1、13.1 二维形式的柯西不等式一、教学目标1认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义2通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题二、课时安排1 课时三、教学重点认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义四、教学难点通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题五、教学过程（一）导入新课复习基本不等式。（二）讲授新课教材整理 二维形式的柯西不等式内容 等号成立的条件代数形式若 a， b， c， d 都是实数，则(a2 b2)(c2 d2)当且仅当 时，等号成立向量形式设 ， 是两个向量，则| | | |当且仅当 ，或，等号成立三角形式设 x1， y1， x2， y2R，那么 x21 y21 x2 y2
2、 当且仅当时 ，等号成立（三）重难点精讲题型一、二维柯西不等式的向量形式及应例 1 已知 p， q 均为正数，且 p3 q32.求证： p q2.【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量【自主解答】 设 m p ， q ， n( p ， q )，则323212122p2 q2 p p q q | mn| m|n|32123212 .p3 q3 p q 2p q又( p q)22( p2 q2)， ( p2 q2 ，2p q ) ，则( p q)48( p q)2 p q又 p q0，( p q)38，故 p q2.规律总结：使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合
3、理构造出两个向量同时，要注意向量模的计算公式| a| 对数学式子变形的影响x2 y2再练一题1若本例的条件中， 把“ p3 q32”改为“ p2 q22” ，试判断结论是否仍然成立？【解】 设 m( p， q)， n(1,1)，则 p q p1 q1| mn| m|n| .p2 q2 12 12又 p2 q22. p q 2 .2 2故仍有结论 p q2 成立.题型二、 运用柯西不等式求最值例 2 若 2x3 y1，求 4x29 y2的最小值【精彩点拨】 由 2x3 y1 以及 4x29 y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(121 2)作为一个因式而解决问题【自主解答】 由柯西不等式得(
4、4 x29 y2)(121 2)(2 x3 y)21.4 x29 y2 ，12当且仅当 2x13 y1，即 x ， y 时取等号14 164 x29 y2的最小值为 .12规律总结：1利用 柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果32常用的配凑的技巧有：巧拆常数；重新安排某些项的次序；适当添项；适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的再练一题2若 3x4 y2，试求 x2 y2的最小值及最小值点.【解】 由柯西不等式( x2 y2)(324 2)(3 x4 y)2，得 25(x2 y2)4.所以 x2 y2 ，425当且仅当 时， “”成立为求最小值
5、点，需解方程组Error!Error!x3 y4因此，当 x ， y 时， x2 y2取得最小值，最小值为 ，最小值点为 .625 825 425 (625， 825)题型三、二维柯西不等式代数形式的应用例 3 已知|3 x4 y|5，求证： x2 y21.【精彩点拨】 探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明【自主解答】 由柯西不等式可知( x2 y2)(324 2)(3 x4 y)2，所以( x2 y2).3x 4y232 42又因为|3 x4 y|5 ，所以 1，3x 4y232 42即 x2 y21.规律总结：1利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结
6、构特征，必要时， 需要将数学表达式适当变形2变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口再练一题3设 a， bR 且 a b2.求证： 2.a22 a b22 b【证明】 根据柯西不等 式，有(2 a)(2 b) ( )2( )2 (a22 a b22 b) 2 a 2 b ( a2 a)2 ( b2 b)2 ( a b)24.(2 aa2 a 2 bb2 b)2 4 2，a22 a b22 b 42 a 2 b当且仅当 ，2 ab2 b 2 b a2 a即 a b1 时等号成立 2
7、.a22 a b22 b（四）归纳小结二维柯西不等式Error!（五）随堂检测1设 x， yR，且 2x3 y13，则 x2 y2的最小值为( )A. B169 C13 D.013【解析】 (2 x3 y)2(2 23 2)(x2 y2)， x2 y213.【答案】 C2已知 a， bR ，且 a b1，则( )2的最大值是( )4a 1 4b 1A2 B. C6 D.126 6【解析】 ( )24a 1 4b 1(1 1 )24a 1 4b 1(1 21 2)(4a14 b1)24( a b)22(41 2)12，当且仅当 ，4b 1 4a 1即 a b 时等号成立故选 D.12【答案】 D3平面向量 a， b 中，若 a(4，3)，| b|1，且 ab5，则向量 b_.【解析】 | a| 224+3（ -） 5，且 | b|1， ab| a|b|，因此， b 与 a 共线，且方向相同， b .(45， 35)【答案】 (45， 35)六、板书设计53.1 二维形式的柯西不等式教材整理 二维形式的柯西不等式例 1：例 2：例 3：学生板演练习七、作业布置同步练习：3.1 二维形式的柯西不等式八、教学反思
