1、- 1 -线段的垂直平分线一课一练基础闯关题组 线段垂直平分线的性质和判定的应用1.(2017永州模拟)如图,在ABC 中,AB=AC,BAC=100,AB 的垂直平分线 DE 分别交 AB,BC 于点 D,E,则BAE= ( )A.80 B.60 C.50 D.40【解析】选 D.AB=AC,BAC=100,B=C=(180-100)2=40,DE 是 AB 的垂直平分线,AE=BE,BAE=B=40.2.如图,等腰ABC 中,AB=AC,AD 平分BAC,点 C 在 AE 的垂直平分线上,若 DE=10cm,则 AB+BD=_cm.世纪金榜导学号 10164024【解析】AB=AC,AD
2、平分BAC,BD=CD,又点 C 在 AE 的垂直平分线上,AB+BD=AC+CD=EC+CD=DE=10cm.答案:103.如图,在ABC 中,C=31,ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,如果 DE 垂直平分 BC,那么A=_.【解析】在ABC 中,C=31,ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,DBE= ABC= (180-31-A)= (149-A),12 12 12- 2 -DE 垂直平分 BC,BD=DC,DBE=C,DBE= (149-A)=C=31,A=87.12答案:874.(2017松江区一模)如图,在 RtABC 中,ACB=90,BC=3,AC=4,AB
3、的垂直平分线 DE 交 BC 的延长线于点 E,则 CE 的长为_.【解析】设 CE=x,连接 AE,DE 是线段 AB 的垂直平分线,AE=BE=BC+CE=3+x,在 RtACE 中,AE 2=AC2+CE2,即(3+x) 2=42+x2,解得 x= .76答案:765.(2017门头沟区一模)如图,在ABC 中,BD 是ABC 的平分线,EF 垂直平分 BD.求证:ABDF. 世纪金榜导学号 10164025【证明】EF 垂直平分 BD,FB=FD,FBD=BDF,BD 是ABC 的平分线,ABD=FBD,- 3 -ABD=BDF,ABDF.6.已知:如图,在ABC 中,C=90,A=3
4、0,BD 平分ABC 交 AC 于 D.求证:D 在 AB 的垂直平分线上.【证明】C=90,A=30,ABC=60.又BD 平分ABC,DBA= ABC=30=A.BD=AD,12D 在 AB 的垂直平分线上.题组 作线段的垂直平分线1.如图,在ABC 中,B=55,C=30,分别以点 A 和点 C 为圆心,大于 AC 的长为半径画弧,两弧相交于12点 M,N,作直线 MN,交 BC 于点 D,连接 AD,则BAD 的度数为 ( )A.65 B.60 C.55 D.45【解析】选 A.由题意可得:MN 是 AC 的垂直平分线,则 AD=DC,故C=DAC,C=30,DAC=30,B=55,B
5、AC=95,BAD=BAC-DAC=65.2.(2017河南模拟)如图,在 RtABC 中,C=90,AC=4,BC=3,点 D 是 AC 的中点,连接 BD,按以下步骤作图:分别以 B,D 为圆心,大于 BD 的长为半径作弧,两弧相交于点 P 和点 Q;作直线 PQ 交 AB 于点 E,交12BC 于点 F,则 BF 为 世纪金榜导学号 10164026( )- 4 -A. B.1 C. D.56 136 52【解析】选 C.连结 DF,由作法得 EF 垂直平分 BD,则 BF=DF,点 D 是 AC 的中点,CD= AC=2,12设 BF=x,则 DF=x,CF=3-x,在 RtDCF 中
6、,2 2+(3-x)2=x2,解得 x= ,136即 BF= .1363.为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点 P,使 P 到该镇所属 A 村、B 村、C 村的距离都相等(A,B,C 不在同一直线上,地理位置如图所示),请你用尺规作图的方法确定点 P 的位置.要求:不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹.【解析】如图所示:- 5 -4.(2017玉林一模)如图,已知 RtABC 中,C=90,A=30,AB=4. 世纪金榜导学号 10164027(1)作 AC 边上的垂直平分线 DE,交 AC 于点 D,交 AB 于点 E(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法和证明).
7、(2)连接 CE,求BEC 的周长.【解析】(1)如图,DE 为所作.(2)BCA=90,A=30,AB=4.BC= AB=2,12DE 垂直平分 AC,EC=EA,BEC 的周长=BE+EC+BC=BE+EA+BC=AB+BC=4+2=6.(2017山亭区期中)如图,在ABC 中,DE 是 AC 的垂直平分线,AC=6cm,且ABD 的周长为 13cm,则ABC 的周长为 ( )A.13cm B.19cm C.10cm D.16cm【解析】选 B.DE 是 AC 的垂直平分线,AD=DC,- 6 -ABD 的周长为 13cm,AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm,AC=6
8、cm,ABC 的周长为 AB+BC+AC=13cm+6cm=19cm.【母题变式】如图,在ABC 中,DE 是 AC 的垂直平分线,ABC 的周长为 19cm,ABD 的周长为 13cm,则 AE 的长为 ( )A.3cm B.6cmC.12cm D.16cm【解析】选 A.DE 是 AC 的垂直平分线,AD=DC,AE=CE= AC,12ABC 的周长为 19cm,ABD 的周长为 13cm,AB+BC+AC=19cm,AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm,AC=6cm,AE=3cm.变式一如图,在 RtABC 中,C=90,ACBC.斜边 AB 的垂直平分线交边 BC
9、于点 D.若 BD=5,CD=3,则ACD 的周长是 ( )A.7 B.8 C.12 D.13【解析】选 C.DE 是 AB 的垂直平分线,AD=BD=5,又 CD=3,由勾股定理得,AC= =4,A22ACD 的周长=AC+CD+AD=12.- 7 -变式二如图,ABC 中,DE 是 AC 的垂直平分线,AE=4cm,ABD 的周长为 14cm,则ABC 的周长为_cm.【解析】DE 是 AC 的垂直平分线,AE=4cm,AC=2AE=8cm,AD=DC,ABD 的周长为 14cm,AB+AD+BD=14cm,AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=14cm,ABC 的周长为 AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm.答案:22
