1、高考数学（浙江专用）,8.2 空间点、线、面的位置关系,考点 空间点、线、面的位置关系,考点清单,考向基础 一、空间点、线、面的位置关系 1.公理1、公理2及其推论、公理3,2.空间两条直线的位置关系,3.平行直线 平行于同一条直线的两条直线互相平行,这就是公理4.用符号表示如下: 设a、b、c为三条不同的直线,ab且bc,则ac. 4.等角定理 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的 锐角(或直角)相等.,二、异面直线及所成角的计算 1.异面直线 (1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线. (2)性质:两条异面直线既不相交又不平行. 2.两条异面直线所成的角 过空间
2、任意一点分别引两条异面直线的平行直线,那么这两条相交直线 所成的 锐角(或直角) 叫做这两条异面直线所成的角,若记这个角 为,则 .,考向突破,考向一 空间点、线、面位置关系的判定,例1 (2018浙江浙东北联盟期中,16)正四面体ABCD的棱长为6,其中AB 平面,E,F分别为线段AD,BC的中点,当正四面体以AB为轴旋转时,线 段EF在平面上的射影长的取值范围是 .,解析 如图,设AC中点为G,连接GF,GE,结合已知可得GFAB,在正四 面体中,有ABCD,又GECD,GEGF,EF2=GE2+GF2,当四面体以 AB为轴旋转时,GF平面,GE与GF的垂直关系保持不变,当CD与 平面垂直
3、时,GE在平面上的射影长最短,为0,此时EF在平面上的射 影E1F1的长取得最小值3,当CD与平面平行时,GE在平面上的射影长 取得最大值3,E1F1取得最大值3 ,所以线段EF在平面上的射影长的取 值范围是3,3 .,答案 3,3 ,考向二 异面直线所成的角,例2 (2018浙江9+1高中联盟期中,9)已知PABC是正四面体(所有棱长 都相等的四面体),E是PA中点,F是BC上靠近点B的三等分点,设EF与 PA、PB、PC所成角分别为、,则 ( )A. B. C. D.,解析 分别取AB中点G,AC中点H,连接GE,GF,EH,FH,AF,如图所示,设 正四面体PABC的棱长为a,则=FEA
4、,=FEG,=FEH,EH= ,EG=.根据余弦定理可得AF2= a2,GF2= a2,FH2= a2,cos = = ,cos = = ,cos = = , cos .故选D.,答案 D,方法 求异面直线所成角的方法 1.定义法 利用定义求异面直线所成的角常采用“平移法”,“平移法”求异面直 线所成的角的步骤: (1)平移找角(作角); (2)证明:推出所找(作)的角(或其补角)为异面直线所成的角; (3)求解:利用解三角形求出角的大小,注意异面直线所成的角的范围. 平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点 (线段的端点或中点)作平行线平移;利用异面直线所在几何体的特点
5、,补,方法技巧,形平移.计算异面直线所成的角通常在三角形中进行. 2.向量法 建立空间直角坐标系,转化为求两个向量的夹角(注意角的范围的区别).,例 (2017浙江温州2月模拟,8)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABC平面 BCD,BAC与BCD均为等腰直角三角形,且BAC=BCD=90,BC= 2,点P是线段AB上的动点(不含端点),若线段CD上存在点Q(不含端点), 使得异面直线PQ与AC成30的角,则线段PA的长度的取值范围是 ( ),A. B. C. D.,解析 解法一:如图,将题图中的三棱锥补全为一个长方体,在平面ABC 内,过点P作AB的垂线交CE于点R.因为ACAB,PRAB,
6、所以ACPR, 因而RPQ即为异面直线PQ与AC所成的角,所以RPQ= .设AP=x,则 CR=x,在直角三角形PQR中,易求PR= ,所以RQ= .在直角三角形 CRQ中,CQ= (0,2),故0x2 ,解得x ,故选B.,解法二:以C为原点,CD,CB分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系(图略),则 A(0,1,1),B(0,2,0),D(2,0,0).设Q(y,0,0), =x =x(0,1,-1)=(0,x,-x),其中0|= ,即 = 在y(0,2)上有解,即y2= -2x2(0,4),所以0x2 , 所以| |=x| |= ,即| | .故选B.,答案 B,评析 本题考查异面直线所成角的作法和运算,解三角形,解不等式等 基础知识,考查割补法和坐标法等数学方法,考查空间想象能力和函数 与方程思想.,
