1、第三节 导数与函数的单调性,函数的导数与单调性的关系,教材研读,考点一 利用导数判断或证明函数的单调性,考点二 利用导数求函数的单调区间,考点三 函数单调性的应用,考点突破,函数的导数与单调性的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导, (1)若f (x)0,则f(x)在这个区间内 单调递增 ; (2)若f (x)0,则f(x)在这个区间内 单调递减 ; (3)若f (x)=0,则f(x)在这个区间内是 常数函数 .,教材研读,点拨 (a)f(x)0(或f(x)0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件. (b)f(x)=0不恒成立时,f(x)0(或f(x)0)是可导函数f(
2、x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充要条件.,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f (x)0. ( ) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f (x)=0,则f(x)在此区间内没有单调 性. ( ) (3)在(a,b)内f (x)0且f (x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数. ( ),2.函数f(x)=sin x-2x在(0,)上的单调性是 ( D ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减,答案 D 在(0,)上, f (x)= cos x-20,f(x)在(0,)上单调递减,故 选D.
3、,3.函数f(x)的导函数f (x)有下列信息: f (x)0时,-12;f (x)=0时,x=-1或x=2. 则函数f(x)的大致图象是 ( C ),答案 C 根据信息知,函数f(x)在(-1,2)上是增函数,在(-,-1),(2,+)上 是减函数,故选C.,4.函数y= x2-ln x的单调递减区间为 .,答案 (0,1,解析 由题意知函数的定义域为(0,+),由y=x- 0(x0),解得0x1, 所以函数的单调递减区间为(0,1.,5.已知f(x)=x3-ax在1,+)上是增函数,则a的最大值是 .,答案 3,解析 f (x)=3x2-a,由题意知在1,+)上, f (x)0,即a3x2
4、,又x1,+) 时,3x23,a3,即a的最大值是3.,典例1 (2017课标全国,21节选)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.讨论f(x) 的单调性.,利用导数判断或证明函数的单调性,考点突破,解析 f(x)的定义域为(-,+), f (x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1). (i)若a0,则f (x)0,则由f (x)=0得x=-ln a. 当x(-,-ln a)时, f (x)0.所以f(x)在(-,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+)上单调递增.,方法技巧 用导数法判断函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 求f(x). 确定f(x
5、)在(a,b)内的符号. 得出结论,依据是f(x)0时f(x)为增函数; f(x)0时f(x)为减函数.,易错警示 研究含参数的函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影 响进行分类讨论.,1-1 已知函数f(x)=xln x,则f(x) ( D ) A.在(0,+)上递增 B.在(0,+)上递减 C.在 上递增 D.在 上递减,答案 D 因为函数f(x)=xln x,定义域为(0,+),所以f (x)=ln x+1(x0). 当f (x)0时,解得x , 即函数的单调递增区间为 ; 当f (x)0时,解得0x , 即函数的单调递减区间为 ,故选D.,1-2 已知函数g(x)=ln x
6、+ax2-(2a+1)x.若a0,试讨论函数g(x)的单调性.,解析 因为g(x)=ln x+ax2-(2a+1)x, 所以g(x)= = . 由题意知函数g(x)的定义域为(0,+), 令g(x)=0得x=1或x= , 若 ,由g(x)0得x1或0x , 由g(x)0得 x1, 即函数g(x)在 ,(1,+)上单调递增,在 上单调递减; 若 1,即00得x 或0x1, 由g(x)0或1x , 即函数g(x)在(0,1), 上单调递增, 在 上单调递减;,若 =1,即a= ,则在(0,+)上恒有g(x)0, 即函数g(x)在(0,+)上单调递增. 综上可得:当0 时,函数g(x)在 上单调递增
7、,在 上单调递减,在(1,+)上单调递增.,典例2 (2019河南开封定位考)已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,求a,b的 值; (2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.,利用导数求函数的单调区间,解析 (1)f (x)=2ax,g(x)=3x2+b. 因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,所以f(1)= g(1),且f (1)=g(1), 即a+1=1+b,且2a=3+b. 解得a=3,b=3. (2)记h(x)=f(x)+g(x).
8、 当a2=4b,即b= a2时,h(x)=x3+ax2+ a2x+1, h(x)=3x2+2ax+ a2. 令h(x)=0,得x1=- ,x2=- . a0,h(x)与h(x)的情况如下:,函数h(x)的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为.,方法技巧 求可导函数单调区间的一般步骤,2-1 已知函数f(x)= + -ln x- ,其中aR,且曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的 切线垂直于直线y= x. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间.,解析 (1)对f(x)求导得f (x)= - - , 又曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线垂直于直线y= x, 所以f (1)
9、=- -a=-2, 解得a= . (2)由(1)知f(x)= + -ln x- , 则f (x)= (x0).,令f (x)=0,解得x=-1或x=5. 因为x=-1不在f(x)的定义域(0,+)内,故舍去. 当x(0,5)时, f (x)0, 故f(x)在(5,+)内为增函数. 所以f(x)的单调减区间为(0,5),单调增区间为(5,+).,典例3 设函数f(x)= x3- x2+bx+c,曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程 为y=1. (1)求b,c的值; (2)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数 a的取值范围.,函数单调
10、性的应用,探究1 本例(2)变为:若g(x)在(-2,-1)内为减函数,求实数a的取值范围.,解析 g(x)=x2-ax+2,且g(x)在(-2,-1)内为减函数,g(x)0,即x2-ax+2 0在(-2,-1)内恒成立, 即 解得a-3.,探究2 本例(2)变为:若g(x)在(-2,-1)内不单调,求实数a的取值范围.,解析 由探究1知g(x)在(-2,-1)内为减函数时,实数a的取值范围是(-, -3. 若g(x)在(-2,-1)内为增函数,则ax+ 在(-2,-1)内恒成立,又y=x+ 在 (-2,-1)内的值域为(-3,-2 ),实数a的取值范围是-2 ,+, 函数g(x)在(-2,-
11、1)内单调时,a的取值范围是(-,-3-2 ,+, 故g(x)在(-2,-1)内不单调时,实数a的取值范围是(-3,-2 ).,方法技巧 利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 (1)由可导函数f(x)在区间a,b上单调递增(减)可知f (x)0(f (x)0)在区间a,b上恒成立,进而列出不等式. (2)利用分离参数法求解恒成立问题. (3)对等号是否成立进行单独检验,检验参数的取值能否使f (x)在整个区间上(或该区间的子区间上)恒等于0,若f (x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点(有限点)处有f (x)=0,则参数可取这个值.,3-1 已知f(x)是偶函数,导数f (
12、x)0在(0,+)上恒成立,则下列不等式成 立的是 ( B ) A.f(-3)f(-1)f(2) B.f(-1)f(2)f(-3) C.f(2)f(-3)f(-1) D.f(2)f(-1)f(-3),答案 B 函数f(x)是偶函数,f(-x)=f(x), f(-1)=f(1), f(-3)=f(3).由题易知f(x)在(0,+)上单调递增,f(1)f(2) f(3),f(-1)f(2)f(-3).故选B.,3-2 已知函数f(x)=ln x+a(1-x). (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)在(2,+)上为单调函数,求实数a的取值范围.,解析 (1)f(x)的定义域为(0,+), f (x)= -a. 若a0,则f (x)0, f(x)在(0,+)上单调递增; 若a0,则当x 时, f (x)0, 当x 时, f (x)0时, f(x)在 上单调递减,则2 ,即a .所以实数a的取值范围是(-,0,
