1、第一讲 直线方程与两直线的位置关系,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 直线方程 考点2 两直线的位置关系 考点3 距离公式,考法1 求直线方程 考法2 两直线位置关系的判断及应用 考法3 两直线的交点与距离问题 考法4 对称问题,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,易错 忽略斜率不存在致误 方法 妙用直线系求直线方程,文科数学 第九章：直线和圆的方程,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,文科数学 第九章：直线和圆的方程,命题规律,1.命题分析预测 该讲在高考中很少单独考查,通常与其他知识结合起来考查,一是与导数结合,求切线的斜率、倾斜角
2、和切线方程,二是与圆、圆锥曲线结合,考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系,有时需要运用到两条直线的位置关系和距离公式. 2.学科核心素养 本讲主要考查考生的数学运算、直观想象素养.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 直线方程 考点2 两直线的位置关系 考点3 距离公式,文科数学 第九章：直线和圆的方程,考点1 直线方程（重点）,文科数学 第九章：直线和圆的方程,2.直线方程的几种形式,文科数学 第九章：直线和圆的方程,注意 当直线与x轴不垂直时,可设直线的方程为y=kx+b;当不确定直线的斜率是否存在时,可设直线的方程为ky+x+b=0.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,1.两条直线的位
3、置关系,考点2 两直线的位置关系(重点),注意 两条直线平行时,不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况;两条直线垂直时,不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.,2.两条直线的交点 对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,它们的交点通过方程组 1 + 1 + 1 =0, 2 + 2 + 2 =0 求解.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,考点3 距离公式（重点）,注意 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件:(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式;(2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.,文科数学 第
4、九章：直线和圆的方程,B考法帮题型全突破,考法1 求直线方程 考法2 两直线位置关系的判断及应用 考法3 两直线的交点与距离问题 考法4 对称问题,文科数学 第九章：直线和圆的方程,考法1 求直线方程,示例1 (1)已知点A(3,4),则经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 . (2)已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所示,当ABO的面积取最小值时直线l的方程为 .,解析(1)(截距式)设直线在x轴,y轴上的截距均为a. 若a=0,即直线过点(0,0)及(3,4). 直线的方程为y= 4 3 x,即4x-3y=0. 若a0,设所求直线的方程为 +
5、=1, 又点(3,4)在直线上, 3 + 4 =1,a=7. 直线的方程为x+y-7=0. 综合可知所求直线的方程为4x-3y=0或x+y-7=0.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,(2)解法一 设A(a,0),B(0,b)(a0,b0),则直线l的方程为 + =1. (截距式) 因为l过点P(3,2),所以 3 + 2 =1. 因为1= 3 + 2 2 6 ,整理得ab24,所以SABO= 1 2 ab12. 当且仅当 3 = 2 ,即a=6,b=4时取等号. 此时直线l的方程是 6 + 4 =1,即2x+3y-12=0.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,解法二 依题意知,直线l的斜率k
6、存在且k0, 可设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0), (点斜式) 则A(3- 2 ,0),B(0,2-3k), SABO= 1 2 (2-3k)(3- 2 )= 1 2 12+(-9k)+ 4 1 2 12+2 (9) 4 = 1 2 (12+12)=12, 当且仅当-9k= 4 ,即k=- 2 3 时,等号成立. 所以所求直线l的方程为2x+3y-12=0.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,感悟升华,1.求解直线方程的两种方法,文科数学 第九章：直线和圆的方程,2.谨防三种失误 (1)选用点斜式和斜截式时,要注意讨论斜率是否存在. (2)选用截距式时,要注意讨论直线是否过原点,截
7、距是否为0.(如本示例(1) (3)选用一般式Ax+By+C=0确定直线的斜率时,要注意讨论B是否为0.,拓展变式1 已知ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC边所在直线的方程; (2)BC边上中线AD所在直线的方程; (3)BC边的垂直平分线DE所在直线的方程.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,1.(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点, 由两点式得BC的方程为 1 31 = 2 22 , 即x+2y-4=0. (2)设BC边的中点D的坐标为(x,y), 则x= 22 2 =0,y= 1+3 2 =2. BC边的中线AD经过A(
8、-3,0),D(0,2)两点, 由截距式得AD所在直线的方程为 3 + 2 =1, 即2x-3y+6=0.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,(3)由(1)知,直线BC的斜率k1=- 1 2 , 则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2. 由(2)知,点D的坐标为(0,2). 由点斜式得直线DE的方程为y-2=2(x-0), 即2x-y+2=0.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,考法2 两直线位置关系的判断及应用,示例2 (1)如果直线l:y=kx-1(k0)与双曲线 2 16 - 2 9 =1的一条渐近线平行,那么k= . (2)已知经过点A(-2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(
9、0,-1)和点Q(a,-2a)的直线l2互相垂直,则实数a的值为 .,思维导引 (1)先由双曲线的方程求出其渐近线方程,再由两直线平行的条件:斜率相等,即可求得参数k的值.(2)根据两直线垂直时斜率之间的关系列关于a的方程,解之即得,注意讨论a与0的关系.,解析 (1)因为双曲线方程为 2 16 - 2 9 =1,所以其渐近线方程为y= 3 4 x. 又直线l:y=kx-1(k0)与双曲线 2 16 - 2 9 =1的一条渐近线平行,所以k= 3 4 . (2)l1的斜率k1= 30 1(2) =a. 当a0时,l2的斜率k2= 2(1) 0 = 12 . 因为l1l2, 所以k1k2=-1,
10、即a 12 =-1,文科数学 第九章：直线和圆的方程,解得a=1. 当a=0时,P(0,-1),Q(0,0),这时直线l2为y轴,A(-2,0),B(1,0),直线l1为x轴,显然l1l2. 综上可知,实数a的值为1或0. 点评 根据两直线平行或垂直满足的关系即可求解,注意讨论斜率是否为零.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,感悟升华 1.两直线位置关系的判断方法 (1)已知两直线的斜率存在 两直线平行两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等; 两直线垂直两直线的斜率之积为-1. (2)已知两直线的斜率不存在 若两直线的斜率不存在,当两直线在x轴上的截距不相等时,两直线平行;否则两直线重合.,文
11、科数学 第九章：直线和圆的方程,(3)已知两直线的一般方程 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1l2A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C10,l1l2A1A2+B1B2=0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论. 2.由两条直线平行与垂直求参数的值的解题策略 在解这类问题时,一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性,是否需要分情况讨论;“后想”就是在解题后,检验答案的正确性,看是否出现增解或漏解.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,拓展变式2 已知直线:l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试
12、判断l1与l2是否平行; (2)l1l2时,求a的值.,2.(1)解法一 当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2; 当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2; 当a1且a0时,两直线可化为l1:y=- 2 x-3,l2:y= 1 1 x-(a+1), l1l2 2 = 1 1 , 3+1 解得a=-1. 综上可知,a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,解法二由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-12=0, 由A1C2-A2C10,得a(a2-1)-160. l1l2 1 12=0, 2 1 16
13、0 2 2=0, 2 1 6 a=-1. 故当a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行. (2)解法一 当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0, l1与l2不垂直,故a=1不成立; 当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2; 当a1且a0时,l1:y=- 2 x-3,l2:y= 1 1 x-(a+1),文科数学 第九章：直线和圆的方程,由(- 2 ) 1 1 =-1a= 2 3 . 故l1l2时,a= 2 3 . 解法二 由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0a= 2 3 . 故l1l2时,a= 2 3 .,文科数学 第九章：直线和圆的方程,考法
14、3 两直线的交点与距离问题,示例3 已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a0)将ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是 A.(0,1) B.(1- 2 2 , 1 2 ) C.(1- 2 2 , 1 3 D. 1 3 , 1 2 ),解析 解法一 由已知得lBC:x+y=1,由 +=1, =+ 消去x,得y= + +1 ,当a0时,直线y=ax+b与x轴交于点(- ,0),结合图形知 1 2 + +1 (1+ )= 1 2 ,化简得(a+b)2=a(a+1),则a= 2 12 .a0, 2 12 0,解得b 1 2 .考虑极限位置,即a=0,此时易得b=
15、1- 2 2 ,故b(1- 2 2 , 1 2 ).,文科数学 第九章：直线和圆的方程,解法二 易得ABC的面积为1,利用极限位置和特殊值法求解.当a=0时,易得b=1- 2 2 ,排除A,D;当a= 1 3 时,易 得b= 1 3 ;当a=1时,易得b= 2 -1 1 3 ,排除C.答案 B,文科数学 第九章：直线和圆的方程,方法总结 1.过两直线交点的直线方程的求法 (1)先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程. (2)借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程,这样能简化解题过程. 2.距离的求法 利用距离公式求解,详见原书P179考点3.,文科数学 第九章：直线和圆
16、的方程,拓展结论 点到几种特殊直线的距离,可直接求出: 点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; 点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; 点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|; 点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,拓展变式3 若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( ) A.3 2 B.2 2 C.3 3 D.4 2,3.A l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0是平行直线,可判断AB所在直线过原点且与直线l1,l2垂
17、直时,中点M到原点的距离最小.直线l1:x+y-7=0,l2:x+y-5=0,两直线的距离为 |75| 1 2 + 1 2 = 2 ,又原点到直线l2的距离为 5 2 2 ,AB的中点M到原点的距离的最小值为 5 2 2 + 2 2 =3 2 .故选A.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,考法4 对称问题,示例4 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1)点A关于直线l的对称点A的坐标; (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程; (3)直线l关于点A对称的直线l的方程.,思维导引 本题考查点关于直线、直线关于直线和直线关于点的对称问题,解题的关键是将
18、问题转化为求对称点的问题.,解析 (1)设A(x,y), 则 +2 +1 2 3 =1, 2 1 2 3 2 2 +1=0, 解得 = 33 13 , = 4 13 , 即A(- 33 13 , 4 13 ). (2)在直线m上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上. 设对称点为M(a,b),则 2 +2 2 3 +0 2 +1=0, 0 2 2 3 =1,文科数学 第九章：直线和圆的方程,解得 = 6 13 , = 30 13 , 即M( 6 13 , 30 13 ). 设m与l的交点为N,则由 23+1=0, 326=0, 得N(4,3). 又m经过点N(4,3)
19、, 所以由两点式得直线m的方程为9x-46y+102=0.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,(3)解法一 在l:2x-3y+1=0上任取两点,如P(1,1),N(4,3),则P,N关于点A的对称点P,N均在直线l上. 易知P(-3,-5),N(-6,-7),由两点式可得l的方程为2x-3y-9=0. 解法二 设Q(x,y)为l上任意一点, 则Q(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为Q(-2-x,-4-y), Q在直线l上,2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即2x-3y-9=0.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,方法总结 1.点关于点对称 若点M(x1,y1)和点N(x,y)关于
20、点P(a,b)对称,则由中点坐标公式得 =2 1 , =2 1 , 进而求解. 2.直线关于点对称 (1)在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的点的坐标,再由两点式求出直线方程; (2)求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,3.点关于直线对称 若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则由方程组 ( 1 + 2 2 )+( 1 + 2 2 )+=0, 2 1 2 1 ( )=1 可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B0,x1x2). 4.直线关于直线
21、对称 设直线l1关于直线l的对称直线为l2.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,(1)当l1与l相交时,则交点必在l2上,再求出l1上某个点P1关于对称轴l对称的点P2,那么经过交点及点P2即可求出直线l2的方程. (2)当l1l时,借助两直线平行所满足的条件设出对称直线l2的方程,再利用两平行直线间的距离公式列出方程,解得直线l2方程中的常数项,从而得l2的方程. 5.解决对称问题要抓住以下两点: 一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直,二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,解析 (1)解法一 圆C的圆心坐标为(2,2),半径为1. 显然,入射光
22、线所在直线的斜率k不存在时不符合题意,故可设入射光线所在直线的方程为y-3=k(x+3),则反射光线所在直线的斜率k=-k,点P关于x轴的对称点P(-3,-3)在反射光线所在的直线上,故反射光线所在直线的方程为y+3=,拓展变式4 (1)若自点P(-3,3)发出的光线l经x轴反射,其反射光线所在的直线与圆C:x2+y2-4x-4y+7=0相切,求直线l的方程. (2)已知在ABC中,顶点A(4,5),点B在直线l:2x-y+2=0上,点C在x轴上,求ABC周长的最小值.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,-k(x+3),该直线应与圆相切,故得 |2+2+3+3| 1+ 2 =1,所以12k2+
23、25k+12=0,解得k=- 3 4 或k=- 4 3 . 所以所求直线l的方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=0. 解法二 如图所示,设圆C关于x轴对称的圆为圆C,则圆C的圆心坐标为(2,-2),半径为1.设入射光线所在直线的方程为y-3=k(x+3),则该直线与圆C相切,类似解法一可得直线l的方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,(2)设点A关于x轴的对称点为A2(x2,y2),点A关于直线l:2x-y+2=0的对称 点为A1(x1,y1).连接A1A2交直线l于点B,交x轴于点C,则此时ABC的周长 取最小值,且最小值为|A1A2|. A
24、1与A关于直线l:2x-y+2=0对称, 1 5 1 4 2=1, 2 1 +4 2 1 +5 2 +2=0, 解得 1 =0, 1 =7. A1(0,7).易求得A2(4,-5). ABC的最小周长为|A1A2|= 4 2 + 12 2 =4 10 .,文科数学 第九章：直线和圆的方程,C方法帮素养大提升,易错 忽略斜率不存在致误 方法 妙用直线系求直线方程,文科数学 第九章：直线和圆的方程,易错 忽略斜率不存在致误,示例5 2019惠州市高三调研(一)过点A(3,5)作圆O:x2+y2-2x-4y+1=0的切线,则切线的方程为 .,易错分析 解本题容易出现的问题是忽略斜率不存在,即直线与圆
25、相切的情况,而导致错误.,解析圆O的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,其圆心为(1,2). |OA|= (31 ) 2 +(52 ) 2 = 13 2, 点A(3,5)在圆外. 当切线的斜率不存在时,直线x=3与圆相切,即切线方程为x-3=0; 当切线的斜率存在时,可设所求切线方程为y-5=k(x-3),即kx-y+5-3k=0. 又圆心为(1,2),半径r=2,而圆心到切线的距离d= 32 2 +1 =2,即|3-2k|= 2 2 +1 , k= 5 12 ,即切线方程为5x-12y+45=0. 综上可知,所求切线的方程为5x-12y+45=0或x-3=0.,文科数学 第九章：直线和
26、圆的方程,方法 妙用直线系求直线方程,示例6 求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程.,思维导引 因为所求直线与3x+4y+1=0平行,因此,可设所求直线方程为3x+4y+c=0(c1).,解析 依题意,设所求直线方程为3x+4y+c=0(c1), 因为直线过点(1,2), 所以31+42+c=0,解得c=-11. 因此,所求直线方程为3x+4y-11=0.,2.垂直直线系,示例7 求经过A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.,思维导引 依据两直线垂直的条件设出方程,再由待定系数法求解.,解析 因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直,所以设该直线方
27、程为x-2y+C1 =0,又直线过点(2,1),所以有2-21+C1=0,解得C1=0,所以所求直线方程为x-2y=0.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,3.过直线交点的直线系,示例8 求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.,思维导引 可先求出l1与l2的交点,再用点斜式求解,也可利用直线系方程求解.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,解析解法一 将直线l1,l2的方程联立,得 3+21=0, 5+2+1=0, 解得 =1, =2, 即直线l1,l2的交点为(-1,2). 由题意得直线l3的斜率为 3 5 ,又
28、直线ll3,所以直线l的斜率为- 5 3 , 则直线l的方程是y-2=- 5 3 (x+1),即5x+3y-1=0.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,解法二 由于l l3,所以可设直线l的方程是5x+3y+C=0, 将直线l1,l2的方程联立,得 3+21=0, 5+2+1=0, 解得 =1, =2, 即直线l1,l2的交点为(-1,2),则点(-1,2)在直线l上, 所以5(-1)+32+C=0,解得C=-1, 所以直线l的方程为5x+3y-1=0.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,解法三 设直线l的方程为3x+2y-1+(5x+2y+1)=0, 整理得(3+5)x+(2+2)y+(-1
29、+)=0. 由于l l3,所以3(3+5)-5(2+2)=0,解得= 1 5 , 所以直线l的方程为5x+3y-1=0.,点评 本题中的解法二、解法三均是利用直线系设出直线l的方程,而解法三是利用相交直线系设出方程,避免了求直线l1与l2的交点坐标,方便简捷,是最优解法.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,归纳总结 常见的直线系方程 1.过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B20),还可以表示为y-y0=k(x-x0)和x=x0. 2.平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+=0(C). 3.垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+=0. 4.过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程:A1x+B1y +C1+(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0)和A2x+B2y+C2=0.,注意 利用平行直线系或垂直直线系求直线方程时,一定要注意系数及符号的变化规律.,文科数学 第九章：直线和圆的方程,
