1、1专项突破练 4 切线的性质与判定问题1.(2018浙江湖州)如图,已知 ABC的内切圆 O与 BC边相切于点 D,连接 OB,OD.若 ABC=40,则 BOD的度数是 . 答案 70解析 ABC的内切圆 O与 BC边相切于点 D,OB 平分 ABC,OD BC, OBD= ABC= 40=20,12 12 BOD=90- OBD=70.2.(2018江苏徐州)如图, AB是 O的直径,点 C在 AB的延长线上, CD与 O相切于点 D.若 C=18,则 CDA= . 答案 126解析 连接 OD,则 ODC=90, COD=72;OA=OD , ODA= A= COD=36, CDA= C
2、DO+ ODA=90+36=126.123.(2018内蒙古包头)如图, AB是 O的直径,点 C在 O上,过点 C的切线与 BA的延长线交于点 D,点 E在 上(不与点 B,C重合),连接 BE,CE.若 D=40,则 BEC= . BC答案 115解析 连接 OC,DC 切 O于 C, DCO=90, D=40, COB= D+ DCO=130, 的度数是 130,CEB 的度数是 360-130=230,CAB2 BEC= 230=115.124.(2018湖南邵阳)如图, AB是 O的直径,点 C为 O上一点,过点 B作 BD CD,垂足为点 D,连接BC.BC平分 ABD.求证: C
3、D为 O的切线 .证明 BC 平分 ABD, OBC= DBC,OB=OC , OBC= OCB, OCB= DBC,OC BD,BD CD,OC CD,C 在 O上, CD 为 O的切线 .5.(2018甘肃定西)如图,点 O是 ABC的边 AB上一点, O与边 AC相切于点 E,与边 BC,AB分别相交于点 D、 F,且 DE=EF.(1)求证: C=90;(2)当 BC=3,sin A= 时,求 AF的长 .35(1)证明 连接 OE,BE,如图 .DE=EF , .DE=EF OBE= DBE.OE=OB , OEB= OBE. OEB= DBE,OE BC. O与边 AC相切于点 E
4、,OE AC.BC AC. C=90.(2)解 在 ABC中, C=90,BC=3,sinA= ,35AB= 5,设 O的半径为 r,则 AO=5-r,3在 Rt AOE中,sin A= ,OEOA= r5-r=35r= ,AF= 5-2 .158 158=546.(2018四川遂宁)如图,过 O外一点 P作 O的切线 PA切 O于点 A,连接 PO并延长,与 O交于C.D两点, M是半圆 CD的中点,连接 AM交 CD于点 N,连接 AC,CM.(1)求证: CM2=MNMA;(2)若 P=30,PC=2,求 CM的长 .(1)证明 O中, M点是半圆 CD的中点, , CAM= DCM.C
5、M=DM又 CMA= NMC, AMC CMN, ,即 CM2=MNMA.CMMN=AMCM(2)解 连接 OA,DM,PA 是 O的切线, PAO=90,又 P=30,OA= PO= (PC+CO),12 12设 O的半径为 r,PC= 2,r= (2+r),解得 r=2,12又 CD 是直径, CMD=90,CM=DM , CMD是等腰直角三角形, 在 Rt CMD中,由勾股定理得 CM2+DM2=CD2,即 2CM2=(2r)2=16,则 CM2=8,CM= 2 .247.(2018湖南郴州)已知 BC是 O的直径,点 D是 BC延长线上一点, AB=AD,AE是 O的弦, AEC=30
6、.(1)求证:直线 AD是 O的切线;(2)若 AE BC,垂足为 M, O的半径为 4,求 AE的长 .(1)证明 如图, AEC=30, ABC=30,AB=AD , D= ABC=30,根据三角形的内角和定理得, BAD=120,连接 OA,OA=OB , OAB= ABC=30, OAD= BAD- OAB=90,OA AD, 点 A在 O上, 直线 AD是 O的切线 .(2)解 连接 OA, AEC=30, AOC=60,BC AE于点 M,AE= 2AM, OMA=90,在 Rt AOM中, AM=OAsin AOM=4sin60=2 ,AE= 2AM=4 .3 38.(2018新
7、疆乌鲁木齐)如图, AG是 HAF的平分线,点 E在 AF上,以 AE为直径的 O交 AG于点 D,过点 D作 AH的垂线,垂足为点 C,交 AF于点 B.(1)求证:直线 BC是 O的切线;(2)若 AC=2CD,设 O的半径为 r,求 BD的长度 .5(1)证明 连接 OD,AG 是 HAF的平分线, CAD= BAD,OA=OD , OAD= ODA, CAD= ODA,OD AC, ACD=90, ODB= ACD=90,即 OD CB,D 在 O上, 直线 BC是 O的切线 .(2)解 在 Rt ACD中,设 CD=a,则 AC=2a,AD= a,连接 DE,5AE 是 O的直径,
8、ADE=90,由 CAD= BAD, ACD= ADE=90, ACD ADE, ,ADAE=ACAD即 ,a= ,5a2r= 2a5a 4r5由(1)知: OD AC, ,即 ,BDBC=ODAC BDBD+a=r2aa= ,解得 BD= r.4r5 439.(2018湖南娄底)如图, C、 D是以 AB为直径的 O上的点, ,弦 CD交 AB于点 E.AC=BC(1)当 PB是 O的切线时,求证: PBD= DAB;(2)求证: BC2-CE2=CEDE;(3)已知 OA=4,E是半径 OA的中点,求线段 DE的长 .(1)证明 AB 是 O的直径, ADB=90,即 DAB+ ABD=9
9、0,PB 是 O的切线, ABP=90,即 PBD+ ABD=90,6 DAB= PBD.(2)证明 A= C, AED= CEB, ADE CBE, ,即 DECE=AEBE,DEBE=AECE如图,连接 OC,设圆的半径为 r,则 OA=OB=OC=r,则 DECE=AEBE=(OA-OE)(OB+OE)=r2-OE2, ,AC=BC AOC= BOC=90,CE 2=OE2+OC2=OE2+r2,BC2=BO2+CO2=2r2,则 BC2-CE2=2r2-(OE2+r2)=r2-OE2,BC 2-CE2=CEDE.(3)解 OA= 4,OB=OC=OA= 4,BC= =4 .OB2+OC
10、2 2又 E 是半径 OA的中点, AE=OE= 2,则 CE= =2 .OC2+OE2= 42+22 5BC 2-CE2=DECE, (4 )2-(2 )2=DE2 ,2 5 5解得 DE= .65510.(2018贵州黔西南)如图, CE是 O的直径, BC切 O于点 C,连接 OB,作 ED OB交 O于点 D,BD的延长线与 CE的延长线交于点 A.(1)求证: AB是 O的切线;(2)若 O的半径为 1,tan DEO= ,tan A= ,求 AE的长 .214(1)证明 连接 OD,如图 .7ED OB, 1 =4,2 =3,OD=OE , 3 =4, 1 =2 .在 DOB与 COB中, OD=OC, 1= 2,OB=OB, DOB COB(SAS), ODB= OCB,BC 切 O于点 C, OCB=90, ODB=90,AB 是 O的切线 .(2)解 DEO=2, tan DEO=tan2 = ,BCOC= 2 O的半径为 1,OC=1,BC= ,2tan A= ,BCAC=14AC= 4BC=4 ,2AE=AC-CE= 4 -2.28
