1、1热学经典例题 已知金刚石的密度为 3.5103kg/m3，碳的摩尔质量为 12g/mol，阿伏加德罗常数 ，假设金刚石中碳原子是紧密地排列在一起的一个个小球，NA=6.01023mol-1请估算金刚石中碳原子的直径为多大？（结果保留 1 位有效数字）分析与解答：每个碳原子的体积 ,代入数据解得V0=43 (d2)3= M NA.d=3 6M NA 210-10m变式 1 已知金刚石的密度为 3.510 3 kg/m3，现有一块体积为 4.0108 m3的一小块金刚石，它含有多少个碳原子？假如金刚石中的碳原子是紧密地挨在一起，试估算碳原子的直径？(保留两位有效数字)分析与解答：这块金刚石的质量
2、：m=V=3.510 34.010-8kg=1.410-4kg 这块金刚石的物质的量 n=mM=VM=1.410-41210-3mol=1.1710-2mol这块金刚石所含的碳原子数 n=nN A=1.1710-26.021023个=7.010 21个一个碳原子的体积为 V0= =5.710-30m3Vn=4.010-87.01021m3把金刚石中的碳原子看成球体，则由公式 V0= d3可得碳原子直径为 6=2.210-10md=336V0 =365.710-303.14m变式 2 在标准状况下，有体积为 V 的水和体积为 V 的氧气(可视为理想气体)，已知水的密度为 ，阿伏加德罗常数为 ，水
3、的摩尔质量为 M，在标准状况下 lmol 氧气的体积为NAVo。求：(1)水和氧气中各有多少个分子；(2)水分子的直径和氧气中相邻两个分子之间的平均距离。分析与解答：(1)体积为 V 的水中水分子数 N1=VMNA体积为 V 的氧气中氧分子数 N2=VV0NA(2)设水分子的直径 d，则 ，整理得N143（ d2） 3=V d=3 6M NA2设氧分子间的距离 L，则 ，整理得N2L3=V L=3V0NA变式 3 某同学在进行“用油膜法估测分子的大小”的实验前，网上查阅数据得知：油酸的摩尔质量 M=0.283kmol-1，密度 =0.89510kg/m，若每 100ml，油酸酒精密液中含有纯油
4、酸 1 mL，用滴管向量简内滴 100 滴上述溶液，量简中的溶液体积增加 1 ml.已知球的体积 V 与直径 D 的关系为 ，取 NA=6.02 1013mol-1.求：V=16 D3(1)一个油酸分子的体积约为多少 m？(2)一滴上述油酸酒精溶液所能形成的单分子油膜的面积约是多少 m？(结果均保留一位有效数字)分析与解答：(1)一个油酸分子的体积 V=M NA将数值代入式解得 V=510-28m3(2)由球的体积与直径的关系 得分子直径 V=16 D3 D=36V一滴油酸酒精溶液中含有纯油酸体积为 V0=1100110010-6m3故一滴油酸酒精溶液所能形成的单分子油膜的面积为 S=V0D由
5、解得 S=0.1m2变式 4 2017 年 5 月，中国首次海域天然气水合物 可燃冰 试采成功。可燃冰是一种晶( )体，它是天然气的固体状态 因海底高压 ，学名天然气水化合物，其化学式为( )研究表明 可燃冰可转化为 的天然气 和 的水 已转化为标准状CH48H2O. 1m3 164m3 (CH4) 0.8m3 (态 。)下列关于晶体和非晶体的说法中正确的是_。(1)晶体有确定的熔点，非晶体没有确定的熔点(A)晶体都有确定的几何形状，非晶体没有确定的几何形状(B)制作晶体管、集成电路多用多晶体(C)云母片导热性能各向异性，说明云母片是晶体(D)3体积 的 气体 可视为理想气体 处于状态 A 时
6、温度 ，压强 ，(2) VA=1LCH4 ( ) TA=300K pA=1atm现保持其质量不变让它经过状态 B 到达状态 C，已知状态 B 时的温度 ，到达状态TB=600KC 时体积 则此时该气体的压强 _ 如果该气体从状态 A 到状态 B 的VC=0.5L. pC= atm.过程中吸收热量为 ，从状态 B 到状态 C 的过程中放出热量为 ，则从状态 A 到状态 C 气Q1 Q2体内能增加量 _ 填“ ”、 “ ”或“ ” 。 E ( = )Q1-Q2已知阿伏加德罗常数 个 ，试估算出 可燃冰中所含 分子的个数。(3) NA=61023/mol 1m3 CH4结果保留一位有效数字 _。(
7、)分析与解答：（1）晶体有确定的熔点、非晶体没有确定的熔点，A 正确；单晶体具有规则的几何形状，而多晶体和非晶态没有规则的几何形状，B 错误；制作晶体管、集成电路多用半导体，C 错误；多晶体与非晶体具有各向同性，单晶体具有各向异性，云母片导热性能各向异性，说明云母片是晶体，D 正确（2）已知： ， ；VA=1L，TA=300K，pA=1atmTC=TB=600K，VC=0.5L由理想气体的状态方程可得 ，代入数据可得 ；PAVATA=PCVCTC PC=4atmAB 过程为等容变化。BC 过程为等温压缩过程，根据热力学第一定律可知，整个的过程中内能的增加量大于吸收的热量；（3）由题意可知，1m
8、 3可燃冰可转化为 164m3的标准状态下的天然气（CH 4） ，标准状态下气体的摩尔体积为 ，22.4L=0.0224m3所以 1m3可燃冰含有的气体的物质的量： ，n=VVm= 1640.0224 7.3103mol所含 CH4分子的个数： ，代入数据可得： （个）N=nNA N=41027经典例题 如图所示，薄壁气缸放置在水平平台上，活塞质量为 10kg，横截面积为50cm2，厚度为 1cm，气缸全长 21cm，气缸质量为 20kg，大气压强为 1105Pa，温度为 7，活塞封闭的气柱长 10cm，若将气缸倒过来放置，活塞下方的空气能通过平台上的缺口与大气相通g 取 10cm/s24（1
9、）求气缸倒置时，活塞封闭的气柱长度；（2）气缸倒置后，当温度多高时，活塞刚好接触平台分析与解答：开始封闭气体的压强：p 1=p0+ =1105+ =1.2105Pa，mgS 10105010-4气缸倒过来后，气体的压强：p 2=p0 =1105 =0.8105Pa，mgS 10105010-4气体发生等温变化，由玻意耳定律得：p1L1S=p2L2S，解得：L 2=15cm；开始气体体积：V 2=L2S=15S，温度：T 2=237+7=280K，活塞刚好接触平台时，气体体积：V 3=L3S=（211）S=20S，气体发生等压变化，由盖吕萨克定律得： ，解得：T 3=373K；V2T2=V3T3
10、变式 1 如图，容积均为 V 的汽缸 A、 B 下端有细管(容积可忽略)连通，阀门 K2位于细管的中部， A、 B 的顶部各有一阀门 K1、K 3； B 中有一可自由滑动的活塞(质量、体积均可忽略)初始时，三个阀门均打开，活塞在 B 的底部；关闭 K2、K 3，通过 K1给汽缸充气，使A 中气体的压强达到大气压 p0 的 3 倍后关闭 K1.已知室温为 27 ，汽缸导热(1)打开 K2，求稳定时活塞上方气体的体积和压强；(2)接着打开 K3，求稳定时活塞的位置；(3)再缓慢加热汽缸内气体使其温度升高 20 ，求此时活塞下方气体的压强分析与解答：(1)设打开 K2后，稳定时活塞上方气体的压强为
11、p1，体积为 V1.依题意，被活塞分开的两部分气体都经历等温过程由玻意耳定律得p0Vp 1V1(3p0)Vp 1(2VV 1)联立式得V1 V2p12p 0(2)打开 K3后，由式知，活塞必定上升设在活塞下方气体与 A 中气体的体积之和5为 V2(V22V)时，活塞下气体压强为 p2，由玻意耳定律得(3p0)Vp 2V2由式得p2 p03VV2由式知，打开 K3后活塞上升直到 B 的顶部为止；此时 p2为 p2 p032(3)设加热后活塞下方气体的压强为 p3，气体温度从 T1300 K 升高到 T2320 K 的等容过程中，由查理定律得 P2T1=P3T将有关数据代入式得p31.6p 0变式
12、 2 如图，一粗细均匀的等臂 U 形管竖直放置，其 A 端封闭有一定量的气体，B 端开口与大气相通，两侧被水银柱隔开。平衡时测得 A 内气柱的长度为 30.0cm、两管内水银面的高度差为 h100cm。现从 B 端开口处用活塞缓慢向下压气体，当活塞压下 cm 时，12512A、B 两端水银面相平。已知活塞与管密封良好，设整个过程温度保持不变。求大气压强的值。分析与解答：设大气压强为 p0，水银的密度为 ，U 型管的横截面积为 S，对气体A，初始时： VA=LSpA=p0+gh再次平衡后，设 A 气体的压强为 pA； VA=(LA-h2)S此过程等温： pAVA=pAVA对于气体 B，初始时：p
13、 B=p0， VB=(LA-h)S再次平衡后，设 B 气体的压强为 pB：6pB=p A； VB=(LA-h2-H)S此过程中等温： ，pBVB=pBVB解得 p0=70cmHg变式 3 图中竖直圆筒是固定不动的,粗筒横截面积是细筒的 4 倍,细筒足够长.在粗筒中用轻质活塞密闭了一定质量的理想气体，活塞与筒壁间的摩擦不计。在 6时，活塞上方的水银深 H=10cm,水银上表面与粗筒上端的距离 y=5cm,气柱长 L=15cm。不计活塞的质量和厚度，已知大气压强 P0=75cmHg,现对气体缓慢加热。（1）当水银上表面与粗筒上端相平时，求气体的温度 T2（2）当水银的一半被推入细筒中时，求气体的温
14、度 T3（结果保留 3 位有效数字）分析与解答：（1）该过程中气体压强不变，根据盖吕萨克定律可得： ，V1T1=V2T2其中 ，得： ；T1=279K，V1=LS，V2=(L+y)S T2=372K（2）气体初始状态： ，p1=p0+pH=85cmHg当水银的一半被推入细筒中时： ；p3=p0+pH+ph=100cmHg根据理想气体的状态方程可得： ，其中：P1V1T1=P3V3T3 V3=(L+y+H2)S解得： T3=547K变式 4 如图所示，一竖直放置的足够长汽缸内有两个活塞用一根轻质硬杆相连，上面小活塞面积 S1=2 cm2，下面大活塞面积 S2=8 cm2，两活塞的总质量为 M=0
15、.3 kg;汽缸内封闭温度 T1=300K 的理想气体，粗细两部分长度相等且 L=5 cm；大气压强为Po=1.01l05Po，g=10ms 2，整个系统处于平衡，活塞与缸壁间无摩擦且不漏气。求：(1)初状态封闭气体的压强 Pi；(2)若封闭气体的温度缓慢升高到 T2 =336 K，气体的体积 V2是多少；(3)上述过程中封闭气体对外界做功 W。7分析与解答：（1）平衡条件 Mg+p0S1+p1S2=p1S1+p0S2代入数据得 p1=9.6104Pa（2）初态体积 V1=S1L+S2L=50cm3等压膨胀，根据盖吕萨克定律V1T1=V2T2代入数据得 V2=56cm3（3）封闭气体对外界做功
16、 W=FL =p1V =p1(V2-V1)=0.576J经典例题 一定质量的理想气体，状态从 ABCDA 的变化过程可用如图所示的pV 图线描述，其中 DA 为等温线，气体在状态 A 时温度为 TA=300K，试求：（1）气体在状态 C 时的温度 TC，（2）若气体在 AB 过程中吸热 1000J，则在 AB 过程中气体内能增加了多少？分析与解答：DA 为等温线，则 ，TA=TD=300KC 到 D 过程由盖吕萨克定律得：VCTC=VDTD得到： ；TC=VCTDVD=375KA 到 B 过程压强不变，体积变大气体对外做功由 W=P V =2105310-3J=600J由热力学第一定律 ，则气
17、体内能增加，增加 。U =Q+W=1000J-600J=400J 400J变式 1 如图所示，一个绝热的气缸竖直放置，内有一个绝热且光滑的活塞，中间有一个固定的导热性良好的隔板，隔板将气缸分成两部分，分别密封着两部分理想气体 A 和B。活塞的质量为 m，横截面积为 S，与隔板相距 h。现通过电热丝缓慢加热气体，当 A 气8体吸收热量 Q 时，活塞上升了 h，此时气体的温度为 T1。已知大气压强为 P0，重力加速度为 g。（1）加热过程中，若 A 气体内能增加了 ，求 B 气体内能增加量 E1 E2（2）现停止对气体加热，同时在活塞上缓慢添加砂粒，当活塞恰好回到原来的位置时A 气体的温度为 T2
18、。求此时添加砂粒的总质量 。m分析与解答：气体对外做功 B 气体对外做功： ，W=pSh=(p0S+mg)h由热力学第一定律得： ， E1+ E2=Q-W解得： ， E2=Q-(mg+p0S)h- E1 B 气体的初状态： ，p1=p0+mgS， V1=hS，T1B 气体末状态： ，p2=p0+(m+m)gS ， V2=hS，T2由理想气体状态方程得 ，解得： ；P1V1T1=P2V2T2 m =(2T2T1-1)(Sp0g+m)变式 2 如图所示为一定质量的理想气体经历从状态 ABCA 的 pV 图象，已知该气体在状态 A 时的温度为 300 K，求：（1）气体在状态 B、C 时的温度分别为
19、多少摄氏度？（2）气体从状态 A 沿图中实线到状态 B、再到状态 C，整个过程气体是吸热还是放热，传递的热量为多少？分析与解答：气体从状态 A 变化到状态 B 发生等压变化，根据盖-吕萨克定律有；VATA=VBTB9代入数据有 ，解得 ；110-3300=310-3TB TB=900K，tB=900-273=627气体从状态 B 到状态 C 发生等容变化，根据查理定律有： ；pBTB=pCTC代入数据有 ，解得 ；3105900=1105TC TC=300K，tC=300-273=27（2）气体从状态 A 沿图中实线到状态 B 等压膨胀，外界对气体做功为：；W1=pV =-3105(310-3
20、-110-3)=-600J气体从状态 B 到状态 C 等容变化，界对气体做功为： ；W2=0外界对气体做功为 ，状态 AC 温度相同 ；W=W1+W2=-600J U =0根据热力学第一定律有 ，解得U =W+Q Q=600J变式 3 如图所示，一圆柱形绝热气缸竖直放置，通过绝热活塞封闭着一定质量的理想气体活塞的质量为 m，横截面积为 S，与容器底部相距 h，此时封闭气体的温度为 T1现通过电热丝缓慢加热气体，当气体吸收热量 Q 时，气体温度上升到 T2已知大气压强为p0，重力加速度为 g， T1和 T2均为热力学温度，不计活塞与气缸的摩擦。求：（1）活塞上升的高度；（2）加热过程中气体的内能
21、增加量分析与解答：气体发生等压变化，有 ，解得 ；hST1=(h+h)ST2 h =T2-T1T1h加热过程中气体对外做功为 ；W=pSh=(p0S+mg)T2-T1T1h由热力学第一定律知内能的增加量为 U =Q-W=Q-(p0S+mg)T2-T1T1h变式 4 一定质量的理想气体，在初始状态 A 时，体积为 V0，压强为 p0，温度为 T0，已知此时气体的内能为 U0。该理想气体从状态 A 经由一系列变化，最终还回到原来状态 A，其变化过程的 pV 图象如图所示，其中 AB 是反比例函数图象的一部分。求：（1）气体在状态 B 时的体积；10（2）气体在状态 C 时的温度；（3）从状态 B
22、经由状态 C，最终回到状态 A 的过程中，气体与外界交换的热量。分析与解答：由题意可知，从状态 A 到状态 B 为等温变化过程，状态 B 时气体压强为 P1=3P0,设体积为 V1,由玻意耳定律得 P0V0=P1V1解得 3由题图可知，从状态 B 到状态 C 为等压变化过程，状态 C 时气体体积为 V2=V0,设温度为 T2,由盖-吕萨克定律得 120VT解得 T2=3T0由于一定质量的理想气体的内能只和温度有关，所以 UB=UA=U0在 BCA 的过程中U=W+QUA-UB=0=-3P0（V 0-VB）+QQ=2P0V0即气体从外界吸收热量为 2P0V0变式 5 如图所示，竖直放置的 U 形
23、管，左端封闭右端开口，管内水银将长 19cm 的空气柱封在左管内，此时两管内水银面的高度差为 4cm，大气压强为标准大气压 75mmHg。现向右管内再注入水银，使空气柱长度减少 1cm，若温度保持不变，则需注入水银柱的长度为多少？分析与解答：设管的面积为 S，开始时空气柱长度为 ，压强为l1=19cm，后来空气柱长度为 ，压强为P1=75cmHg-4cmHg=71cmHg l2=19cm-1cm=18cm11P2，由等温变化可知，P1Sl1=P2Sl2即 7119S=P218S解得： P2=74.9cmHg即左、右两管的高度差应为 0.1cm，所以注入的水银长度应为（5-0.1）cm=4.9c
24、m。变式 6 如图所示，气缸放置在水平平台上；活塞质量为 m=8kg，横截面积为 S=40 cm2，厚度为 d=1cm；气缸全长为 l=16cm（不含气缸底部的厚度） ，大气压强为p0=1.0105Pa。当温度为 t1=7 时，活塞封闭的气柱长 l0=8cm；若将气缸倒过来放置时，活塞下方的空气能通过平台上的缺口与大气相通。 （ g 取 10m/s2，不计活塞与气缸之间的摩擦）（1）将气缸倒过来放置，若温度上升到 t2=27 ，求此时气柱的长度（结果保留三位有效数字） ；（2）汽缸倒过来放置后，若逐渐升高温度，发现活塞刚好接触平台，求此时气体的温度 T。分析与解答：对活塞，有气缸未倒过来时， p0S+mg=pS气缸倒过来后， p1S+mg=p0S温度为 7时，由等温方程有： pSl0=p1Sl1联立解得： l1=12cm温度由 7升高到 27过程，由等压方程有l1ST1=l2ST2解得： l2 12.9cm活塞刚好接触平台时，由等压方程有l1ST1=（l -d）ST解得： T=350K
