1、1第四讲数学归纳法证明不等式一、复习目标掌握数学归纳法证明问题的基本思路二、课时安排1 课时三、复习重难点掌握数学归纳法证明问题的基本思路四、教学过程（一）知识梳理 数 学 归纳 法 数 学 归 纳法 原 理数 学 归 纳 法应 用 举 例 整 除 问 题几 何 问 题 其 他 不 等 式 （二）题型、 方法归纳归纳递推要用好归纳假设不等式证明中的强化命题从特殊到一般的数学思想方法（三）典例精讲题型一、归纳递推要用好归纳假设数学归纳法中两步缺一不可，第一步归纳奠基，第二步起到递推传递作用在第二步的证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设( n k 时命题成立)，推出 n k1时，命题成立
2、例 1 用数学归纳法证明：对于 nN ， 1() .112 123 134 nn 1【规范解答】 (1)当 n1 时，左边 ，右边 ，所以等式成立112 12 122(2)假设 n k 时等式成立，即 ，112 123 134 1kk 1 kk 1当 n k1 时， 112 123 134 1kk 1 1k 1k 2 kk 1 1k 1k 2 k2 2k 1k 1k 2，k 1k 2所以当 n k1 时，等式也成立由(1)(2)可知对于任意的自然数 n，等式都成立再练一题1数列 的前 n 项的和记为 Sn.1nn 1(1)求出 S1， S2， S3的值；(2)猜想出 Sn的表达式；(3)用数学
3、归纳法证明你的猜想【解】 (1) S1 ， S2 ， S3 .12 23 34(2)猜想： Sn .nn 1(3)证明：当 n1 时 S1 a1 ，右边 .等式成立12 12假设当 n k 时， Sk ，kk 1则当 n k1 时， Sk1 Sk ak1 1()2k2(1)k kk 1 k 1k 2()，即当 n k1 时，等式成立， Sn .nn 1题型二、不等式证明中的强化命题如果 c 为常数，用数学归纳法证明 f(n)2( n1) n.故 5)时命题成立【解析】 由题意知 n5， nN ，故应假设 n k(k5)时命题成立【答案】 C3设 n N ，则 2n与 n 的大小关系是( )A2
4、 nn B2 nn，即 2nn.【答案】 A4设 fn(x)是等比数列 1， x， x2， xn的各项和，其中 x0， nN， n2.(1)证明：函数 Fn(x) fn(x)2 在 内有且仅有一个零点(记为 xn)，且 xn x(12， 1) 12 12；n 1n(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较 fn(x)和 gn(x)的大小，并加以证明【解】 (1)证明： Fn(x) fn(x)21 x x2 xn2，则 Fn(1) n10，Fn 1 2(12) 12 (12)2 (12)n 2 0，故 Fn(x)在 内单调递增，所以 Fn(x)在
5、(12， 1)内有且仅有一个零点 xn.(12， 1)因为 xn是 Fn(x)的零点，所以 Fn(xn)0，即 20，故 xn x .1 xn 1n1 xn 12 12n 1n(2)法一：由题设， gn(x) .n 11 xn2设 h(x) fn(x) gn(x)1 x x2 xn ， x0.n 11 xn2当 x1 时， fn(x) gn(x)当 x1 时， h( x)12 x nxn1 .nn 1xn 12若 0xn1 2 xn1 nxn1 xn1 xn1 xn1 0.nn 12 nn 12 nn 12若 x1， h( x)0.n 1xn 12当 x1 时， fn(x) gn(x)当 x1 时，用数学归纳法可以证明 fn(x)0)，则 hk( x) k(k1) xk k(k1) xk1 k(k1) xk1 (x1)所以当 01 时， h k(x)0， hk(x)在(1，)上递增所以 hk(x)hk(1)0，从而 gk1 (x) .2xk 1 k 1xk k 12故 fk1 (x)gk1 (x)，即 n k1 时不等式也成立由和知，对一切 n2 的整数，都有 fn(x)gn(x)五、板书设计归纳递推要用好归纳假设不等式证明中的强化命题从特殊到一般的数学思想方法六、作业布置本课单元检测七、教学反思9
