1、1专题训练(三) 中点问题常用思路在解答几何问题时会遇到不少中点问题，解答这类问题通常考虑运用以下四类方法解答：(1)根据等腰三角形“三线合一”解答；(2)根据线段垂直平分线的性质解答；(3)根据直角三角形斜边上中线的性质解答；(4)构造三角形中位线解答 类型一 与等腰三角形有关的中点问题1如图 3 ZT1，在四边形 ABCD 中，BADBCD90，BC12，CDAC16，M，N 分别是对角线 BD，AC 的中点(1)求证：MNAC；(2)求 MN 的长图 3 ZT1 类型二 与垂直平分线有关的中点问题2如图 3 ZT2，在ABC 中，BAC120，AB 的垂直平分线交 BC 于点 M，交 A
2、B于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F，如果 ABAC，求证：BMMNNC.图 3 ZT2 类型三 与直角三角形斜边上的中线有关的中点问题3如图 3 ZT3，在锐角三角形 ABC 中，CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高，M，N分别是线段 BC，DE 的中点(1)求证：MNDE.2(2)连接 DM，ME，求证：DME1802A.(3)若将锐角三角形 ABC 变为钝角三角形 ABC，如图，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，直接写出正确的结论图 3 ZT3 类型四 与三角形中位线有关的中点问题4如图 3 ZT4，在四
3、边形 ABCD 中，ADBC，ADBC，M，N 分别是对角线 BD，AC的中点，试探索 MN 与 AD，BC 的位置关系与数量关系，并说明理由图 3 ZT452018白银 如图 3 ZT5，已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一个动点，F，G，H 分别是 BC，BE，CE 的中点(1)求证：BGFFHC；(2)设 ADa，当四边形 EGFH 是正方形时，求矩形 ABCD 的面积图 3 ZT56已知 M 为ABC 的边 BC 的中点，AB12，AC18，BDAD 于点 D，连接 DM.(1)如图 3 ZT6，若 AD 为BAC 的平分线，求 MD 的长；(2)如图 3 ZT6，若 AD
4、为BAC 的外角平分线，求 MD 的长3图 3 ZT67如图 3 ZT7，BD，CE 分别是ABC 的外角平分线，过点 A 作AFBD，AGCE，垂足分别为 F，G，连接 FG，延长 AF，AG，与直线 BC 分别相交于点 M，N.(1)试说明：FG (ABBCAC)；12(2)如图，若 BD，CE 分别是ABC 的内角平分线，则线段 FG 与ABC 的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由；(3)如图，若 BD 为ABC 的内角平分线，CE 为ABC 的外角平分线，则线段 FG 与ABC 三边的数量关系是_图 3 ZT74详解详析专题训练(三) 中点问题常用思路1解：(1)证明：
5、如图，连接 AM，CM，BADBCD90，M 是 BD 的中点，AMCMBMDM BD.12又N 是 AC 的中点，MNAC.(2)BCD90，BC12，CD16，BD 20，BC2 CD2AM BD 2010.12 12AC16，N 是 AC 的中点，AN 168，MN 6.12 AM2 AN22证明：如图，连接 AM，AN.AB 的垂直平分线交 BC 于点 M，交 AB 于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC于点 F，BMAM，NCAN，MABB，CANC.BAC120，ABAC，BC30，MABCAN60，AMNANM60，AMN 是等边三角形，AMANMN，BMMNN
6、C.3解：(1)证明：如图，连接 DM，ME.5CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高，M 是 BC 的中点，DM BC，ME BC，DMME.12 12又N 为 DE 的中点，MNDE.(2)证明：由(1)知 DMMEBMMC，BMDCME(1802ABC)(1802ACB)3602(ABCACB)3602(180A)2A，DME1802A.(3)(1)中的结论成立；(2)中的结论不成立理由如下：如图，连接 DM，ME.在ABC 中，ABCACB180BAC.DMMEBMMC，BMECMD2ACB2ABC2(180BAC)3602BAC，DME180(3602BAC)2BAC180.4解：
7、MNADBC，MN (BCAD)12理由如下：连接 AM 并延长交 BC 于点 H，如图所示ADBC，ADBHBD.在AMD 和HMB 中， ADM HBM，DM BM， AMD HMB， )AMDHMB，AMMH，ADBH.AMMH，ANNC，MNHC，MN HC，12MNBCAD，MN (BCAD)125解：(1)证明：F，G，H 分别是 BC，BE，CE 的中点，6FHBE，FH BEBG，12CFHCBG.又BFCF，BGFFHC.(2)连接 EF，GH.当四边形 EGFH 是正方形时，可得 EFGH 且 EFGH.在BEC 中，G，H 分别是 BE，CE 的中点，GH BC AD a
8、，且 GHBC，12 12 12EFBC.ADBC，ABBC，ABEFGH a，12矩形 ABCD 的面积ABAD aa a2.12 126解：(1)如图，延长 BD 交 AC 于点 E，AD 为BAC 的平分线，BDAD，BDDE，AEAB12，CEACAE18126.又M 为ABC 的边 BC 的中点，MD 是BCE 的中位线，MD CE 63.12 12(2)如图，延长 BD 交 CA 的延长线于点 E，AD 为BAE 的平分线，BDAD，BDDE，AEAB12，CEACAE181230.又M 为ABC 的边 BC 的中点，MD 是BCE 的中位线，MD CE 3015.12 127解：
9、(1)BDAF，AFBMFB90.在ABF 和MBF 中， AFB MFB，BF BF， ABF MBF， )ABFMBF，MBAB，AFMF.同理：CNAC，AGNG，7FG 是AMN 的中位线，FG MN12 (MBBCCN)12 (ABBCAC)12(2)FG (ABACBC)12理由：如图，延长 AF，AG，与直线 BC 分别相交于点 M，N，AFBD，AFBMFB90.在ABF 和MBF 中， AFB MFB，BF BF， ABF MBF， )ABFMBF，MBAB，AFMF.同理：CNAC，AGNG，FG MN12 (MBCNBC)12 (ABACBC)12(3)FG (ACBCAB)12理由：如图，延长 AF，AG，与直线 BC 分别相交于点 M，N.AFBD，AFBMFB90.在ABF 和MBF 中， AFB MFB，BF BF， ABF MBF， )ABFMBF，MBAB，AFMF.同理：CNAC，AGNG，8FG MN12 (CNBCMB)12 (ACBCAB)12
