1、 1.2 命题与充要条件,教材研读,1.命题,3.充要条件,2.四种命题及其相互关系,考点突破,考点一 四种命题及其相互关系,考点二 充分、必要条件的判定,考点三 利用充分条件与必要条件求参数的取值范围,1.命题,教材研读,2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的关系,(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性; 两个命题互为逆命题或否命题,它们的真假性没有必然的联系.,3.充要条件 (1)若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件; (2)若pq,且q/ p,则p是q的 充分不必要 条件; (3)若qp,且p/ q,则p是q的 必要不充分 条件; (4)若pq,
2、且qp,则p是q的 充要 条件; (5)若p不能推出q,q也不能推出p,则p是q的 既不充分也不必要条件 .,一、从命题角度看:(1)“若p,则q”是真命题,那么p是q的充分条件, q是p的必要条件;(2)“若p,则q”是真命题,“若q,则p”是假命题,那么p 是q 的充分不必要条件,q是p必要不充分条件;(3)“若p,则q”,“若q, 则p”都是真命题,那么p是q的充要条件;(4)“若p,则q”,“若q,则p”都 是假命题,那么p是q的既不充分也不必要条件,q是p既不充分也不必要 条件. 二、从集合角度看:记A=x|x满足条件p,B=x|x满足条件q,(1)若AB,知识拓展,则p是q的充分条
3、件,q是p的必要条件;(2)若AB,则p是q的充分不必要条 件,q是p的必要不充分条件;(3)若A=B,则p是q的充要条件;(4)若AB,且B A,则p是q的既不充分也不必要条件.,1.若a,bR,则 的一个充要条件是 ( B ) A.ab B.ab(a-b)0 C.ab0 D.ab,解析 - 0 0ab(a-b)0,故选B.,2.已知甲:x2或y3,乙:x+y5,则甲是乙的 ( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,解析 易知命题“若x2或y3,则x+y5”的逆否命题“若x+y=5,则x=2且y=3”是假命题;命题“若x+y5,则x2或y3”
4、的逆否命题 “若x=2且y=3,则x+y=5”为真命题.所以甲是乙的必要不充分条件.,3.原命题“设a、b、cR,若ab,则ac2bc2”以及它的逆命题、否命 题、逆否命题中,真命题共有 ( C ) A.0个 B.1个 C.2个 D.4个,解析 由题意可知原命题是假命题,所以逆否命题是假命题;逆命题为“设a、b、cR,若ac2bc2,则ab”,该命题是真命题,所以否命题也 是真命题.故真命题有2个,故选C.,4.在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,则“sin Asin B”是 “ab”的 ( C ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解
5、析 设ABC外接圆的半径为R,若sin Asin B,则2Rsin A2Rsin B,即ab;若ab,则 ,即sin Asin B,所以在ABC中,“sin AsinB”是“ab”的充要条件,故选C.,5.下列命题:“ab”是“a2b2”的必要条件;“|a|b|”是“a2b 2”的充要条件;“ab”是“a+cb+c”的充要条件.其中是真命题的 是 .,解析 ab/ a2b2,且a2b2/ ab,故不正确;|a|b|a2b2,故 正确;aba+cb+c,且a+cb+cab,故正确.,四种命题及其相互关系 典例1 下列说法正确的是 .(写出所有正确说法的序号) 命题“若am2bm2,则ab”是假命
6、题; 命题“已知x,yR,若x+y3,则x2或y1”的逆否命题是真命题; 命题“正数a的平方等于0”的否命题为“正数a的平方不等于0”; 命题“若a=-1,则函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题是真命 题.,考点突破,解析 当m2=0时,ab不一定成立,正确;命题“已知x,yR,若x+y3, 则x2或y1”的逆否命题是“已知x,yR,若x=2且y=1,则x+y=3”,可 判断其逆否命题为真命题,正确;命题“正数a的平方等于0”的否命 题为“若a不是正数,则它的平方不等于0”,错误;若函数f(x)=ax2+2x-1 只有一个零点,则当a=0时,符合题意,当a0时,=4+4a=0,
7、a=-1,故逆命题为假命题,错误.,方法指导 1.已知原命题,写出它的其他三种命题,首先把原命题改写成“若p, 则q”的形式,然后找出其条件p和结论q,再根据定义写出其他命题. 逆命题:“若q,则p”;否命题:“若p,则q”;逆否命题:“若q,则p”. 对写出的命题也可简洁表述;对于含有大前提的命题,在改写命题形式 时,大前提不要动. 2.在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,可根据互 为逆否关系的命题的真假性相同进行判断.,易错警示 写一个命题的其他三种命题时,需注意: (1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; (2)当命题有大前提时,写其他三种命题时需保留大前提;
8、(3)对于有多个并列条件的命题,应把其中一个(或几个)条件作为大前 提.,1-1 下列命题中是真命题的是 ( B ) “若x2+y20,则x,y不全为零”的否命题; “正三角形都相似”的逆命题; “若m0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题; “若x- 是有理数,则x是无理数”的逆否命题. A. B. C. D.,解析 否命题为“若x2+y2=0,则x=y=0”,正确.易知不正确.中, =1+4m,当m0时,0,正确,故其逆否命题也正确.若x- 是有理数,则 x为有理数与无理数之和,故其为无理数,则其逆否命题也正确,故正 确.故选B.,典例2 设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n
9、”是“mn0”的 ( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,充分、必要条件的判定,解析 由存在负数,使得m=n,可得m、n共线且反向,夹角为180,则mn=-|m|n|0,故充分性成立.由mn0,可得m,n的夹角为钝角或180,故必要性不成立.故选A.,方法归纳 充分条件和必要条件的三种判断方法 (1)定义法:可按照以下三个步骤进行 确定条件p是什么,结论q是什么; 尝试由条件p推结论q,由结论q推条件p; 确定条件p和结论q的关系. (2)等价转化法:对于含否定形式的命题,如p是q的什么条件,利用原命 题与逆否命题具有相同的真假性,可转化为q
10、是p的什么条件.,(3)集合法:根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设A=x| p(x),B=x|q(x),若AB,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若AB, 则p是q的充分不必要条件;若A=B,则p是q的充要条件.,2-1 已知z=m2-1+(m2-3m+2)i(mR,i为虚数单位),则“m=-1”是“z为 纯虚数”的 ( C ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,解析 当m=-1时,z=1-1+(1+3+2)i=6i为纯虚数;若z为纯虚数,则 解得m=-1,所以“m=-1”是“z为纯虚数”的充分必要条 件,故选C.,2-2
11、 (2019汤溪中学月考) “n=5”是“ 的展开式中存在常 数项”的 ( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析 易知二项展开式中Tk+1= = ,要使得展开式中存在 常数项,仅需关于k的方程 =0有正整数解即可,即k= n为整数,故n 为5的正整数倍,所以“n=5”是“ 的展开式中存在常数项” 的充分不必要条件.故选A.,典例3 已知p:-2x6;q:-1+mx3+m,若p是q的必要不充分条件,则 实数m的取值范围是 ( B ) A.(-1,3) B.-1,3 C.(-,-1)(3,+) D.(-,-13,+),利用充分条件与必要条件求
12、参数的取值范围,解析 依题意有qp,但p/ q,即x|-1+mx3+mx|-2x6, 则有 或 得-1m3.故选B.,探究 本例中是否存在实数m,使得p是q的充要条件?,答案 不存在. 解析 若p是q的充要条件, 则x|-1+mx3+m=x|-2x6, 此时有 此方程组无解, 故不存在实数m使得p是q的充要条件.,方法指导 根据充要条件求解参数范围的方法 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件等转化为集合间的关 系,然后根据集合间的关系列出关于参数的不等式(组)求解. (2)求解参数的取值范围,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两 个集合间的关系求参数取值范围时,不等式是否能够取等号
13、决定端点值 的取舍,处理不当,容易出现漏解或增解的情况.,同类练 已知不等式|x-m|1成立的充分不必要条件是 x ,则m的取 值范围是 .,解析 由|x-m|1得m-1xm+1, 因为 x 是|x-m|1成立的充分不必要条件, 所以 或 解得- m .,深化练 设命题p:|4x-3|1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)0,若p是q的必 要不充分条件,则实数a的取值范围是 ( A ) A. B. C.(-,0 D.(-,0),解析 设A=x|4x-3|1,B=x|x2-(2a+1)x+a(a+1)0. 解|4x-3|1,得 x1,故A= ; 解x2-(2a+1)x+a(a+1)0,得axa+1,故B=x|axa+1. 所以p所对应的集合为RA= ,q所对应的集合为RB= x|xa+1. 由p是q的必要不充分条件,知RBRA,所以 或 解得0a . 故实数a的取值范围是 .,
