1、1河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十二2019 年 2 月 13 日 1、选择题1若 l1， l2， l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A l1 l2， l2 l3l1 l3 B l1 l2， l2 l3l1 l3C l1 l2 l3l1， l2， l3共面 D l1， l2， l3共点 l1， l2， l3共面2用 m， n 表示两条不同的直线， 表示平面，则下列命题正确的是( )A若 m n， n ，则 m B若 m ， n ，则 m nC若 m n， n ，则 m D若 m ， n ，则 m n3已知四棱锥 P ABCD 的底面为直角梯形， AD BC， BCD90，
2、 PA PB， PC PD，则下列结论正确的是( )A CD PD B面 PAB面 PCD C面 PAB面 ABCD D面 PCD面 ABCD4.如图，等边三角形 ABC 的边长为 4， M， N 分别为 AB， AC 的中点，沿 MN 将 AMN 折起，使得平面 AMN 与平面 MNCB 所成的二面角为 30，则四棱锥 AMNCB 的体积为( )A. B C. D332 32 35设 a， b 是异面直线，则以下四个结论：存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相垂直的平面；存在分别经过直线 a 和 b 的两个平行平面；经过直线 a 有且只有一个平面垂直于直线 b；经过直线 a 有且只有一个平
3、面平行于直线 b，其中正确的个数有( )A1 B2 C3 D46 已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为( )A B C D334 233 324 327.如图,在多面体 ACBDE 中, BD AE,且 BD=2,AE=1,F 在 CD 上,要使 AC平面 EFB,则 的值为( )A.3 B.2 C.1 D.8 在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为棱 CC1的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为( )A B C D22 32 52 72二、填空题9将边长为 a 的正方形沿对角线 BC 折叠成三棱锥 ABCD
4、，折后 AD a，则二面角ABCD 的大小为_210.ABC 是边长为 6 的等边三角形,P 为空间一点,PA=PB=PC,P 到平面 ABC 距离为 ,则 PA 与平面 ABC 所成角的正弦值为 . 三、解答题11 如图,在矩形 ABCD 中,AB=2AD,E 为 AB 的中点,N 为 BC 的中点,沿 DE 将ADE 折起.(1)若平面 ADE平面 BCDE,求证:AB=AC;(2)若 AB=AC,求证:平面 ADE平面 BCDE.12如图，在直角梯形 ABCD 中， AD BC， BAD ， AB BC AD a， E 是 AD 的中点， 2 12O 是 AC 与 BE 的交点将 ABE
5、 沿 BE 折起到图中 A1BE 的位置，得到四棱锥 A1 BCDE.(1)证明： CD平面 A1OC；(2)当平面 A1BE平面 BCDE 时，四棱锥 A1 BCDE 的体积为 36 ，求 a 的值213如图，在四棱锥 P ABCD 中， AD平面PDC， AD BC， PD PB， AD1， BC3， CD4， PD2.(1)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值；(2)求证： PD平面 PBC；(3)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十二答案1. 当 l1 l2， l2 l3时， l1也可能与 l3相交或异面，故 A 不正确；l1 l2，
6、 l2 l3l1 l3，故 B 正确；当 l1 l2 l3时， l1， l2， l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故 C 不正确； l1， l2， l3共点时， l1， l2， l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故 D 不正确32. D 若 m n， n ，则 m 或 m ，故排除 A；若 m ， n ，则 m n 或 m， n 异面，故排除 B；若 m n， n ，则不能得出 m ，例如， m n， n ， m ，则 m 与 不垂直，故排除 C.故选 D.3.解析 分别取 AB， CD 中点 E， F，连接 PE， PF， EF，则 PF CD， EF CD. CD面PEF.
7、CD PE.又 PE AB， PE面 ABCD.面 PAB面 ABCD.4.解析：如图，作出二面角 AMNB 的平面角 AED， AO 为 AED 底边 ED 上的高，也是四棱锥 AMNCB 的高由题意，得 AO .V 3 .答案：A32 13 32 3 325.对于，可对在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断正确；对于，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断正确；对于，当这两条直线不垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断错误；对于，假设过直线 a 有两个平面 ， 与直线 b 平行，则面 ， 相交于直线 a，过直线 b 做一平面 与面 ，
8、相交于两条直线 m， n 都与直线 b 平行，可得 a 与 b 平行，所以假设不成立，所以正确，故选 C6.解析 根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD A1B1C1D1中，平面 AB1D1与线 AA1， A1B1， A1D1所成的角是相等的所以平面 AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的同理平面 C1BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面 AB1D1与 C1BD 中间且过棱的中点的正六边形，且边长为 ，所以其面积为 S6 ( )2 ，故22 34 22 334选 A7.连接 AD 交 BE 于点
9、O,连接 OF,因为 AC平面 EFB,平面 ACD平面 EFB=OF,所以AC OF.所以 .又因为 BD AE,所以 EOA BOD,所以 DF/FC=2.8.解析 在正方体 ABCD A1B1C1D1中， CD AB，所以异面直线 AE 与 CD 所成角为 EAB，设正方体边长为 2a，则由 E 为棱 CC1的中点，可得 CE a，所以 BE a5则 tan EAB .故选 CBEAB 5a2a 529.解析：取 BC 的中点 O，连接 OA， OD，则 OA BC， OD BC，则 AOD 为二面角ABCD 的平面角由题设可知 OA OD a，22 OA2 OD2 AD2， AOD90
10、.10 解析:过 P 作底面 ABC 的垂线,垂足为 O,连接 AO 并延长交 BC 于 E,因为 P 为边长为 6 的正三角形 ABC 所在平面外一点且 PA=PB=PC,P 到平面 ABC 距离为 ,所以 O 是三角形 ABC 的中心,且PAO 就是 PA 与平面 ABC 所成的角,因为AO= AE=2 .且 PA= ,所以 sinPAO= = = ;即 PA 与平面 ABC 所成角的正弦值为11 证明:(1)取 DE 的中点 M,连接 AM,因为在翻折前,四边形 ABCD 为矩形,AB=2AD,E 为 AB 的中点,所以翻折后 AD=AE,则 AMDE,又平面 ADE平面 BCDE,所以
11、 AM平面 BCDE,所以 AMBC,又 N 为 BC 的中点,所以 MNBC,因为 AMMN=M,所以 BC平面 AMN,所以 BCAN,又 N 为 BC 的中点,所以 AB=AC.(2)由(1)设 M 是 DE 中点,因为 N 为 BC 的中点,所以 MNDC,又 BCDC,所以 MNBC,又 AB=AC,所以 BCAN,又 MNAN=N,所以 BC平面AMN,所以 BCAM,由(1)知 AMDE,又 DE 与 BC 不平行,所以 AM平面 BCDE,又 AM平面 ADE,所以平面 ADE平面 BCDE.412(1)证明：在图中，因为 AB BC AD a， E 是 AD 的中点， BAD
12、 ，所以 BE AC.12 2即在图中， BE A1O， BE OC，又 A1O OC O，从而 BE平面 A1OC.又 CD BE，所以 CD平面 A1OC.(2)由已知，平面 A1BE平面 BCDE，且平面 A1BE平面 BCDE BE，又由(1)可得 A1O BE，所以 A1O平面 BCDE.即 A1O 是四棱锥 A1 BCDE 的高由图知， A1O AB a，平行四边形 BCDE 的面积 S BCAB a2，22 22从而四棱锥 A1 BCDE 的体积为 V SA1O a2 a a3.13 13 22 26由 a336 ，得 a6.26 213(1)解：如图，由已知 AD BC，故 D
13、AP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角因为 AD平面 PDC，直线 PD平面 PDC，所以 AD PD在 Rt PDA 中，由已知，得 AP AD2 PD2 5故 cos DAP 所以，异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 ADAP 55 55(2)证明：由(1)知 AD PD 又因为 BC AD，所以 PD BC又 PD PB， PB BC B 所以 PD平面 PBC(3)解：过点 D 作 DF AB，交 BC 于点 F，连接 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB与平面 PBC 所成的角因为 PD平面 PBC 所以 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影所以 DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角由于 AD BC， DF AB，故 BF AD1由已知，得 CF BC BF2又 AD DC，所以 BC DC在 Rt DCF 中，可得 DF 2CD2 CF2 5在 Rt DPF 中，可得 sin DFP PDDF 55所以，直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 555
