1、专题三 动点(面)问题,题型概述,方法指导,“动点型问题”是指图形中存在一个或多个动点,它们是在某条线段、射线或弧线上运动的,从而引起另一图形的变化,从运动变化的角度来研究、探索发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理,是一类开放性题目.对考生的观察能力和创新能力要求较高,题目的难度一般比较大,是安徽省中考试题的热点题型.预计这类题仍然是2018年中考的热点,解决这类问题的关键是动中求静,在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质.,题型概述,方法指导,1.有特殊位置点的动点问题:本类型问题中的动点往往和某些定点构成特殊
2、的位置关系,利用“三角形两边之和大于第三边”“两点之间线段最短”或“垂线段最短”等知识进行解题. 2.几何图形中的动点问题:由动点引起某一线段长度变化(自变量),通过题目中提供的其他条件表示出另一线段或某一图形面积,从而构建两者之间的函数关系,再根据函数性质解题. 3.函数图象中的动点问题:动点在某一函数图象上,当点运动到某一特殊位置时,某一线段长度或某一图形的面积达到最值,或与某些点构成一个特殊的图形;解题利用函数图象上点坐标的对应关系,用动点的坐标表示出要求图形的数量特征(如线段的长度或图形面积),再利用函数性质或方程进行求解.,类型一,类型二,类型三,类型一,类型二,类型三,类型一,类型
3、二,类型三,类型一 有特殊位置点的动点问题 例1(2016安徽安庆一模改编)如图,在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,AC=BC=2,点D是边AC的中点,点E是斜边AB上的动点,将ADE沿DE所在的直线折叠得到A1DE.连接A1B,当点E在边AB上移动时,求A1B长的最小值.分析:由图可知动点A1和定点B,D构成一个三角形,当A1位于BD上时构成一条线段,根据这种特殊位置关系可得A1BBD-A1D,在RtBCD中求出BD的长,由折叠可得A1D=AD=1,便可求出A1B长的最小值.,类型一,类型二,类型三,解:如图,连接BD,DE, 在RtBCD中,由折叠知A1DEADE, 所以A1D=AD
4、=1.,类型一,类型二,类型三,类型二 图形中的动点问题 例2(2018合肥四十五中一模)如图(1),已知正方形ABCD,E是线段BC上一点,N是线段BC延长线上一点,以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG.,图(1) 图(2) (1)连接GD,求证:DG=BE; (2)连接FC,求FCN的度数;,类型一,类型二,类型三,(3)如图(2),将图(1)中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=m,BC=n(m、n为常数),E是线段BC上一动点(不含端点B、C),以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD上.判断当点E由B向C运动时,FCN的大小是否总保持不变?若FCN的
5、大小不变,请用含m、n的代数式表示tanFCN的值;若FCN的大小发生改变,请画图说明.,类型一,类型二,类型三,(1)证明:四边形ABCD和四边形AEFG是正方形, AB=AD,AE=AG,BAD=EAG=90, BAE+EAD=DAG+EAD, BAE=DAG, BAEDAG. DG=BE.,类型一,类型二,类型三,(2)解:作FHBN于H, AEF=ABE=90, BAE+AEB=90,FEH+AEB=90, FEH=BAE, 又AE=EF,EHF=EBA=90, EFHAEB, FH=BE,EH=AB=BC, CH=BE=FH, FCN=CFH= (180-FHC). FHC=90,
6、FCN=45.,类型一,类型二,类型三,(3)解:当点E由B向C运动时,FCN的大小总保持不变, 理由如下: 作FHBN于H, 由已知可得EAG=BAD=AEF=90, 结合(1)(2)得FEH=BAE=DAG, 又G在射线CD上, GDA=EHF=EBA=90, EFHAGD,EFHAEB, EH=AD=BC=n,CH=BE,类型一,类型二,类型三,类型三 函数图象中的动点问题 例3(2016安徽,22)见正文P39例1,1,2,3,4,1.(2018天津)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是 ( D )A
7、.AB B.DE C.BD D.AF,1,2,3,4,解析:本题考查正方形的性质,轴对称的性质,取CD中点E连接AE、PE,根据正方形是轴对称图形,可得EP=EP,AF=AE,结合图形由线段构成公理可得AE为AP+EP的最小值,进而可得结果. 取CD中点E连接AE、PE,由正方形的轴对称性质,可知EP=EP,AF=AE,AP+EP=AP+EP,AP+EP最小值是AE,即AP+EP最小值是AF.故选D.,1,2,3,4,2.(2018山东烟台)如图,矩形ABCD中,AB=8 cm,BC=6 cm,点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿ADC方向匀速运动,同时点Q从点A出发,以2 cm/s的速度沿
8、ABC方向匀速运动,当一个点到达点C时,另一个点也随之停止.设运动时间为t(s),APQ的面积为S(cm2),下列能大致反映S与t之间函数关系的图象是( A ),1,2,3,4,解析:由题意得:AP=t,AQ=2t, 当0t4时,Q在边AB上,P在边AD上,如图1,1,2,3,4,3.(2018四川攀枝花)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形内部有,1,2,3,4,解析:设PAB中AB边上的高是h,动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上,如图,作点A关于直线l的对称点A,连接AA,BA,则BA即为所求的最短距离. 在RtABA中,AB=4,AA=2+2=4,1,2,3,4,
9、4.(2018合肥高新区模拟)如图,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4).矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.(1)求该抛物线所对应的函数关系式; (2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从如图所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0t3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).,1,2,3,4,设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.,解:(1)因所求抛物线的顶点
10、M的坐标为(2,4),故可设其关系式为y=a(x-2)2+4, 又抛物线经过O(0,0), 得a(0-2)2+4=0,解得a=-1. 所求函数关系式为y=-(x-2)2+4,即y=-x2+4x. (2)点P不在直线ME上.根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4,0), 又M的坐标为(2,4),1,2,3,4,所以直线ME的关系式为y=-2x+8.,S存在最大值.理由如下: 点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上, OA=AP=t. 点P,N的坐标分别为(t,t),(t,-t2+4t), AN=-t2+4t(0t3), AN-AP=(-t2+4t)-t=-t2+3t=t(3-t)0, PN=-t2+3t.,1,2,3,4,()当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形,此三角形的高为AD,()当PN0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形, PNCD,ADCD,说明:()中的关系式,当t=0和t=3时也适合.,
