1、1专项强化练四 导函数不可求零点的导数综合问题1.已知函数 f(x)=x2ex-ln x,求证:当 x0时,不等式 f(x)1.证明 f (x)=x(x+2)e x- ,x0.1x则 f (x)=(x 2+4x+2)ex+ 0,1x2故 f (x)在(0,+)上单调递增.又 f = -40,(14)916e14 (12)54e12根据零点存在性定理可知,存在 x0 ,使得 f (x0)=0.(14,12)当 x(0,x 0)时, f (x)0,故 f(x)在(x0,+)上单调递增.故 f(x)min=f(x0)= -ln x0.x20ex0由 f (x0)=0,得 x0(x0+2) - =0,
2、ex01x0即 x0(x0+2) = , = .ex01x0ex0 1x20(x0+2)故 f(x0)= -ln x0= -ln x0,其中 x0 .x20ex0 1x0+2 (14,12)令 g(x)= -ln x,x .1x+2 (14,12)则 g(x)=- - g = -ln 1,即 f(x0)1.(12)25 12综上,有 f(x)min1,则当 x0时,不等式 f(x)1.2.已知函数 f(x)=e2x-aln x,求证:当 a0时, f(x)2a+aln .2a证明 f (x)=2e 2x- ,x0.axf (x)有零点,等价于方程 2e2x- =0有实根,等价于方程 2e2x=
3、 有实根,等价于函数 y=2e2x与函数 y= 的图ax ax ax象有交点.显然,当 a0时,两个函数图象有一个交点.因此,当 a0时, f (x)只有一个零点.当 a0时, f (x)在(0,+)上单调递增,且只有一个零点,设此零点为 x0,则 f (x0)=0.当 x(0,x 0)时, f (x)0, f(x)在(x 0,+)上单调递增.故 f(x)min=f(x0)= -aln x0.e2x0由 f (x0)=0,得 2 - =0,即 = ,即 ln =ln a-ln 2x0,化简得 ln x0=ln a-ln 2-2x0.e2x0ax0 e2x0a2x0 e2x0故 f(x0)= -
4、a(ln a-ln 2-2x0)= +2ax0+aln 2a+aln .a2x0 a2x0 2a 2a故 f(x)min2a+aln ,即当 a0时, f(x)2a+aln .2a 2a3.已知函数 f(x)= ,当 x0时, f(x) 恒成立,求正整数 k的最大值.1+ln(x+1)x kx+1解析 由已知得 k0上恒成立.(x+1)1+ln(x+1)x令 h(x)= ,x0,只需 k0,得 (x)在(0,+)上单调递增.xx+1又 (2)=1-ln 30,根据零点存在性定理可知,存在 x0(2,3),使得 (x 0)=0.当 x(0,x 0)时,(x)0,h(x)0,h(x)在(x 0,+
5、)上单调递增.故 h(x)min=h(x0)= .(x0+1)1+ln(x0+1)x0由 (x 0)=0,得 x0-1-ln(x0+1)=0,即 x0=1+ln(x0+1).则 h(x0)=x0+1(3,4).故正整数 k的最大值为 3.4.已知函数 f(x)=aex+ -2(a+1)0 对任意的 x(0,+)恒成立,其中 a0.求 a的取值范围.a+1x解析 f (x)=ae x- = ,a+1x2 ax2ex-(a+1)x2令 g(x)=ax2ex-(a+1),其中 x0,a0.则 g(x)=a(2x+x2)ex0,3故 g(x)在(0,+)上单调递增.又 g(0)=-(a+1)0, f
6、(x)0, f(x)在(x 0,+)上单调递增.故 f(x)min=f(x0)=a + -2(a+1).ex0a+1x0由 g(x0)=0,得 a -(a+1)=0,即 a = .x20ex0 ex0a+1x20则 f(x0)=a + -2(a+1)= + -2(a+1),ex0a+1x0 a+1x20 a+1x0令 + -2(a+1)0,由 x00,a0,得 00.解析 (1)f (x) =e x- .1x+m由 x=0是 f(x)的极值点,得 f (0)=0,所以 m=1.于是 f(x)=ex-ln(x+1),定义域为(-1,+),f (x)=ex- .1x+1函数 f (x)=ex- 在
7、(-1,+)上单调递增,且 f (0)=0,因此当 x(-1,0)时, f (x)0.所以 f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.(2)证明:当 m2,x(-m,+)时,ln(x+m)ln(x+2),故只需证明当 m=2时, f(x)0.当 m=2时,函数 f (x)=ex- 在(-2,+)上单调递增.1x+2又 f (-1)0,故 f (x)=0在(-2,+)上有唯一实根 x0,且 x0(-1,0).当 x(-2,x 0)时, f (x)0,从而当 x=x0时, f(x)取得极小值,也是最小值.f (x)、 f(x)的大致图象如图.4由 f (x0)=0得 = ,即 ln
8、(x0+2)=-x0,ex0 1x0+2故 f(x)f(x 0)= +x0= 0.1x0+2 (x0+1)2x0+2所以当 m2 时, f(x)0.6.已知函数 f(x)=x2-ax+ln x(aR).(1)当 a=1时,求曲线 f(x)在点 P(1,0)处的切线方程;(2)若函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,求 f(x1+x2)的取值范围.解析 (1)当 a=1时, f(x)=x 2-x+ln x,则 f (x)=2x-1+ .所以 f (1)=2.1x因此曲线 f(x)在点 P(1,0)处的切线方程为 2x-y-2=0.(2)由题意得 f (x)=2x-a+ ,1x令 f (x)=0
9、,则 2x-a+ =0,即 2x2-ax+1=0(x0).1x由题意知 2x2-ax+1=0有两个不等的实根,为 x1,x2.由根与系数的关系得 解得 a2 . =a2-80,x1+x2=a20,x1x2=120, 2故 f(x1+x2)=(x1+x2)2-a(x1+x2)+ln(x1+x2)=- +ln .a24 a2设 g(a)=- +ln (a2 ),a24 a2 2则 g(a)=- + = 0,得 xln ,53 53由 m(x)=ex- 0,m(1)=e- -20,所以 m(x)在 上必有一零点 x0,在(-1,x 0)上(ln53)5353 53 1e13 53 (-1,ln53)f(x)单调递增,在(x 0,1)上 f(x)单调递减.所以 f(x)min=minf(-1), f(1)=e- ;176f(x)max=f(x0)g(x 0),又因为 g(x)在(-1,x 0)上单调递减,所以 f(x)maxg(x 0)g(-1)= .53综上所述,当-1x1 时,e- f(x) .176 53
