1、三、数形结合思想,总纲目录,应用一 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题,例1 (2018天津,14,5分)已知a0,函数f(x)= 若 关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是 .,答案 (4,8),解析 设g(x)=f(x)-ax= 方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数y=g(x)有两个零点,即y= g(x)的图象与x轴有2个交点,满足条件的y=g(x)的图象有以下两种 情况: 情况一:,则 4a8. 情况二:,则 不等式组无解. 综上,满足条件的a的取值范围是(4,8).,【技法点评】 用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对 数、根式、三角等复杂方
2、程)的解(或函数零点)的个数是一种重 要的方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉 函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函 数),然后在同一坐标系中作出这两个函数的图象,图象的交点个 数即为方程解(或函数零点)的个数.,1.函数f(x)=3-x+x2-4的零点个数是 .,答案 2,解析 求函数f(x)=3-x+x2-4的零点个数,即为求函数g(x)=x2-4与h(x) =- 的图象的交点个数,在同一直角坐标系中,函数g(x),h(x)的 图象如图所示,由图可知,h(x)与g(x)的图象有2个交点,故函数f(x)的零点个数为2 .,2.已知f(x)= 若函数y=f(
3、x)+m的图象与x轴 恰有三个不同的交点,则m的取值范围为 .,答案 -2,1),解析 f(x)= 的图象如图所示.令y=f(x)+m =0,则f(x)=-m.由图可知,当-1-m2,即-2m1时,函数y=f(x)的图 象与直线y=-m恰有三个不同的交点,故当-2m1时,函数y=f(x)+ m的图象与x轴恰有三个不同的交点.,应用二 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题,例2 (2018课标全国,12,5分)设函数f(x)= 则满足f(x+ 1) f(2x)的x的取值范围是 ( ) A.(-,-1 B.(0,+) C.(-1,0) D.(-,0),答案 D,解析 f(x)= 函数f(x)
4、的图象如图所示.由图可知,当x+10且2x0时,函数f(x)为减函数,故f(x+1)2x. 此时x-1.,当2x0时,f(2x)1,f(x+1)=1, 满足f(x+1) f(2x). 此时-1x0. 综上,不等式f(x+1)f(2x)的解集为(-,-1(-1,0)=(-,0).,【技法点评】 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图 象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,把两个 函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决,往往可以避 免烦琐的运算,获得简捷的解答.,3.若不等式|x-2a| x+a-1对xR恒成立,则a的取值范围是 .,答案,解析 作出y=|x-2a|和y=
5、 x+a-1的简图.依题意可知2a2-2a,故a .,4.若不等式 k(x+2)- 的解集为区间a,b,且b-a=2,则k=.,答案,解析 y=k(x+2)- 过定点(-2,- ),显然当k 0,分别作出直线y=k(x+2)- 与半圆y= ,如图.由题意知直线 在半圆的上方,由b-a=2,可知b=3,a=1,所以直线y=k(x+2)- 过点 (1,2 ),则k= .,应用三 利用数形结合思想解决解析几何问题,例3 (2018课标全国,12,5分)已知F1,F2是椭圆C: + =1(ab 0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为 的直线上, PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120
6、,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 D,解析 本题考查直线方程和椭圆的几何性质. 由题意易知直线AP的方程为y= (x+a), 直线PF2的方程为y= (x-c). 联立得y= (a+c), 如图,过P向x轴引垂线,垂足为H,则PH= (a+c).,因为PF2H=60,PF2=F1F2=2c,PH= (a+c), 所以sin 60= = = , 即a+c=5c,即a=4c,所以e= = .故选D.,【技法点评】 根据几何意义利用数形结合法解决问题需要熟 悉常见的代数形式,主要有:比值可考虑直线的斜率;二 元一次式可考虑直线的截距;含根式的分式可考虑点 到直线的距离;根式可考
7、虑两点间的距离.,5.若实数x,y满足不等式组 则x2+y2的最小值是 ( )A.25 B.5 C.4 D.1,答案 B 在平面直角坐标系中画出不等式组 所表 示的平面区域,如图阴影部分所示,x2+y2的最小值即表示阴影部分 (包含边界)中的点与原点的距离的最小值的平方.由图可知直线x -y+1=0与直线x=1的交点(1,2)到原点最近,故x2+y2的最小值为12+2 2=5.故选B.,6.已知点P是直线l:3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1 =0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值 为 .,答案 2,解析 从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方 或右下方无穷远处运动时,SRtPAC= |PA|AC|= |PA|越来越大,从 而S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动 时,S四边形PACB变小,显然,当点P到达一个最特殊的位置,即CP垂直于 直线l时,S四边形PACB应有唯一的最小值, 此时|PC|= =3, 从而|PA|= =2 . 所以(S四边形PACB)min=2 |PA|AC|=2 .,
