1、第4课时 导数与函数的零点,考点一 判断零点的个数,【例1】 (2019合肥质检)已知二次函数f(x)的最小值为4，且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3，xR.(1)求函数f(x)的解析式；,解 (1)f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3，xR， 设f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a，且a0. f(x)minf(1)4a4，a1. 故函数f(x)的解析式为f(x)x22x3.,令g(x)0，得x11，x23.,当x变化时，g(x)，g(x)的取值变化情况如下表：,当0x3时，g(x)g(1)40，,又因为g(x)在(3，)上单调递增， 因而g(x)在
2、(3，)上只有1个零点， 故g(x)仅有1个零点.,规律方法 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)构建函数g(x)(要求g(x)易求，g(x)0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数. (2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.,(1)证明：函数h(x)f(x)g(x)在区间(1，2)上有零点； (2)求方程f(x)g(x)的根的个数，
3、并说明理由.,所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点.,而h(0)0，则x0为h(x)的一个零点. 又h(x)在(1，2)内有零点，,因此h(x)在0，)上至少有两个零点.,当x(0，)时，(x)0，因此(x)在(0，)上单调递增， 易知(x)在(0，)内至多有一个零点， 即h(x)在0，)内至多有两个零点， 则h(x)在0，)上有且只有两个零点， 所以方程f(x)g(x)的根的个数为2.,考点二 已知函数零点个数求参数的取值范围 【例2】 函数f(x)axxln x在x1处取得极值.,(1)求f(x)的单调区间； (2)若yf(x)m1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.,解
4、(1)函数f(x)axxln x的定义域为(0，). f(x)aln x1，因为f(1)a10，解得a1， 当a1时，f(x)xxln x，即f(x)ln x，令f(x)0，解得x1； 令f(x)0，解得0x1. 所以f(x)在x1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0，1).,(2)yf(x)m1在(0，)内有两个不同的零点，可转化为yf(x)与ym1图象有两个不同的交点. 由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，f(x)minf(1)1，,由题意得，m11， 即m2， 当0e时，f(x)0. 当x0且x0时，f(x)0； 当x时，显然f
5、(x). 由图象可知，m10，即m1， 由可得2m1. 所以m的取值范围是(2，1).,规律方法 与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.,解 (1)由题意知，函数f(x)的定义域为R， 又f(0)1a2，得a1， 所以f(x)exx1，求导得f(x)ex1. 易知f(x)在2，0上单调递减，在0，1上单调递增， 所以当x0时，f(x)在2，1上取得最小值2.,(2)由(1)知f(x)exa，由于ex0， 当a0时，f(x)0
6、，f(x)在R上是增函数， 当x1时，f(x)exa(x1)0；,【训练2】 已知函数f(x)exaxa(aR且a0).,(1)若f(0)2，求实数a的值，并求此时f(x)在2，1上的最小值； (2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围.,所以函数f(x)存在零点，不满足题意. 当a0，f(x)单调递增， 所以当xln(a)时，f(x)取最小值. 函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0. 综上所述，所求实数a的取值范围是(e2，0).,考点三 函数零点的综合问题 【例3】 设函数f(x)e2xaln x.,(1)讨论f(x
7、)的导函数f(x)零点的个数；,当a0时，f(x)0，f(x)没有零点；,所以f(x)在(0，)上单调递增.,(2)证明 由(1)，可设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0， 当x(0，x0)时，f(x)0. 故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增， 所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).,故当a0时，f(x)存在唯一零点.,规律方法 1.在(1)中，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，从而f(x)在(0，)上至多有一个零点，问题的关键是找到b，使f(b)0.,【训练3】 (2018东北三省四校联考)已知函数f(x)ln xxm(m2，m为常数).,当
8、x(0，1)时，f(x)0，所以yf(x)在(0，1)递增； 当x(1，)时，f(x)0，所以yf(x)在(1，)上递减.,(2)证明 由(1)知x1，x2满足ln xxm0，且01， ln x1x1mln x2x2m0， 由题意可知ln x2x2m2ln 22.,思维升华 1.解决函数yf(x)的零点问题，可通过求导判断函数图象的位置、形状和发展趋势，观察图象与x轴的位置关系，利用数形结合的思想方法判断函数的零点是否存在及零点的个数等. 2.通过等价变形，可将“函数F(x)f(x)g(x)的零点”与“方程f(x)g(x)的解”问题相互转化. 易错防范函数yf(x)在某一区间(a，b)上存在零点，必要时要由函数零点存在定理作为保证.,
