=45由正弦定理可得： ， sinA=asinBb =1222=12，由大边对大角可得： ，a=1cb bca bac abc【答案】B【解析】【分析】由偶函数 f（x）在（，0上单调递增，可得 f（x）在（0，+）上单调递减，比较三个自变量的大小，可得答案【详解】因为 且 所以a=f(log123)=f(log23)=f(log23), log2312,01221.20 f(x) (,0) f(x) f(x)内单调递减，所以 所以(0,+)f(log123)ca.故选：B.【点睛
3、】本题主要考查函数的单调性与奇偶性.根据题意，函数 为偶函数，所以图像关f(x)于 轴对称，且在 轴左右两侧单调性相反，即左增右减，距离对称轴越远，函数值就越小，y y所以原不等式比较两个函数值的大小，转化为比较两个自变量的绝对值的大小，绝对值大的，距离 轴远，函数值就小.如果函数为奇函数，则左右两边单调性相同.y5.把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，形成的三棱锥 的正视图与俯视图如ABCD图所示，则其侧视图的面积为 A. B. C. D. 22 12 24 14【答案】D【解析】【分析】由题意确定几何体的形状，二面角 为直二面角，依据数据，求出侧视图面积C-BD-A3【
4、详解】解：根据这两个视图可以推知折起后二面角 为直二面角，其侧视图是一C-BD-A个两直角边长为 的直角三角形，其面积为 故选： D22 14【点睛】本题考查三视图求面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题6.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（ ）1,2,3,4,5A. B. C. D. 310 15 110 120【答案】C【解析】试题分析：从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取法，其中的勾股1,2,3,4,5数只有 3,4,5，故 3 个数构成一组
5、勾股数的取法只有 1 种，故所求概率为 ，故选 C.110考点：古典概型【此处有视频，请去附件查看】7.设函数 若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程f(x)=x3+(a1)x2+ax f(x) y=f(x) (0 ， 0)为( )A. B. C. D. y=2x y=x y=2x y=x【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得 ，进而得到 的解析式，再对 求导得出切a=1 f(x) f(x)线的斜率 ，进而求得切线方程.k详解：因为函数 是奇函数，所以 ，解得 ，f(x) a1=0 a=1所以 ， ，f(x)=x3+x f(x)=3x2+1所以 ，f(0)=1,f(0)=0所以
6、曲线 在点 处的切线方程为 ，y=f(x) (0,0) yf(0)=f(0)x化简可得 ，故选 D.y=x点睛：该题考查的是有关曲线 在某个点 处的切线方程的问题，在求解的过y=f(x) (x0,f(x0)程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得 ，借助于导数f(x)4的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.8.函数 的图象大致是（ ）y=e|lnx|x1|【答案】D【解析】y=e|lnx|x1|=elnx(x1),(x1)elnx+(x1),(x1)1x+(x1),(x1)1x+x1,(x2
7、0004,4,43,4,43,432,4,43,432,433,A. 20 B. 21 C. 26 D. 27【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析表中数据的规律，求出各行的和，据此可得 ，求出第六行S21=21702000的第 6 个数，计算可得 ，分析可得答案S20=S21-9722000而第六行的第 6 个数为 ，435=972则 ，S20=S21-9722000故选： B【点睛】本题考查等比数列的求和，涉及归纳推理的应用，关键是分析表中数列的规律，7属于基础题二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知向量 ，则 与 夹角的大小为_.a=(1, 3),b=( 3,1)
8、 a b【答案】6【解析】设与 的夹角的大小为，则 ，又 ， ，即与 的夹角的大bcos=ab|a|b|=2322=32 0 =6 b小为 ，故答案为 .6 614.若命题“ ，使 ”是假命题，则实数 a 的取值范围为_.xR x2+(a+1)x+13【解析】【分析】根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数 x，使 x2+ax+10，根据命题否定是假命题，得到判别式大于 0，解不等式即可【详解】命题“存在 xR，使 x2+（a1）x+10”的否定是“任意实数 x，使 x2+（a1）x+10”命题否定是真命题，=（a1） 240，整理得出 a22a301a3故答案为： -1,3【点睛】本题考查
9、命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个真命题，得到判别式的情况15.在 中，若 ，则 ABC B=4, b= 2a C=【答案】712【解析】因为 ， ，所以,由正弦定理得 ,而 ，所以B=4 b= 2a sinB= 2sinA,sinA=12 ba.A=6,C=(6+4)=7128考点：正弦定理的应用.16.直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 ，ABCA1B1C1 AB=3， ， ，则此球的表面积等于_AC=4 BC=5 AA1=2【答案】 29【解析】【分析】由已知求出 ，可得底面外接圆的半径，设此圆圆心为 ，球心为 ，在BAC=90 O O中，由勾股定理求出
10、球的半径，代入球的表面积公式求解RtOBO【详解】解：如图，在 中， ， ， ，ABC AB=3 AC=4 BC=5由勾股定理可得 BAC=90可得 外接圆半径 ，ABC r=52设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中，O O RtOBO可得球半径 ，R= 12+(52)2=292此球的表面积为 4R2=4294=29故答案为： 29【点睛】本题考查多面体外接球表面积、体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，是中档题三、解答题（本大题共 7 小题，共 70.0 分）17.在 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，其面积为 S，且 .ABC b2+c2a2=433S求 A；(1)若 ，
11、 ，求 c(2) a=53 cosB=459【答案】 （1） （2）A=60 3+43【解析】【分析】已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出 的值，即可确定出 A 的度(1) tanA数；由 的值求出 的值，进而求出 的值，由， ， 的值，利用正弦定理即(2) cosB sinB sinC sinA sinC可求出 c 的值【详解】解： ， ，(1)b2+c2-a2=2bccosA S=12bcsinA代入已知等式得： ， 2bccosA=43312bcsinA整理得： ，tanA= 3是三角形内角，A；A=60为三角形内角， ，(2) B cosB=45，sinB= 1-cos2
12、B=35，sinC=sin(B+A)=sin(B+60)=12sinB+32cosB=3+4310， ， ，a=53 sinA=32 sinC=3+4310由正弦定理得： C=asinCsinA=3+43【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18.2018 年 2 月 9-25 日，第 23 届冬奥会在韩国平昌举行.4 年后，第 24 届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了 120 名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：(1)根据上表说明，能否有 的
13、把握认为，收看开幕式与性别有关？99%10(2)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取 8 人，参加 2022 年北京冬奥会志愿者宣传活动.()问男、女学生各选取多少人？()若从这 8 人中随机选取 2 人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率 P.附： ，其中 .K2= n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) n=a+b+c+dP(K2k0) 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879【答案】 （1）见解析；（2）男生有 6 人，女生有
14、2 人，37【解析】分析：()因为 ，所以有 的把握认为，收看开幕式K2=120(6020-2020)280408040 =7.56.635 99%与性别有关；()()根据分层抽样方法得，男生 人，女生 人； 348=6 148=2()从 人中，选取 人的所有情况共有 种，其中恰有一名8 2 N=7+6+5+4+3+2+1=28男生一名女生的情况共有 种，由古典概型概率公式可得结果.M=6+6=12详解：()因为 ，K2=120(6020-2020)280408040 =7.56.635所以有 的把握认为，收看开幕式与性别有关 . 99%()()根据分层抽样方法得，男生 人，女生 人，348=
15、6 148=2所以选取的 8 人中，男生有 6 人，女生有 2 人. ()从 8 人中，选取 2 人的所有情况共有 N=7+6+5+4+3+2+1=28 种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有 M=6+6=12 种，所以，所求概率 . P=1228=37点睛：本题主要考查频率分层抽样、古典概型概率公式以及独立性检验，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成 列联表；（2）根据公式2211计算 的值；(3) 查表比较 与临界值的大小关系，作统计判断.K2= n(adbc)2(a+b)(a+d)(a+c)(b+d) K2 K2（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关
16、系，得到的结论也可能犯错误.）19.设 为数列 的前 项和，已知 ， ， Sn an n an0 a1=1 Sn+ Sn1=an(n2,nN*)（）求证： 是等差数列；Sn（）设 ，求数列 的前 项和 bn=2n1an bn n Tn【答案】 （）见解析;（） .n2n+1-32n+3【解析】分析：（）当 时， ，带入可得： ，从而得证；n2 an=Sn-Sn-1 Sn- Sn-1=1（）由（）得 ，进而得 ， ，利用错位相减即可得解.Sn=n2 an=2n-1 bn=(2n-1)2n-1详解：（）证：当 时， ，n2 an=Sn-Sn-1代入已知得， ，Sn+ Sn-1=Sn-Sn-1所以
17、，Sn+ Sn-1=( Sn+ Sn-1)( Sn- Sn-1)因为 ，所以 ，an0 Sn+ Sn-10所以 ，故 是等差数列；Sn- Sn-1=1(n2,nN*) Sn（）解：由（）知 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，Sn所以 Sn=1+(n-1)1=n从而 ，当 时，Sn=n2 n2,nN*，an= Sn+ Sn-1=n+n-1=2n-1又 适合上式，所以 a1=1 an=2n-1所以 bn=2n-1an=(2n-1)2n-1Tn=120+321+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-12Tn=121+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n12 得， T
18、n=-(221+222+223+22n-1) +(2n-1)2n-1=-(22+23+2n)+(2n-1)2n-1=-4(1-2n-1)1-2 +(2n-1)2n-1=-2n+1+4+n2n+1-2n-1= n2n+1-32n+3点睛：弄清错位相减法的适用条件及解题格式是关键，在应用错位相减法求和时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个公比不为 1 的等比数列对应项相乘所得，所谓“错位”就是找“同类项”相减20.已知椭圆 的离心率为 ，左右端点为 ,其中 的横坐标为 2. 过x2a2+y2b2=1(ab0) 12 A1,A2 A2点 的直线交椭圆于 两点, 在 的左侧
19、，且 ，点 关于 轴的对称B(4,0) P,Q P Q P,Q不 与 A1,A2重 合 Q x点为 ，射线 与 交于点 .R A1R PA2 M（1）求椭圆的方程；（2）求证: 点在直线 上.M x=4【答案】 （1） ； （2）见解析.x24+y23=1【解析】【分析】（1）由椭圆的基本量运算可得解；（2）设 ，由直线与椭圆联立可得 ，写P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x2,-y2) (3m2+4)y2+24my+36=0出直线 和直线 的方程，联立解交点横坐标，再利用韦达定理代入可得定值.A1R A2P【详解】 （1）因为离心率为 ，所以12 ca=12,因为 的横坐标为 2，所以
20、A2 a=2c=1,b= a2-c2= 3,因此椭圆的方程为 ；x24+y23=1（2）设 P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x2,-y2)由 与 联立，得3x2+4y2=12x=my+4 (3m2+4)y2+24my+36=0所以 y1+y2=-24m3m2+4,y1y2= 363m2+4直线 : ，直线 : ，A1Ry=-y2x2+2(x+2) A2Py= y1x1-2(x-2)13联立解出 .x=6y1-2y2my1y2+3y1+y2=4-6(y1+y2)+4my1y2my1y2+3y1+y2=4【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属
21、于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.已知函数 f(x)=xlnx若函数 在区间 上为增函数，求 a 的取值范围；g(x)=f(x)+ax e2,+若对任意 恒成立，求实数 m 的最大值x(0,+),f(x)x2+mx32【答案】 （1） ； （ 2） .3,+) 4【解析】【分析】(1)g(x)的导数导数大于或等于 0 恒成立，转化成求不等式恒成立问题(2) 求不等式恒成立问题转化成求最值问题，利用导数知识判断函数的单调性，从而求最值。【详解】(1
22、)由题意得 g(x)f(x)aln xa1.函数 g(x)在区间e 2，)上为增函数，当 xe 2，)时，g(x)0，即 ln xa10 在e 2，)上恒成立a1ln x.令 h(x)ln x1，ah(x) max，当 xe 2，)时，ln x2，)，h(x)(，3，a3，即实数 a 的取值范围是3，) (2)2f(x)x 2mx3，即 mx2xln xx 23，又 x0，m 在 x(0，)上恒成立记 t(x) 2ln xx .mt(x) min.t(x) 1 ，令 t(x)0，得 x1 或 x3(舍去)当 x(0,1)时，t(x)0，函数 t(x)在(0,1)上单调递减；当 x(1，)时，t
23、(x)0，函数 t(x)在(1，)上单调递增，t(x) mint(1)4.14mt(x) min4，即 m 的最大值为 4.【点睛】恒成立问题一般参变分离转化成最值问题来处理，避免分类讨论，只需要利用导数知识判断函数的单调性，从而求得函数的最值。22.平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，以原点为极点， 轴正半x=t+1y= 3t+1 x轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 C =2cos1cos2（1）写出直线的普通方程与曲线 的直角坐标方程;C（2）已知与直线平行的直线过点 ，且与曲线 交于 ， 两点，试求 M(2,0) C A B |MA|MB|【答案】(1)直线的极坐标
24、方程为 ，曲线 的直角坐标方程为3cossin3+1=0 C.(2) .y2=2x4133【解析】【分析】(1)直线参数方程 消去即可得直角坐标方程，极坐标方程 两边同时乘x=t+1y= 3t+1 = 2cos1-cos2以 后再按极坐标与直角坐标关系化简即可.（2）写出的参数方程 ，代入曲线 的直角坐标方程可得 ，利用根x=2+12ty=32t C 3t2-4t-16=0与系数的关系求得 即为所求.|t1t2|【详解】 （1）直线的参数方程为 ，把直线的参数方程化为普通方程为x=t+1y= 3t+1 由 ，可得 ，曲线 的直角坐标方程为y= 3(x-1)+1 =2cos1-cos2 2(1-
25、cos2)=2cos Cy2=2x（2）直线的倾斜角为 ，直线的倾斜角也为 ，又直线过点 ，3 3 M(2,0)直线的参数方程为 (为参数)，x=2+12ty=32t 将其代入曲线 的直角坐标方程可得 ，C 3t2-4t-16=0设点 ， 对应的参数分别为 ， A B t1 t2由一元二次方程的根与系数的关系知 ， t1t2=-163 t1+t2=43 |MA|MB|=16315【点睛】极坐标与直角坐标之间的转化： ， .=x2+y2 x=cos,y=sin直线的参数方程中注意参数的几何意义.23.已知函数 f(x)=|x|+|x1|（1）解不等式 ；f(x)3（2）若 ，求 的取值范围f(x)+f(y)2 x+y【答案】 （1） ；（2） (,12,+) 0,2【解析】【分析】（1）分类讨论取绝对值后再代入不等式求解；（2）利用绝对值不等式性质求解.【详解】 （1）当 时，原不等式化为 ，解得 ，结合 ，得 当 时，原不等式化为 ，无解当 时，原不等式化为 ，解得 ，结合 ，得 综上，原不等式的解集为 ；（2） ，即 ，又 ， ， ，且 ， ， ， 【点睛】 （1）解含有两个绝对值的不等式常采用零点分段法先分类讨论去绝对值再求解.（2）绝对值不等式基本形式： ; .
