1、1第四章 图形的相似*5 相似三角形判定定理的证明素材一 新课导入设计情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣情景导入 (1)观察并思考，用叠合法证明如图 451 所示两个风筝图形相似图 451(2)相似三角形的判定方法有哪些？说明与建议 说明：利用学生感兴趣的动画演示开始本节课的学习和探讨，更有助于培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣建议：通过让学生寻找身边形状相同的三角形，来理解相似三角形的特征，并寻求相似的判定方法，为本节课的学习做好铺垫复习导入 回答下列问题：问题 1：相似三角形的定义是什么？问题 2：相似三角形的判定方法有哪些？
2、说明与建议 说明：一是巩固所学内容，由浅入深，激发学生的学习兴趣；二是为新课的学习做好铺垫通过学生回顾复习已得结论，激发学生的学习兴趣建议：问题由学生口答完成，其他学生矫正完成后教师引导学生，从而引入新课引导性语言：通过复习，我发现你们掌握得很好今天这节课，我们一起对三角形相似的条件进行证明素材二 考情考向分析命题角度 1 利用相似三角形的性质求边长相似三角形的对应角相等、对应边成比例，根据相似三角形边的对应关系可以求边长例 毕节中考 如图 452，在ABC 中，AE 交 BC 于点D，CE，ADDE35，AE8，BD4，则 DC 的长等于( A)图 452A. B. C. D.154 125
3、 203 174命题角度 2 利用相似的判定证明相似2两个三角形相似的判定有三条：两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例在证明两个三角形相似时，要根据题目所给的已知条件灵活选择判定方法例 益阳中考 如图 453，在ABC 中，ABAC，BDCD，CEAB 于点 E.求证：ABDCBE.图 453答案：略命题角度 3 证明两三角形相似并解决综合问题根据题目寻找条件证明两个三角形相似，并能利用相似来解决动点问题解决此类问题的关键是要注意分情况讨论这要求学生对于证明三角形相似的判定理解透彻，能从题目中分析出不同的对应关系例 武汉中考 如图 454，在 RtABC 中，ACB90，AC6 cm
4、，BC8 cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 5 cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 4 cm 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒(0t2)(1)如图，连接 PQ，若BPQ 与ABC 相似，求 t 的值；(2)如图，连接 AQ，CP，若 AQCP，求 t 的值；(3)试证明 PQ 的中点在ABC 的一条中位线上图 454解：(1)当BPQBAC 时， ，BP5t，QC4t，AB10 cm，BC8 cm，BPBA BQBC ，t1；5t10 8 4t8当BPQBCA 时， ， ，BPBC BQBA 5t8 8 4t10t
5、 .t1 或 t 时，BPQ 与ABC 相似3241 3241图 4553(2)如图 455 所示，过点 P 作 PMBC 于点 M，设 AQ，CP 交于点 N，则有PB5t，PMPB sinB3t，BM4t，MC84t.NACNCA90，PCMNCA90，NACPCM 且ACQPMC90，ACQCMP， ， ，解得 t .ACCM CQMP 68 4t 4t3t 78(3)如图 456，仍有 PMBC 于点 M，PQ 的中点设为 D 点，再作 PEAC 于点E，DFAC 于点 F.图 456ACB90，DF 为梯形 PECQ 的中位线，DF .PE QC2QC4t，PE8BM84t，DF 4
6、.8 4t 4t2BC8，过 BC 的中点 R 作直线平行于 AC，RCDF4 成立，点 D 在过点 R 的中位线上，PQ 的中点在ABC 的一条中位线上命题角度 4 利用相似求最值求最值的基本思路是利用两点之间线段最短能够利用对称的性质找到动点的位置，再利用相似等知识解决问题例 天津中考 如图 457，在平面直角坐标系中，已知点 A(2，0)，B(0，4)，点 E 在 OB 上，且OAEOBA.(1)如图，求点 E 的坐标(2)如图，将AEO 沿 x 轴向右平移得到AEO，连接 AB，BE.设 AAm，其中 0m2，试用含 m 的式子表示 AB 2BE 2，并求出使AB 2BE 2取得最小值
7、时点 E的坐标；当 ABBE取得最小值时，求点 E的坐标(直接写出结果即可)图 4574图 458解：(1)点 A(2，0)，B(0，4)，OA2，OB4.OAEOBA，EOAAOB90，OAEOBA， ，OAOB OEOA即 ，解得 OE1，点 E 的坐标为(0，1)24 OE2(2)如图 458，连接 EE.由题设知 AAm(0m2)，则 AO2m.在 RtABO 中，由 AB 2AO 2BO 2，得 AB 2(2m) 24 2m 24m20.AEO是由AEO 沿 x 轴向右平移得到的，EEAA，且 EEAA，BEE90，EEm.又BEOBOE3，在 RtBEE 中，BE 2EE 2BE
8、2m 29，AB 2BE 22m 24m292(m1) 227.当 m1 时，AB 2BE 2可以取得最小值，此时，点 E的坐标是(1，1)如图 458，过点 A 作 ABx 轴，并使 ABBE3.易证ABAEBE，BABE，ABBEABBA.当点 B，A，B在同一条直线上时，ABBA最小，即此时 ABBE取得最小值易证ABAOBA， ， ，而 AO2，AAOA ABOB 34 AAAO 37AA 2 ，EEAA ，点 E的坐标是 .37 67 67 (67， 1)素材三 教材习题答案P102 习题 4.91 如图，在等边三角形 ABC 中， D， E， F 分别是三边上的点， AE BF C
9、D，那么ABC 与 DEF 相似吗？请证明你的结论解：相似提示：利用两角分别相等的两个三角形相似证明2已知：如图， ，求证： AB AE.ADAC DEAB AEBC提示：先用三边成比例证 ABC DEA，得到一对角相等，再用等角对等边得证3已知：如图，在 ABC 中， D 是边 AC 上的一点， CBD 的平分线交 AC 于点 E，且AE AB.求证： AE2 ADAC.5证明： BE 平分 CBD， DBE CBE. AE AB， ABE AEB.又 ABE ABD DBE, AEB C CBE， ABD C. ABD C， A A， ABD ACB， ，ABAD ACAB即 ABAB A
10、DAC. AE AB， AE2 ADAC.4如图，在 ABC 中， AB8 cm， BC16 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 边运动，速度为 2 cm/s；动点 Q 从点 B 开始沿 BC 边运动，速度为 4 cm/s.如果 P， Q 两动点同时运动，那么何时 QBP 与 ABC 相似？解：设运动时间为 t s， AP2 t， BP82 t, BQ4 t. B B，当 时， BPQ BAC，BPAB BQBC此时， ，8 2t8 4t16解得 t2；当 时， BPQ BCA，BPBC BQBA此时， ，8 2t16 4t8解得 t0.8.0.8 s 或 2 s 后 PBQ 和 ABC
11、相似素材四 图书增值练习专题 相似三角形判定定理的证明“两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似”，如图，已知（ABDE），A=D，求证：ABCDEF.请利用转化的数学思想，通过添6设辅助线，将未知的判定方法转化为前面已经学过的方法（即已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似）请利用上述方法完成这个定理的证明【方法技巧】解题的关键是正确作出辅助线构造平行线或全等三角形答案：证明：在 AB 上截取 AG=DE，作 GHBC，AGHABC，AG=DE，AH=DF，A=D，AGHDEF，ABCDEF素材五 数学素养提升自相似下图看上去很特别图中画些什么呢？7首先看到，在图的右边醒目位置，画了
12、一个女孩她正站在画板前面，神采奕奕，提笔作画（这是第一个女孩）其次看到，女孩在画中所表现的，是她自己正在绘画的情形所以她的画中有一位和她一模一样的女孩，正在摆着与她同样的姿势，站在画板前面，提笔作画（这是第二个女孩）女孩画中的女孩，所画的当然也是她自己正在绘画的情形所以，在画中女孩的画里，也有一位一模一样的女孩，以同样的姿势，正在作画（这是第三个女孩）画中女孩画中的女孩，画的还是同样的画。所以，在画中女孩画中女孩的画里，同样有一个一模一样的女孩，以同样的姿势，正在作同样的画（这是第四个女孩）在绘制同一幅图形的过程中，如果下一步产生的图形总是与上一步的图形相似，那么这种现象叫做自相似上图就是一幅自相似的图形只要有足够细的笔，这种自相似的过程可以任意继续表现下去起初，自相似现象偶尔被应用于广告或宣传画，用来吸引行人停足观看后来发现，自然界中其实存在很多自相似现象例如雪花的形成、树木的生长、土地干旱形成的地面裂纹等等有一门新兴的数学分支，叫做分形几何学，对自相似图形进行了富有成效的研究
