1、1考查角度 3 用导数研究函数的零点问题分类透析一 确定函数零点或方程根的个数问题例 1 已知函数 f(x)=ex-1,g(x)= +x,其中 e是自然对数的底数,e =2.71828.x(1)证明:函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点 .(2)求方程 f(x)=g(x)的根的个数,并说明理由 .分析 (1)先整理出函数关系式,再通过零点存在性定理证明;(2)本问求解的关键是通过构造函数,把方程根的问题转化为函数零点问题来解决 .解析 (1)由 h(x)=f(x)-g(x)=ex-1- -x得,xh(1)=e-30,且 h(x)在区间(1,2)上是连续的,2所以函数 h(
2、x)在区间(1,2)上有零点 .(2)由(1)得 h(x)=ex-1- -x,x0, + ).又 h(0)=0,x则 x=0为 h(x)的一个零点,又由(1)知 h(x)在(1,2)内有零点,因此 h(x)在0, + )上至少有两个零点 .因为 h(x)=ex- -1,记 (x)=ex- -1,则 (x)=ex+ .12x-12 12x-12 14x-32当 x(0, + )时, (x)0,因此 (x)在(0, + )上单调递增,则 (x)在(0, + )上至多只有一个零点,即 h(x)在0, + )上至多有两个零点 .所以方程 f(x)=g(x)的根的个数为 2.方法技巧 利用导数确定函数零
3、点或方程根个数的方法(1)构建函数 g(x)(要求 g(x)易求, g(x)=0可解),转化为确定函数 g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出 g(x)的图象,利用数形结合求解 .(2)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数 .分类透析二 根据函数的零点或方程根的个数求参数的取值范围例 2 已知函数 f(x)=(2-a)x-2(1+ln x)+a.(1)当 a=1时,求 f(x)的单调区间;(2)若函数 f(x)
4、在区间 上无零点,求 a的最小值 .(0,12)2分析 (1)利用导数求单调性的方法求出函数的单调区间;(2)把函数 f(x)构造成两个函数进行分析求解 .解析 (1)当 a=1时, f(x)=x-1-2ln x,则 f(x)=1- ,x(0, + ).2x由 f(x)0,得 x2,由 f(x) ,12ln212所以当 x 时, f(x)f =0.(0,12) (12)故 f(x)在 上无零点 .(0,12)综上, a的最小值为 2-4ln 2.方法技巧 用导数研究函数的零点问题,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断;另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结
5、合来解决 .对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、图象确定其中参数的取值范围 .从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等 .但需注意探求与论证之间的区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在性定理及函数的单调性,准确求出函数的零点个数 .1.(2018年浙江卷,22 改编)设函数 f(x)=lnx-ax(aR) .3(1)求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1)处的切线方程,并证明:除点 A外,曲线 y=f(x)都在该切线的下方 .(2)若函数 h(x)=ex+f(x)在区间(1,3)
6、上有零点,求 a的取值范围 .解析 (1)由题意知 f(x)= -a,所以 f(1)=1-a.1x因为 f(1)=-a,所以切线方程为 y+a=(1-a)(x-1),即 y=(1-a)x-1.设 p(x)=f(x)-(1-a)x+1=lnx-x+1,则 p(x)= .1-xx若 x1,则 p(x)0.所以 p(x)max=p(1)=0.所以 p(x)0,所以 f(x)(1 -a)x-1,当且仅当 x=1时,取等号,故除点 A外,曲线 y=f(x)都在该切线的下方 .(2)h(x)=ex+f(x)在区间(1,3)上有零点,即 a= 在 x(1,3)上有实数解 .ex+lnxx设 F(x)= ,则
7、 F(x)= .ex+lnxx ex(x-1)+1-lnxx2设 g(x)=ex(x-1)+1-ln x,则 g(x)=x .(ex-1x2)由函数的单调性和零点存在性定理,得函数 y=ex- (x0)的零点在(0,1)上,且 y0在1x2(1,3)上恒成立,所以 g(x)0(x(1,3),即 g(x)在(1,3)上单调递增,所以 g(x)g(1)=1,则 F(x)0在(1,3)上恒成立 .所以 F(x)在(1,3)上单调递增,所以 F(x) ,(e,e3+ln33 )所以 a的取值范围是 .(e,e3+ln33 )2.(2016年北京卷,文 20改编)已知函数 f(x)=x3-3ax-1,a
8、0 .(1)求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)在 x=-1处取得极值,直线 y=m与 y=f(x)的图象有三个不同的交点,求 m的取值范围 .4解析 (1)由题意得 f(x)=3x2-3a=3(x2-a),当 a0,所以当 a0时,由 f(x)0,解得 x ,a a由 f(x)0时, f(x)的单调递增区间为( - ,- ),( ,+ ),f(x)的单调递减区间为a a(- , ).a a(2)因为 f(x)在 x=-1处取得极值,所以 f(-1)=3(-1)2-3a=0,解得 a=1.所以 f(x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3.由 f(x)=0,解得 x1=-1,x2=1.
9、由(1)中 f(x)的单调性,可知 f(x)在 x=-1处取得极大值,极大值为 f(-1)=1,在 x=1处取得极小值,极小值为 f(1)=-3.因为直线 y=m与函数 y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合函数 f(x)的图象(图略),可知 m的取值范围是( -3,1).3.(2016年全国 卷,文 21改编)已知 f(x)=(1-x)ex-1.(1)证明:函数 f(x)有且仅有一个零点 .(2)设 g(x)= ,x-1,且 x0,证明: g(x)0,f(x)单调递增;当 x(0, + )时, f(x)0时, f(x)x.设 h(x)=f(x)-x,则 h(x)=-xex-1.当 x( -
10、1,0)时,0 h(0)=0,即 f(x)x,g(x)-1且 x0 时,总有 g(x)0).(1x-1)(x-1)(xex-a)x令 g(x)=xex-a(x0),则 g(x)=(x+1)ex0,故 g(x)在(0, + )上单调递增,则 g(x)g(0)=-a,因此,当 a0 或 a=e时, f(x)只有一个零点;当 0e时, f(x)有两个零点 .(2)当 a0 时, xex-a0,则函数 f(x)在 x=1处取得最小值 f(1)=-e.当 a0时,函数 y=xex-a在(0, + )上单调递增,则必存在正数 x0,使得 x0 -a=0.ex0若 ae,则 x01,函数 f(x)在(0,1
11、)和( x0,+ )上单调递增,在(1, x0)上单调递减 .又 f(1)=-e,故不符合题意 .若 a=e,则 x0=1,f(x)0,函数 f(x)在(0, + )上单调递增 .又 f(1)=-e,故不符合题意 .若 00.13(1)求当 m=1时,曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线斜率;(2)求函数 f(x)的单调区间与极值;(3)已知函数 f(x)有三个互不相同的零点 0,x1,x2,且 x1f(1)恒成立,求 m的取值范围 .解析 (1)当 m=1时, f(x)=- x3+x2,则 f(x)=-x2+2x,所以 f(1)=1,所以曲线 y=f(x)在13点(1, f(1)处
12、的切线斜率为 1.(2)由题意得, f(x)=-x2+2x+m2-1,令 f(x)=0,得 x=1-m或 x=1+m.因为 m0,所以 1+m1-m.当 x变化时, f(x),f(x)的变化情况如下表:x (- ,1-m) 1-m (1-m,1+m) 1+m (1+m,+ )7f(x) - 0 + 0 -f(x) 极小值 极大值 故 f(x)在( - ,1-m)和(1 +m,+ )上是减函数,在(1 -m,1+m)上是增函数 .所以函数 f(x)在 x=1+m处取得极大值,且极大值为 f(1+m)= m3+m2- ;23 13函数 f(x)在 x=1-m处取得极小值,且极小值为 f(1-m)=
13、- m3+m2- .23 13(3)由题意得, f(x)=x =- x(x-x1)(x-x2),(-13x2+x+m2-1) 13所以方程 - x2+x+m2-1=0有两个不同的实根 x1,x2,故 = 1+ (m2-1)0,解得 m .12若 x1f(1)等价于 f(1)0, (x)在(0,1)上单调递增;8当 x1时, (x)1时, (x)(0,1) .综上可知,当且仅当 a(0,1)时, y=a与 y= (x)的图象有两个交点,即函数 f(x)有两个零点 .(2) 函数 g(x)有两个极值点, 由 g(x)=lnx+1-ax=0,得 -a=0有两个不同的根 x1,x2(设 x1g(1)=0.又 x0, g(x) 0,x + ,g(x) - ,a2 函数 g(x)恰有三个零点 .
