1、第4讲 圆,第1课时,圆的基本性质,1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、,等弧的概念.,2.探索圆周角与圆心角及其所对的弧的关系.,3.了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补.,1.如图 4-4-1，BC 是O 的直径，点 A 是O 上异于 B，C,的一点，则A 的度数为(,)图 4-4-1,A.60,B.70,C.80,D.90,答案：D,2.(2017 年重庆)如图 4-4-2，OA，OC 是O 的半径，点 B在O 上，连接 AB，BC，若ABC40，则AOC_.
2、,图 4-4-2,答案：80,3.(2017 年北京)如图 4-4-3，AB 为O 的直径，C，D 为O 上的点，ADCD.若CAB40，则CAD_.,图 4-4-3,答案：25,4.(2017 年甘肃白银)如图 4-4-4，ABC 内接于O，若,OAB32，则C_.,图 4-4-4,答案：58,5.如图 4-4-5，AB 是O 的弦，半径 OCAB 于点 D，且,AB8，OC5，则 DC_.,图 4-4-5,AD AB4.,解析：如图 D29，连接 OA.,图 D29,OCAB，,1 2,在 RtOAD 中，OA5，AD4，DCOCOD2. 答案：2,(续表),(续表),垂径定理及其应用,例
3、 1：(2017 年四川眉山)如图 4-4-6，AB 是O 的弦，半径OCAB 于点 D，且 AB8 cm，DC2 cm，则 OC_cm.,图 4-4-6,思路分析连接 OA，根据垂径定理求出 AD，根据勾股定,理 R242(R2)2 ，计算求出 R 即可.,解析：连接 OA，如图 4-4-7，OCAB，,图 4-4-7,设O 的半径为 R，由勾股定理，得 OA2AD2OD2. R242(R2)2.解得 R5.,OC5 cm.答案：5,【试题精选】1.(2016 年湖北黄石)如图 4-4-8，O 的半径为 13，弦 AB,的长度是 24，ONAB，垂足为 N，则 ON(,),图 4-4-8A.
4、5 B.7 C.9 D.11 解析：由题意，得OA13，ONA90，AB24.答案：A,2.如图 4-4-9，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，若,AB8，CD6，则 BE_.,图 4-4-9,解题技巧垂径定理及其推论是证明两线段相等、两条弧 相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长的计算中常常 需要添加辅助线(半径或弦心距).利用垂径定理及其推论(“平 分弦”为条件时，弦不能是直径)，将其转化为直角三角形，应 用勾股定理计算.,圆心角、 圆周角、弦、弧间的关系例 2：(2017 年山东青岛)如图 4-4-10，AB 是O 的直径，,),C，D，E 在O 上，若AED20，则BCD
5、 的度数为(图 4-4-10,A.100,B.110,C.115,D.120,解析：如图 4-4-11，连接 AD，BD，AED20，ABDAED20.AB 是O 的直径，ADB90.,图 4-4-11,BAD70.BCD110.答案：B,名师点评运用圆周角定理计算时，注意在同圆或等圆的前提下，同弧或相等的弧所对的圆周角相等，正确找出弧和角之间的关系是解题的关键，还要注意直径所对的圆周角是直角以及圆的内接四边形对角互补这些定理的运用.,【试题精选】3.(2016 年浙江绍兴)如图 4-4-12，BD 是O 的直径，点 A，,图 4-4-12,A.60,B.45,C.35,D.30,答案：D,图
6、 4-4-13,A.51,B.56,C.68,D.78,答案：A,5.(2017 年福建)如图 4-4-14，AB 是O 的直径，C，D 是 O 上位于 AB 异侧的两点.下列四个角中，一定与ACD 互余,的角是(,),图 4-4-14,A.ADC,B.ABD,C.BAC,D.BAD,解析：AB 是直径，ADB90.BADB90. ACDB，BADACD90.故选 D.答案：D,6.(2017 年四川自贡)如图 4-4-15，等腰三角形 ABC 内接于O，已知 ABAC，ABC30，BD 是O 的直径，如果,图 4-4-15答案：4,1.(2017 年广东)如图 4-4-16，四边形 ABCD
7、 内接于O，DA,),DC，CBE50，则DAC 的大小为(图 4-4-16,A.130,B.100,C.65,D.50,答案：C,2.(2014 年广东)如图 4-4-17，在O 中，已知半径为 5，弦,AB 的长为 8，那么圆心 O 到 AB 的距离为_.,图 4-4-17,答案：3,3.(2012 年广东)如图 4-4-18，A，B，C 是O 上的三个点，,ABC25，则AOC 的度数是_.,图 4-4-18,答案：50,4.(2016 年广东)如图 4-4-19，点 P 是四边形 ABCD 外接圆O 上任意一点，且不与四边形顶点重合，若 AD 是O 的直径，ABBCCD，连接 PA ，
8、PB，PC，若 PA a，则点 A 到PB 和 PC 的距离之和 AEAF_.图 4-4-19,5.(2015 年广东)O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，过 的中点 P 作O 的直径 PG 交弦 BC 于点 D，连接 AG，CP，PB.(1)如图 4-4-20(1)，若 D 是线段 OP 的中点，求BAC 的度 数；(2)如图 4-4-20(2)，在 DG 上取一点 K，使 DKDP，连接 CK，求证：四边形 AGKC 是平行四边形；(3)如图 4-4-20(3)，取 CP 的中点 E，连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点 H，连接 PH，求证：PHAB.,(1),(3),(2) 图
9、4-4-20,(1)解：点 P 为 的中点，AB 为O 直径，BPPC，PGBC，CDBD.ODB90.D 为 OP 的中点，,OBD30.BOD60.,AB 为O 直径，ACB90.ACBODB.ACPG.BACBOD60.,(2)证明：由(1)知，CDBD.,PDBKDC(SAS)CKBP，OPBCKD.AOGBOP，AGBP.AGCK.OPOB，OPBOBP.又GOBP.GOPB.GCKD.AGCK.四边形 AGKC 是平行四边形,(3)证明：CEPE，CDBD，DEPB，即 DHPB.GOPB，PBAG.DHAG.OAGOHD.OAOG.OAGG.ODHOHD.ODOH.,OBDOPH(SAS)OHPODB90.PHAB.,
